1、 函数函数描述了客观世界中变量之间的一种对应关系，即函数描述了客观世界中变量之间的一种对应关系，即函数是描述事物是描述事物变化规律变化规律的数学模型，这样我们就可以通过研究函数的数学模型，这样我们就可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物的性质获得对客观世界中事物变化规律变化规律的认识，比如，的认识，比如，通过研究通过研究函数值函数值随随自变量值自变量值的变化规律，就可以得到函数所刻画的现实问的变化规律，就可以得到函数所刻画的现实问题的变化规律题的变化规律.那么，什么是函数的性质呢？那么，什么是函数的性质呢？函数的性质就是函数的性质就是“变化中的变化中的规律性规律性，变化中的变化中的不变性不
2、变性”.”.因此，我们研究函数性质，就是要学会在运动变化中因此，我们研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现规律发现规律.函数表示法中图象法的特点函数表示法中图象法的特点 函数图象能函数图象能直观形象直观形象地表示出地表示出函数的变化趋势；函数的变化趋势；用图象表示函数有利于用图象表示函数有利于研究函数的某些性质研究函数的某些性质.因此要研究函数的性质，我们可以首先因此要研究函数的性质，我们可以首先从函数图象入手从函数图象入手.初中我们学习过一次函数、二次函数、反比例函数，我们是初中我们学习过一次函数、二次函数、反比例函数，我们是通过什么来研究它们的性质的？通过什么来研究它们的性质的？LOGO
3、 问题问题1：观察下列函数图象，你发现了函数图象的哪些特征，你观察下列函数图象，你发现了函数图象的哪些特征，你觉得它们反映了函数哪方面的性质？觉得它们反映了函数哪方面的性质？从图象的升降角度看：从图象的升降角度看：图图1中中 从左至右的从左至右的始终始终是是上升上升的的,即在即在(-,+)y(-,+)y随随x x的增大而增大的增大而增大.图图2，3函数图象在函数图象在有的区间有的区间上上从左至右是保持从左至右是保持上升上升的的,即即在这些区间上在这些区间上函数函数y随着自变量随着自变量x的增大而增大；的增大而增大；在在有的区间有的区间上上从左至右是保持从左至右是保持下降下降的的,即即在对应区间
4、上在对应区间上函数函数y随着自变量随着自变量x的增大而减小的增大而减小.我们把函数的这种性质归结为我们把函数的这种性质归结为函数的单调性函数的单调性.图形语言图形语言-定性定性符号语言符号语言-定量定量第第1 1课时课时3.2.1单调性与最大（小）值LOGO问题问题2：在初中，我们研究过二次函数，现在我们在初中，我们研究过二次函数，现在我们以函数以函数y=x2为为例。我们知道在区间例。我们知道在区间(-,0上，上，y随随x的增大而减小。请问你是怎的增大而减小。请问你是怎样理解样理解“y随随x的增大而减小的增大而减小”的？你能说说它的数量特征吗？的？你能说说它的数量特征吗？追问追问1：对于对于“
5、x增大了增大了”如何用符号语言表示？如何用符号语言表示？“对应的函数值对应的函数值y减小减小”又该如何表示？观察下表，你能给出具体描述吗？又该如何表示？观察下表，你能给出具体描述吗？x-4-3-2-101234f(x)16 9410149 16 当当x从从-4增大到增大到-3，函数值，函数值y从从16减小到减小到9当当x从从-3增大到增大到-2，函数值，函数值y从从9减小到减小到4当当x从从-2增大到增大到-1，函数值，函数值y从从4减小到减小到1追问追问2：这样的变化过程你能写完吗？你能借助字母符号，归纳这样的变化过程你能写完吗？你能借助字母符号，归纳上述具体数值变化的共同特征吗？上述具体数
6、值变化的共同特征吗？只要只要x1f(x2)LOGO追问追问3：这里对这里对x1 ，x2 有什么要求？只取有什么要求？只取(-,0上的某些数对是上的某些数对是否可以？你能举例说明吗？否可以？你能举例说明吗？在在(-,0上，上，任取任取 x1、x2，只要只要x1f(x2)，这时我这时我们说函数们说函数f(x)在上是在上是单调递减单调递减的的.所有的所有的x1f(x2)追问追问4：“所有所有”又该如何说明？既然又该如何说明？既然“所有所有”不易操作，我们可以不易操作，我们可以用什么量词来代替用什么量词来代替“所有所有”呢？呢？你能严格表达出来吗？你能严格表达出来吗？追问追问5：你能说明为什么你能说明
