1、1 2019 年安徽省“江南十校”综合素质检测 数学（理科） 一选择题 1设集合 U2，1，0，1，2，Ax|x21，xU，则 UA A2，2B1，1C2，0，2D1，0，1 2复数 i 1 i z （i 为虚数单位） ，则| z A 2 2 B2C 1 2 D2 3抛物线 y2x2的焦点坐标是 A （0， 1 2 ）B （ 1 2 ，0）C （0， 1 8 ）D （ 1 8 ，0） 4在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若2 7b ，c3，B2C，则 cos2C 的值为 A 7 3 B 5 9 C 4 9 D 7 4 5已知边长为 1 的菱形 ABCD 中，BAD60，点
2、 E 满足2BEEC ，则AE BD 的值 是 A 1 3 B 1 2 C 1 4 D 1 6 6我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异 ” 意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等利 用此原理求以下几何体的体积：曲线 yx2（0yL）绕 y 轴旋转一周得几何体 Z，将 Z 放 在与 y 轴垂直的水平面上，用平行于平面，且与 Z 的顶点 O 距离为 l 的平面截几何体 Z， 2 得截面圆的面积为 2 () ll 由此构造右边的几何体 Z1：其中 AC平面，ACL， 1 AA，AA1，它与 Z 在等高处的截面面积都相等，图
3、中 EFPQ 为矩形，且 PQ， FPl，则几何体 Z 的体积为 AL2BL3C 2 1 2 LD 3 1 2 L 7已知函数 2 ( )cos() 3 f xx （0）的最小正周期为 4，则下面结论正确的是 A函数 f（x）在区间（0，）上单调递增 B函数 f（x）在区间（0，）上单调递减 C函数 f（x）的图象关于直线 2 3 x 对称 D函数 f（x）的图象关于点（ 2 3 ，0）对称 8设函数 2 31 ( ) 31 x x f xx ，则不等式 f（3log2x）f（1log2x）0 的解集是 A （0， 2 2 ）B （ 2 2 ，）C （0，2）D （2，） 9已知双曲线 22
4、2 1 4 xy b （b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为右支上一点且直线 PF2 3 与 x 轴垂直，若F1PF2的角平分线恰好过点（1，0） ，则PF1F2的面积为 A12B24C36D48 10 已知函数 1 ( ) 1 k f x xx ， 4eln ( ) xx g x x （e 是自然对数的底数） ， 若对 1 (0,1)x， 2 1,3x，使得 f（x1）g（x2）成立，则正数 k 的最小值为 A 1 2 B1C42 3D42 3 11如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗线（实线、虚线）画出的是某几何体的三视 图，其中的曲线都是半径为 1 的圆周的四分之一，则该几何
5、体的表面积为 A20B20 4 C 3 20 4 D 5 20 4 12 计算机内部运算通常使用的是二进制， 用 1 和 0 两个数字与电路的通和断两种状态相对 应现有一个 2019 位的二进制数，其第一个数字为 1，第二个数字为 0，且在第 k 个 0 和第 k1 个 0 之间有 2k1 个 1（kN*） ，即 2019 101110111110 个 ，则该数的所有数字之和为 A1973B1974C1975D1976 二填空题 13设 x，y 满足约束条件 20 210 220 xy xy xy ，则 z3xy 的最小值为_ 4 14已知 2 sincos1 1 3cos4 ，且 1 tan
6、() 3 ，则 tan的值为_ 15在（xyz）6的展开式中，所有形如 xaybz2（a，bN）的项的系数之和是_ （用数字作答） 16如图，三棱锥 ABCD 中，ACADBCBD10，AB8，CD12，点 P 在侧面 ACD 上，且到直线 AB 的距离为21，则 PB 的最大值是_ 三解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必做题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题 17已知数列an与bn满足：a1a2a3an2bn（nN*） ，且an为正项等比数列， a12，b3b24 （）求数列an与bn的通项公式； （）若数
