1、带电粒子在磁场中的运动带电粒子在磁场中的运动一.洛仑兹力1.洛仑兹力的性质：大小：f=qvB sin 方向：左手定那么-注意四指指向电流的方向负电荷运动的反方向 特点:洛仑兹力对运动粒子不做功 2、磁场对带电粒子的作用力及运动情况分析、磁场对带电粒子的作用力及运动情况分析带电粒带电粒子静止子静止带电粒带电粒子在磁子在磁场中运动场中运动磁场不给磁场不给作用力作用力保持静止保持静止速度与速度与磁场垂直磁场垂直洛沦兹力洛沦兹力匀速圆匀速圆周运动周运动速度与速度与磁场平行磁场平行磁场不给磁场不给作用力作用力匀速匀速直线直线速度与磁场速度与磁场成一角度成一角度洛沦洛沦兹力兹力螺旋线螺旋线3、带电粒子不计
2、重力在匀强磁场中的运动、带电粒子不计重力在匀强磁场中的运动圆心确实定a、两个速度方向垂直线的交点。、两个速度方向垂直线的交点。常用在有界磁场的入射与出射方向常用在有界磁场的入射与出射方向的情况下的情况下VOb、一个速度方向的垂直线和一条弦的、一个速度方向的垂直线和一条弦的中垂线的交点中垂线的交点O根本思路：圆心一定在与速度方向垂直根本思路：圆心一定在与速度方向垂直的直线上，通常有两种方法：的直线上，通常有两种方法：半径确实定 主要由三角形几何关系求出（一般是三角形的边边关系、主要由三角形几何关系求出（一般是三角形的边边关系、边角关系、全等、相似等）。例如：已知出射速度与水平方向边角关系、全等、
3、相似等）。例如：已知出射速度与水平方向夹角夹角，磁场宽度为，磁场宽度为d d，则有关系式，则有关系式r=d/sinr=d/sin，如图所示。再，如图所示。再例如：已知出射速度与水平方向夹角例如：已知出射速度与水平方向夹角和圆形磁场区域的半径和圆形磁场区域的半径r r，则有关系式则有关系式R=rcot ,R=rcot ,如图所示。如图所示。2运动时间确实定 先确定偏向角。带电粒子射出磁场的速度方向对射入磁场的先确定偏向角。带电粒子射出磁场的速度方向对射入磁场的速度的夹角速度的夹角，即为偏向角，它等于入射点与出射点两条半径间，即为偏向角，它等于入射点与出射点两条半径间的夹角圆心角或盘旋角。由几何知
4、识可知，它等于弦切角的夹角圆心角或盘旋角。由几何知识可知，它等于弦切角的的2倍，即倍，即=2=t,如下图。如下图。qBmT2 然后确定带电粒子通过磁场的时间。粒子在磁场中运动一周然后确定带电粒子通过磁场的时间。粒子在磁场中运动一周的时间为的时间为 ,当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为 时，时，其运动时间由下式表示：其运动时间由下式表示：TtTt2360或1 1、直线边界进出磁场具有对称性、直线边界进出磁场具有对称性2 2、平行边界存在临界条件、平行边界存在临界条件3 3、圆形边界沿径向射入必沿径向射出、圆形边界沿径向射入必沿径向射出注意：注意：从一边界射入的粒子，
5、从同一边界射出时，从一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角弦切角相等。速度与边界的夹角弦切角相等。带电粒子沿径带电粒子沿径向射入圆形磁场区域内，必从径向射出。向射入圆形磁场区域内，必从径向射出。关注几种关注几种常见图形的画法，如下图：常见图形的画法，如下图：OBSO1带电粒子在半无界磁场中的运动带电粒子在半无界磁场中的运动 O1B02300MNBrrO600Orr600eBmvr eBmvrd22eBmeBmTt35265360300001eBmeBmTt326136060002eBmttt34212例例1、如图直线如图直线MN上方有磁感应强度为上方有磁感应强度为B的匀强磁场。的
6、匀强磁场。正、负电子同时从同一点正、负电子同时从同一点O以与以与MN成成30角的同样速角的同样速度度v 射入磁场电子质量为射入磁场电子质量为m，电荷为，电荷为e，它们从磁场，它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？中射出时相距多远？射出的时间差是多少？针对训练、一个负离子，质量为针对训练、一个负离子，质量为m，电量大小为，电量大小为q，以速，以速率率v垂直于屏垂直于屏S经过小孔经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中，射入存在着匀强磁场的真空室中，如下图。磁感应强度如下图。磁感应强度B的方向与离子的运动方向垂直，并的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于图中纸面向里垂直于图中纸面向里.1求离
7、子进入磁场后到达屏求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与上时的位置与O点的距离点的距离.2如果离子进入磁场后经过时间如果离子进入磁场后经过时间t到达位置到达位置P，证明，证明:直直线线OP与离子入射方向之间的夹角与离子入射方向之间的夹角跟跟t的关系是的关系是 tmqB2OBSvPsabL L.P1P2NcmqBmvr16cmrrPP7.4330cos2021MNBO2RR2RMNO2RR2RMNO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.2RR2RMNOSvvBPSvSQPQQ量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态带电粒子在平行直线边界磁场区域中的运动带电粒子在平行直线边界磁场区域中的