7、为什么f(x1)f(x2)吗？吗？追问追问6:对于函数对于函数y=x2，你能模仿以上的方法，给出，你能模仿以上的方法，给出“在区间在区间0,+)上，上，f(x)随着随着x的增大而增大的增大而增大”的符号语言刻画吗？的符号语言刻画吗？在在0,+)上上任取任取x1 、x2，只要只要x1x2，就有就有f(x1)f(x2),这时我们这时我们说函数说函数f(x)在在0,+)上是上是单调递增单调递增的的.任取任取 x1、x2(-,0，当当x1f(x2)，即函数即函数f(x)在在(-,0上是单调递减的。上是单调递减的。任取任取 x1、x2 0,+)，当当x1x2，都有，都有(x1)f(x2)，即函数即函数f
8、(x)在在(-,0上是单调递增的。上是单调递增的。()|f xx-问题问题3：你能归纳以上函数单调性的刻画方法，给出你能归纳以上函数单调性的刻画方法，给出函数函数y=f(x)在区间在区间D上单调性的符号表示吗？上单调性的符号表示吗？函数单调性的定义函数单调性的定义x0yx0y关于关于 x x1 1，x x2 2 三点说明：三点说明：（1 1）都来自同一区间）都来自同一区间DD，（2 2）必须任意，）必须任意，（3 3）有大小关系，一般设）有大小关系，一般设x x1 1xx2 2 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函上单调递增或单调递减，那么就说函数数y=f
9、(x)在这一区间在这一区间具有（严格）的单调性具有（严格）的单调性，区间，区间D叫做叫做y=f(x)的的单调区间单调区间.单调性单调性和和单调区间单调区间：明显明显:p 函数的增减函数的增减,是对定义域内某个区间而言的是对定义域内某个区间而言的,它是个它是个局部局部性的概念性的概念.p 在单调区间上在单调区间上,增函数的图象是上升的增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的减函数的图象是下降的.(1)(1)这个单调区间可以是整个定义域。这个单调区间可以是整个定义域。如：如：y=3x+1在定义域上是在定义域上是增函数增函数,y=-=-x是减函数是减函数(2)这个单调区间也可以是定义域的真子集。这
10、个单调区间也可以是定义域的真子集。如：如：y=x2在定义在定义域上没有单调性域上没有单调性,但在但在(-,0是减函数是减函数,在在 0,+)是增函数是增函数.(3)有的函数没有单调性区间有的函数没有单调性区间(1)(1)对于函数对于函数f(x)=|x|f(x)=|x|，取集合，取集合A=-1,2,3A=-1,2,3，则则x x1 1,x,x2 2-1,2,3-1,2,3，当，当x x1 1x0时，0)(21xxk于是)()(0)()(2121xfxfxfxf即上为增函数。在这时，R)(bkxxf当k0时，0)(21xxk于是)()(0)()(2121xfxfxfxf即上为减函数。在这时，R)(
11、bkxxf一次函数的单调性必须看一次项系数一次函数的单调性必须看一次项系数k k题型题型1 1利用定义判断或证明函数的单调性利用定义判断或证明函数的单调性利用利用定义证明定义证明函数函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单调性的一般步骤：上的单调性的一般步骤：任取任取x1，x2D，且，且x10k0时，图象如图（时，图象如图（1 1）；当）；当k0k0时，图象如图（时，图象如图（2 2）.).,0()0,(上单调递增。，在时，当上单调递减；，在时，当),0()0,(0),0()0,(0 xkykxkyk多个单调区间不能用多个单调区间不能用“”“”连接，连接，必须用必须用“，”或或“和和”连接