7、列cn满足 1 n n nn a c b b （nN*） ，Tn为数列cn的前 n 项和，证明：Tn1 18 斜三棱柱 ABCA1B1C1中， 底面是边长为 2 的正三角形， 1 7AB ， A1ABA1AC 60 5 （）证明：平面 A1BC平面 ABC； （）求直线 BC1与平面 ABB1A1所成角的正弦值 19某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀， 现获得该公司 20112018 年的相关数据如下表所示：来源:学#科#网 Z#X#X#K 年份20112012201320142015201620172018 年生产台数（万台）2345671011 该产
8、品的年利润（百万元）2.12.753.53.2534.966.5 年返修台数（台）2122286580658488 部分计算结果： 8 1 1 6 8 i i xx ， 8 1 1 4 8 i i yy ， 8 2 1 ()72 i i xx ， 8 2 1 ()18.045 i i yy ， 8 1 ()()34.5 ii i xxyy 注： 年返修台数 年返修率 年生产台数 （）从该公司 20112018 年的相关数据中任意选取 3 年的数据，以表示 3 年中生产部门 获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望； （）根据散点图发现 2015 年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数
9、据求出 年利润 y（百万元）关于年生产台数 x（万台）的线性回归方程（精确到 0.01） 6 附： 线性回归方程 ybxa 中， 11 2 22 11 ()() () nn iiii ii nn ii ii xxyyx yn x y b xxxn x ，ayb x 20设 O 是坐标原点，圆 O：x2y2r2（r3） ，椭圆 C 的焦点在 x 轴上，左、右顶点分别 为 A，B，离心率为 5 3 ，短轴长为 4平行 x 轴的直线 l 与椭圆 C 和圆 O 在 y 轴右侧的交 点分别为 E，F，直线 AE 与 y 轴交于点 M，直线 BE 与 y 轴交于点 N （）求椭圆 C 的标准方程； （）当
10、1216FM FN 时，求 r 的取值范围 21已知定义在区间（0，2）上的函数( )ln m f xx x ，mR （）证明：当 m1 时，f（x）1； （）若曲线 yf（x）过点 A（1，0）的切线有两条，求实数 m 的取值范围 （二）选考题 22选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 110cos 410sin x y （为参数） ，以坐标原点 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为cos5 （）求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； （）点 P（m，n）为曲线 C2上一点，若曲线 C1上存在两点 A，B，使
11、得APB90，求 n 的取值范围 23选修 45：不等式选讲 设函数 f（x）lg（|2x1|2|x1|a） 7 （）当 a4 时，求函数 f（x）的定义域； （）若函数 f（x）的定义域为 R，求 a 的取值范围 8 2019 安徽省“江南十校”综合素质测试 数学（理科）解析及评分标准 一、选择题 题号123456789101112 答案DACBDCCABCBC 二、填空题 题号13141516 答案21240 57 三、解答题 17 （1）由 a1a2a3an2bn n2 时，a1a2a3an12bn1 可得：an2（bnbn1） （n2） ， a32（b3b2）8 a12，an0，设an
12、公比为 q， a1q28，q2 an22n 12n 1231 2(1 2 ) 2222222 1 2 n nn n b ，bn2n1 9 （2）证明：由已知： 11 1 211 (21)(21)2121 n n n nnnn nn a c bb 123 12231 111111 212121212121 n nn cccc 1 1 11 21 n 18 （1）AB2， 1 7AB ，A1AB60， 由余弦定理： 222 1111 2cosABAAABAA ABA AB， 即 2 111 23031AAAAAA或， 故 AA13 取 BC 中点 O，连接 OA，OA1， ABC 是边长为 2 的
13、正三角形， AOBC，且3AO ，BO1， 由A1ABA1AC 得到 11 7ABAC，故 A1OBC， 且 1 6AO ， 222 11 AOAOAA，AOA1O， 10 又 BCAOO，故 A1O平面 ABC， 11 AOABC 平面， 平面 A1BC平面 ABC （2）解法一：以 O 为原点，OB 所在的直线为 x 轴，取 B1C1中点 K以 OK 所在的直线为 y 轴，过 O 作 OGAA1，以 OG 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系 则 B（1，0，0） ，B1（1，3，0） ，C1（1，3，0） ，A1（0，2，2） ， 1 ( 2,3,0)BC ， 1 (0,3,0)BB