8、运动例例3、如下图、如下图,一束电子一束电子(电量为电量为e)以速度以速度V垂直射入磁垂直射入磁感应强度为感应强度为B、宽度为、宽度为d的匀强磁场的匀强磁场,穿透磁场时的速穿透磁场时的速度与电子原来的入射方向的夹角为度与电子原来的入射方向的夹角为300.求求:(1)电子的质量电子的质量 m(2)电子在磁场中的运动时间电子在磁场中的运动时间td dBev vvqBdm3vdTt336030v v变化变化1：在上题中假设电子的电量：在上题中假设电子的电量e，质量，质量m，磁，磁感应强度感应强度B及宽度及宽度d，假设要求电子不从右边界穿，假设要求电子不从右边界穿出，那么初速度出，那么初速度V0有什么
9、要求？有什么要求？Be v0dB变化变化2：假设初速度向下与边界成：假设初速度向下与边界成 =60 0，那么初速度有什么要求？，那么初速度有什么要求？变化变化3：假设初速度向上与边界成：假设初速度向上与边界成 =60 0，那么初速度有什么要求？，那么初速度有什么要求？ovBdabcvB量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态轨迹与边界相切带电粒子在矩形磁场区域中的运动带电粒子在矩形磁场区域中的运动V0OabcdV0Oabcd)30sin1(201 rL31Lr mqBLmqBrv311300600Lr 2mqBLmqBrv22mqBLvmqBL3qBmqBmTt3526536030000V02
10、2 穿过圆形磁场区。画好辅助线半径、速度、轨穿过圆形磁场区。画好辅助线半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线。迹圆的圆心、连心线。偏向角可由偏向角可由 求出。求出。Rrtan 2 Bqmt 经历经历 时间由时间由 得出。得出。注意注意:由对称性由对称性,射出线的反向延长线必过磁场圆的射出线的反向延长线必过磁场圆的圆心。圆心。vRvO O r带电粒子在圆形磁场区域中的运动带电粒子在圆形磁场区域中的运动Bvv600600P(x y)yxqBmqBmTt32613606000RRx2160cos0RRy2360sin0)23,21(RRPOxyoO针对训练、如下图，虚线所围区域内有方向垂直纸针对训练、如下
11、图，虚线所围区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。一束电子沿圆。一束电子沿圆形区域的直径方向以速度形区域的直径方向以速度v射入磁场，电子束经过磁射入磁场，电子束经过磁场区后，其运动的方向与原入射方向成场区后，其运动的方向与原入射方向成角。设电子角。设电子质量为质量为m，电荷量为，电荷量为e，不计电子之间的相互作用力，不计电子之间的相互作用力及所受的重力。求：及所受的重力。求：1电子在磁场中运动轨迹的半径电子在磁场中运动轨迹的半径R；2电子在磁场中运动的时间电子在磁场中运动的时间t；3圆形磁场区域的半径圆形磁场区域的半径r。BOvvr解：解：1由牛顿第
12、二定律和洛沦兹力公式得由牛顿第二定律和洛沦兹力公式得RmvevB/2解得解得eBmvR 2设电子做匀速圆周运动的周期为设电子做匀速圆周运动的周期为T，eBmvRT22由如下图的几何关系得：圆心角由如下图的几何关系得：圆心角所以所以eBmTt23由如下图几何关系可知，由如下图几何关系可知，Rr2tan所以所以2taneBmvr BOvvrRO 那那么么1v1RED1o2oF2RG 例6如下图，在边长为2a的等边三角形ABC内存在垂直纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场，有一带电量为q、质量为m的粒子从距A点 的D点垂直于AB方向进入磁场。假设粒子能从AC间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从A
13、C间什么范围内射出？带电粒子在三角形磁场区域中的运动带电粒子在三角形磁场区域中的运动a3maqBvmaqB3)32(3aa3)332(答案：答案：要粒子能从间离开磁场，粒子速率应满足粒子从距点 的 间射出EG 带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题，注意以下结论，再借助数学方法分析(1)刚好不穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切(2)当速率v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，那么带电粒子在有界磁场中运动的时间越长(3)当速率v变化时，圆心角越大，运动时间越长4、带电粒子在磁场中的临界、极值问题带电粒子在磁场中的临界、极值问题例7、如下图，在边界为AA、DD狭长区域内