12、连接 反比例函数的单调性必须看比例系数反比例函数的单调性必须看比例系数k,k,还要注意还要注意单调区间的写法单调区间的写法。单调增区间单调增区间 单调减区间单调减区间 a0 a02yaxbxc,2ba,2ba 2(0)y axbx c a的对称轴为2bxa,2ba,2ba二次函数的单调性必须看它的二次函数的单调性必须看它的开口方向开口方向和和对称轴对称轴请你说出一个单调增区间是请你说出一个单调增区间是 的二次函数的二次函数,1 的单调性。说说二次函数02acbxaxy例例2.2.判断函数判断函数 在区间在区间(0,1)(0,1)上的单调性上的单调性.2()1xf xx 解解:任意取任意取x x
13、1 1,x x2 2 ，且，且00 x x1 1 x x2 2 1 0)得得f(x+a)右右移移a(a0)得得f(xa)xxf1)(axy1上上移移a(a0)得得f(x)+a下下移移a(a0)得得f(x)a axy1axy1axy1函数图象的平移函数图象的平移的单调区间）求函数（递增区间为的单调则（）已知（例6)(2.)(1;)(,1)11.522xxxfxfyxfxxf3.3.求复合函数的单调区间求复合函数的单调区间求函数的单调区间的基本方法：求函数的单调区间的基本方法：n 图象法图象法n 直接利用初等函数的单调区间直接利用初等函数的单调区间n 定义法定义法n 结论法结论法(1)(1)若若f
14、(x)f(x)为增为增(减减)函数，则函数，则 为为(2)(2)若若f(x)f(x)，g(x)g(x)均为某区间上的增均为某区间上的增(减减)函数，则函数，则f(x)f(x)g(x)g(x)为某区间上的为某区间上的 函数函数增增(减减)减减(增增)f(x)f(x),f(x)f(x)1 1如何证明？如何证明？的大小关系是则上是增函数，且在思考：若2121,),()(R)(xxxfxfxf想想：想想：这对你有什么启发？这对你有什么启发？利用函数的利用函数的单调性单调性可以将可以将函数值函数值大小问题转化为大小问题转化为自自变量变量的大小问题的大小问题.)1()2(2,2)(.6的取值范围求实数，上
15、的增函数，若是定义在例aafafxf.2)1()(1)3()()()(),0()(.2)82()(,0)(.1的取值范围求且若且上的增函数是定义在设的解集是上的减函数，不等式是定义在若练习：a，afaf，f，yfxfxyf，xfxfxfxf题型题型3.3.函数单调性的应用函数单调性的应用的取值范围为成立，则实数都有，满足对任意的实数已知axxxfxfxxxaxxaxaxf0)()(01022)(.32121212例例7.若若二次函数二次函数 在区间在区间 上单调递增，求上单调递增，求a的取值范围。的取值范围。,12()4f xxax oxy1xy1o解：解：二次函数二次函数 的对称轴为的对称轴
16、为 ,由图象可知只要由图象可知只要 ，即，即 即可即可.2()4f xxax2ax 12ax2a取值不定，须讨论发现有参数分析：对称轴aax,2,12()4f xxax 若若二次函数二次函数 的单调增区间的单调增区间是是 ,则则a的取值情况是的取值情况是 （）变式变式12222aaaaA.B.C.D.讨论函数讨论函数 在在(-2,2)(-2,2)内的单调性内的单调性.322 axxf(x)变式变式2解：解：f(x)的开口方向向上，对称轴是的开口方向向上，对称轴是x=a，（1）当当a-2时，时，f(x)在在(-2,2)单调递增；单调递增；（2）当当-2a2时，时，f(x)在在(-2,2)单调递减。单调递减。A.0)(.0)(,10)()()(,0,)(02.)(:.0)(,0)()()(,)(1.8上的单调性，在判断时，且当都有，对任意的上的函数，）已知定义在（上的减函数是求证时并且当，都有对任意的）函数（例xfxfxbfafabfbaxfRxfxfxbfafbafRbaxf分析：分析：肯定用定义法证明，那如何任取值、作差、变形、定号？肯定用定义法证明，那如何任取值、作差、变形、定号？
