1、3.1.1函数的概念第三章 函数的概念与性质1.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的 作用.2.了解构成函数的要素.3.能求简单函数的定义域.用集合语言和对应关系刻画函数的概念.对函数概念的理解.上述问题1问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？上述问题的共同特征有：(1)都包含两个非空数集，用A,B表示；(2)都有一个对应关系；(3)尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.定义：一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B
2、中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，xA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域.AB()f x xA 函数的三个要素：定义域对应关系值域一次函数：的定义域是R，值域也是R.对应关系 f 把R中的任意一个数x，对应到R中唯一确定的数 .(0)y ax ba(0)ax b a二次函数：的定义域是R，值域是B.当a0时，；当a0时，.对应关系f 把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数 .2(0)y axbx c a244ac bBy ya244ac bBy ya2(
3、0)axbx ca反比例函数：的定义域为 ，对应关系为“倒数的k倍”，值域为 .反比例函数用函数定于叙述为：对于非空数集中的任意一个x值，按照对应关系f：“倒数 倍”，在集合中都有唯一确定的数 和它对应，那么此时f：就是集合A到集合B的一个函数，记作 (0)kykx0 x x 0y y(0)k k 0By ykxAB()(0),.kf xkxAx例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.例如，正比例函数 可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等.(0)
4、ykx k试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式 来描述解：把 看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是 .对应关系 f 把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数x(10-x).(10)yxx(10)yxx25By y如果对x的取值范围作出限制，例如 ，那么可以构建如下情境：长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么y=x(10-x).其中，x的取值范围是 ，y的取值范围是 .对应关系f把每一个长方形的边长x，对应到唯一确定的面积x(10-x).010 xxx010Axx025Byy探究：探究：构建其他可用解析式y=x(10-x)描述其中变量关 系的问题情境.答案：设两个实
5、数的和为10，其中一个数为x，这两个数的积为y，则y=x(10-x)，其中x的取值范围为A=R，y的取值范围为 .对应关系 f 把A中任一x值对应B中唯一确定的x(10-x).25By y定义：研究函数时常会用到区间的概念.设a，b是两个实数，而且ab，我们规定：(1)满足不等式 的实数x的集合叫做闭区间，表示为a,b；(2)满足不等式ax0时，求f(a)，f(a-1)的值.解：(3)因为a0，所以f(a),f(a-1)有意义.1()32f xxx1()3;2f aaa11(1)132.121f aaaaa 例3 下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？(1)；解：(1)，它与函数y=x(xR
6、)虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y=x(xR)不是同一个函数.2()yx2()(0)yxx xx x 例3 下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？(2)；解：(2)，它与函数y=x(xR)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y=x(xR)是同一个函数.33uv33()uvv vR例3 下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？(3)；解：(3)，它与函数y=x(xR)的定义域都是实数集R，但是当x0时，它的对应关系与函数y=x(xR)不相同.所以这个函数与函数y=x(xR)不是同一个函数.2yx2,0,|,0,x xyxxx x例3 下列函数中哪个与函
7、数y=x是同一个函数？(4).解：(4)，它与函数y=x(xR)的对应关系相同但定义域不相同.所以这个函数与函数y=x(xR)不是同一个函数.2nmn2(0)nmn nn nn1.已知函数(1)求函数f(x)的定义域解:(1)根据题意知 且 ，且 ，即函数f(x)的定义域为6()41f xxx10 x40 x 4 x1x 4,1)(1,)1.已知函数(2)求f(-1)，f(12)的值解:(2)6()41f xxx6(1)14332 f6638(12)12441211111 f2.判断下列对应是否为同一函数：(1)与 解:(1)不是同一函数,因为定义域不同,前者定义域为R,后者定义域为1yx211xyx|1x x 2.判断下列对应是否为同一函数：(2)与 解:(2)是同一函数,虽然变量不同,但不改变意义;2 1yx21st2.判断下列对应是否为同一函数：与 解:(3)不是同一函数,因为定义域不同.2yx20.yx x1.本节课我们主要学习了哪些内容？2.函数的定义；3.函数的三要素；4.区间；5.相同函数.