14、，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里，磁场区域宽为d，电子枪S发出质量为m、电荷量为e、速率均为v0的电子当把电子枪水平放置发射电子时，在边界DD右侧发现了电子；当把电子枪在竖直平面内转动到某一位置时，刚好在左侧发现了电子(1)试画出刚好在左侧发现的电子在磁场中运动的轨迹；(2)计算该电子在边界AA的射入点与射出点间的距离带电粒子在磁场中运动的临界带电粒子在磁场中运动的临界1带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同速度时，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致多解如图带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，假设带正电，其轨迹为a，假设带负电，
15、其轨迹为b.2磁场方向不确定形成多解磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方向，那么应考虑因磁场方向不确定而导致的多解如图带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，假设B垂直纸面向里，其轨迹为a，假设B垂直纸面向外，其轨迹为b.带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在磁场中运动的多解问题3临界状态不惟一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180从入射面边界反向飞出，如下图，于是形成了多解4运动的往复性形成多解带电粒子在局部是电场，局部是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解如下图例8、如
16、图(甲)所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图(乙)所示有一群正离子在t0时垂直于M板从小孔O射入磁场正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力求：(1)磁感应强度的大小B0.(2)要使正离子从O孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值针对训练 如下图，MN表示真空中垂直于纸面的平板，它的一侧有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，一质量为m，电荷量为
17、q的粒子从平板上的狭缝O处以垂直于平板的速度射入磁场区域粒子与平板的碰撞无电荷量及能量损失，要使粒子最后打到P点，P到O的距离为L，不计重力，求此粒子的速度可能值)1(2nOBRS0vqBmnqBmnnTnt)1(22)1(2)1(2)1(2n1tannRrOrrOBRS0v)1(2nvnRnvrt1tan)1(总)1()12)(1nnn（总2nOrrOBRS0v060RRr330cot003613vRqBmTtrvmqvB2qRmvqrmvB300OBRS0vOrr090tvRqBmTt022414Rr rvmqvB2qRmvqrmvB00RRr330cot0rvmBqv2000322vRq
18、BmT0033221613vRvRTtRqmvrqmvB300OrrOBRS0v2如下图，宽h2 cm的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁感应强度的方向垂直于纸面向里，现有一群正粒子从O点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，假设粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径均为r5 cm，那么(D)右边界：4 cmy4 cm和y8 cm有粒子射出左边界：0y8 cm有粒子射出A B C D解析：经分析可知当射入速度方向为y方向时，粒子从右边界射出，如下图，由几何关系可得y14 cm当粒子轨迹恰好与右边界相切时，粒子恰好不从右边界射出，从左边界射出，如下图，由几何关系，y24 cm，轨迹与y轴交点y38 c
19、m，由题意可得右边界4 cmy4 cm有粒子射出，左边界0y8 cm有粒子射出6如下图，在真空中半径r3.0102 m的圆形区域内，有磁感应强度B0.2 T、方向如下图的匀强磁场，一批带正电的粒子以初速度v01.0106 m/s，从磁场边界上直径ab的一端a沿着各个方向射入磁场，且初速度方向与磁场方向都垂直，该批粒子的比荷为q/m1.0108 C/kg，不计粒子重力求：(1)粒子的轨迹半径；(2)粒子在磁场中运动的最长时间答案：(1)5.0102 m(2)6.5108 s7一质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向夹角30，如下图(粒子重力忽略不计)试求：(1)圆形磁场区域的最小面积(2)粒子从O点进入磁场区域到达b点所经历的时间(3)b点的坐标答案：见解析