14、， 1 ( 1,2, 2)BA 设平面 ABB1A1的一个法向量为( , ,1)mx y ，则 1 1 30 2 ( 2,0,1) 0 220 m BBy x m y m BAxy 设所求角为，则 1 1 |2 22 78 sin 39|13 3 BC m BCm 解法二：以 O 为原点，OB 所在的直线为 x 轴，以 OA1所在的直线为 y 轴，以 OA 所在的直 线为 z 轴建立空间直角坐标系 则 B（1，0，0） ，A（0，0，3） ，A1（0，6，0） ，C（1，0，0） ， 11 设 C1（x，y，z） ，由 11 C ACA 可得 C1（1，6，3） ， 1 ( 2, 6,3)BC
15、 ，(1,0,3)AB ， 1 ( 1, 6,0)BA 设平面 ABB1A1的一个法向量为( , , )mx y z ，则来源:学。科。网 Z。X。X。K 1 30 60 m ABxz m BAxy ，取 1 6( 6,1,2) 2 y xm z 设所求角为，则 1 1 |2 62 78 sin 39|13 3 BC m BCm 解法三：由（1） 11 1 111 2 332 CABAAOA VBCSBCAOAO 设 C 到平面 ABB1A1的距离为 h， 则由 CC1面 ABB1A1知 C1到平面 ABB1A1的距离也为 h， 则 11 1 1112 6 =sin602 3323 CABAA
16、BA VhShABA Ah 设所求角为，则 1 2 62 78 sin 3913 3 h BC 19 （1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018 五个年份考核优秀，故的所有可能 取值为 0，1，2，3 03 53 3 8 C C1 (0) C56 P， 12 53 3 8 C C15 (1) C56 P，来源:学科网 ZXXK 21 53 3 8 C C30 (2) C56 P， 12 30 53 3 8 C C10 (3) C56 P， 故的分布列为 012来源:学。科。网3 P 1 56 15 56 15 28 5 28 所求 11515515 0123 56562
17、8288 E （2）解法一： 888 2 222 111 ()72()8360 iii iii xxxxxx 888 111 ()()34.5()()8226.5 iiiiii iii xxyyx yxxyyxy 故去掉 2015 年的数据之后 6 86 6 7 x ， 4 8329 77 y 2 2222 55 ()736067 672 ii ii xxxx 55 29 ()()7226.56 37 634.5 7 iiii ii xxyyx yxy 所以 34.5 0.48 72 b ， 2934.5 61.27 772 ayb x 从而回归方程为：0.481.27yx 解法二：因为 6
18、6xx，所以去掉 2015 年的数据后不影响b 的值， 所以 34.5 0.48 72 b ， 13 而去掉 2015 年的数据之后 6 86 6 7 x ， 4 8329 77 y ， 2934.5 61.27 772 ayb x 从而回归方程为：0.481.27yx 注：若有学生在计算a时用0.48b 计算得 29 0.48 61.26 7 ayb x 也算对。 20 （1）设椭圆 C 的标准方程为 22 22 1 xy ab （ab0） 由题意得 22 5 3 24 ab a b ，解得 3 2 a b ， 椭圆 C 的标准方程为 22 1 94 xy （2）解法一：设 l：yt（2t2
19、）且 t0，E（x1，t） ，F（x2，t） ，3x10，rx20 设 M（0，s） ，A、E、M 共线，kAMkAE 1 00 0( 3)( 3) st x ， 1 3 3 t s x ，得 M（0， 1 3 3 t x ） ，同理得 N（0， 1 3 3 t x ） 22 222 1111 3333 (,) (,)(1)(1) 3333 tt FM FNxtxtxt xxxx 222 22222222 11 2222 22 1 449 (9)44 9994 xxt xtxtxxtr xt 1216FM FN ， 2 12416r ， 42 5r 14 解法二：设 AE：xmy3（m0） ，
20、E（x1，y1） ，F（x2，y2） ，联立 22 3 1 94 xmy xy 得： （4m29）y224my0， 1 2 24 49 m y m ， 2 1 2 1227 49 m x m ， 1 1 4 39 BE y km x BN： 4 (3) 9 ym x ，令 x0 得 N（0， 12 9 m ） 又由 AE：xmy3（m0） ，令 x0 得 M（0， 3 m ） 又 lx 轴， 21 2 24 49 m yy m 222 2222222 312312 (0,) (0,)()44 99 mm FM FNxyxyxyyr mm 1216FM FN ， 2 12416r 42 5r 2
21、1 （1）证明：m1 时， 1 ( )lnf xx x 22 111 ( ) x fx xxx ， f（x）在（0，1上递减，在1，2）上递增， f（x）minf（1）1，f（x）1 （2）当 m0 时，f（x）lnx，x（0，2） ，明显不满足要求； 当 m0 时，设切点为（x0，f（x0） ） （显然 x01） ，则有 0 0 0 () () 1 f x fx x ， 15 0 00 2 00 ln 1 m x xmx xx ，整理得 0 2 00 21 ln10 mm x xx （*） 由题意，要求方程（*）在区间（0，2）上有两个不同的实数解 令 2 21 ( )ln1 mm g xx
22、 xx ， 3 (2 )(1) ( ) xm x g x x 当 2m1 即 1 2 m时，g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减或先单调 递减再递增， 而 1 ( )( e 1)(2e)0 e gm，g（1）m0， 321 (2)ln21ln20 48 m g ， 1 (2 )ln20 4 gmm m ， g（x）在区间（0，1）上有唯一零点，在区间（1，2）上无零点 所以此时不满足题要求 当 02m1 即 1 0 2 m时，g（x）在（0，2m）上单调递增，在（2m，1）上单调递 减，在（1，2）上单调递增， (21 e)e ()ln10 ee mmm g m ，g（1）m
23、0， g（x）在区间（0，2）上有唯一零点，所以此时不满足题要求 当 m0 时，g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增， 1 ( )( e 1)(2e)0 e gm，g（1）m0， 32 (2)ln2 4 m g 当 g（2）0 即 24ln2 3 m 时，g（x）在区间（0，2）上有唯一零点，此时不满足题要 求 当 g（2）0 即 24ln2 0 3 m 时，g（x）在区间（0，1）和（1，2）上各有一个零点， 16 设为 x1，x2，又这时 22 1 ( ) xmm fx xxx 显然在区间（0，2）上单调递减， f（x1）f（x2） ，所以此时满足题目要求 综上所述，m
24、的取值范围是 24ln2 0 3 m （2）解法二：设切点为（x0， 0 0 ln m x x ） ，由解法一的关于 x0的方程 0 0 2 00 (21)1 ln10 xm x xx 在区间内（0，2）有两解，显然 1 2 不是方程的解， 故原问题等价于 22 ln 1 2 xxxx m x 在区间内（0，2）有两解 设 22 ln(1ln) ( ) 1 21 2 xxxxxxxx g x xx ，0x2， 1 2 x 则 2 1 (1)(2ln ) ( ) (1 2 ) xxx x g x x ，0x2， 1 2 x 令 1 ( )2lnh xx x ，0x2，则 22 1221 ( )
25、x h x xxx ， 故 x （0，1 2 ） ， h （x） 0， x （ 1 2 ， 2） ， min 1 ( )0( )( )( )2ln40 2 h xh xh xh 故 x（0， 1 2 ） ， （ 1 2 ，1） ，g（x）0，x（1，2） ，g（x）0 从而 x（0， 1 2 ） ， （ 1 2 ，1） ，g（x）递增，x（1，2） ，g（x）递减， 令 t（x）1xlnxx，0x2，t（x）lnx， 由于 x（0，1）时 t（x）0，x（1，2）时 t（x）0 t（x）t（x）mint（1）0 17 故 x（0， 1 2 ） ，g（x）0，x（ 1 2 ，2） ，g（x）0
26、而 x（ 1 2 ，2）时，g（x）g（1）0， 1 2 x 时，g（x） 故 22 ln 1 2 xxxx m x 在区间内（0，2）有两解(2)0gm， 解得 24ln2 0 3 m （二）选考题来源:Z,xx,k.Com 22（1）C1：（x1）2（y4）210，C2：x5 （2）由（1）P（5，n），过 P 作曲线 C1的两条切线，切点分别记为 M，N， 由题，MPN90，故MPC145， 即 1 1 1 |2 sin |2 MC MPC PC ，即|PC1|22|MC1|2， 18 222 (5 1)(4)2 108120nnn， 故 2n6 （其他正确解答酌情给分） 23（1）由题：|2x1|2|x1|4， 当 x1 时，12x2x24， 5 4 x ， 当 1 1 2 x 时，12x2x24，无解， 当 1 2 x 时，2x12x24， 3 4 x ， 综上：f（x）的定义域为（， 5 4 ）（ 3 4 ，） （2）由题：|2x1|2|x1|a 恒成立 |2x1|2|x1|2x1|2x2|（2x1）（2x2）|3， 故 a3
