1、 刚体的平面运动是机构中常见的一种运动，研究刚体的平面运动具有重要的意义。刚体的平面运动可以看成是随基点的平动平动（牵连运动）与绕基点的转动转动（相对运动）的合成。本章将研究刚体平面运动的描述方法，以及刚体内各点的速度，加速度。9 9 刚体的平面运动刚体的平面运动19.1 刚体平面运动的运动方程刚体平面运动的运动方程 9.1.1 刚体平面运动的定义 刚体运动时，如其上各点到某一固定平面的距离始终保持不变，则这种运动称为刚体的平面运动刚体的平面运动（简称平面运动）（Planar motion of rigid body)。平面运动的实例：2平面运动的实例13平面运动的实例24平面运动的实例35
2、曲柄连杆机构中连杆AB的运动、车轮C 的运动、行星齿轮机构中行星齿轮A的运动，它们在运动的过程中,其上既没有一条和原位置始终平行的直线没有一条和原位置始终平行的直线也没有一没有一条始终不动的直线条始终不动的直线。因此，它们的运动既不是平动也不是定轴转动，而是平面运动。6 作平面定平面且与刚体相交成一平面图形S。当刚体运动时，平面图形S 始终保持在平面内。平面称为平面图形S 自身所在平面。9.1.2 平面运动的简化 结论：结论：刚体的平面运动可以 简化为平面图形S 在其自身平面内的运动。在刚体上任取平面图形S 的直线A1A2 ，A1A2 作平动，其上各点都具有相同的运动。A1A2 和图形S 的交
3、点 A 的运动可代表全部A1A2 的运动，而平面图形S 内各点的运动即可代表全部刚体的运动。7 9.1.3 刚体的平面运动方程 在平面图形S内建立平面直角坐标系Oxy，为确定平面图形 S 在任意瞬时 t 的位置，只须确定其上任意线段 AB 的位置，而线段 AB 的位置可由点 A 的坐标xA，yA 和线段 AB 与 x 轴（或 y 轴）的夹角j 来确定。点 A 称为基点基点(Base point)，一般选为已知点。当图形 S 在平面运动时，基点 A 的坐标 xA，yA 和夹角j 都随时间而变化。y x A B O j xA yA x y)t(f)t(fy)t(fxAA321j 刚体平面运动的运动
4、方程刚体平面运动的运动方程（Equations of planar motion of rigid bodies）（9-1）8 例如沿平直轨道作直线滚动的车轮，如图9-4所示，设车轮的轮心 C 以速度 v0 作匀速运动，选点 C 为基点，初始时 C 点在 y 轴上，任一瞬时 CM 与 y 轴的夹角j，则车轮的运动方程为：00,ccv txv tyRRj M C y x R C1 O v0 M1 j x y K 99.2 平面运动分解为平动和转动平面运动分解为平动和转动 （1）若基点 A 不动，基点 A 坐标 xA，yA 均为常数，则平面图形 S 绕基点 A 作定轴转动；（2）若 j 为常数，平
5、面图形 S 无转动，则平面图形 S以方位不变的角 j 作平动。平面图形 S 的运动可以看成是随着基点的平动平动和绕基点的转动转动的合成。或者说，平面图形 S 的运动可以分解为平动和转动。图形 S的绝对运动（对于定系Oxy的运动）是平面运动，相对运动（对于动系的运动）是绕基点A的转动，牵连运动（动系对于静系Oxy的运动）为随基点A的平动。一般的情况下，在基点 A 处建立平动坐标系 。yxA10 选择不同的基点，则平面图形 S 随同基点平动的速度和加速度是不相同的，即平面图形随着基点平动的速度和加速度与基点的选择有关。而平面图形 S 绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。证明：设平面图形S
6、在时间内从I位置运动到II位置。12jj 1200limlimttttjj ABddddABttAB 图形S绕基点转动的角速度、角加速度称为平面图形的角速度和角加速度，而不必指明其基点。A B A 1j 2j A B B 119.3 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法 9.3.1 基点法运用速度合成定理求平面图形内各点的速度。A v A v A v B v BA B O y x 取 A 为基点，牵连速度 eAvvB点的相对速度 rBAvvBAv ABBAv 称为点 B 绕基点 A 转动的速度，它的大小等于方向垂直于转到半径AB，指向与平面图形的转向一致。由速度合成定理得
7、BAvvvBA（9-2）12 平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点绕基点转动的速度的矢量和。绕基点转动的速度的矢量和。这种求平面图形内任一点速度的方法称为基点法基点法（Method of base point）。（2）选择基点并求解：通常选择速度已知的点作为基点。本题选择点 A为基点。解：（1）运动分析：杆 AB 作平面运动，其两端 A、B分别沿水平和铅直方向作直线运动。例9-1 椭圆规尺 A 端以速度 vA 沿水平向左运动。已知 AB=l，求杆AB与水平线夹角为 j 时，B 端的速度以及杆 AB 的角速度。B A j j vA vA vBA v
8、B 13BAvvvBABvAvBAv速 度大 小方 向？铅直方位水平向左vA垂直AB？cotBAvvjsinABAvvjsinBAAABvvllj 作出速度平行四边形，vB位于速度平行四边形的对角线上。由几何关系可得14 例9-2 平面机构，AB=BD=DE=l=30 cm，在图示位置时，BD/DE，杆 AB 角速度为 。试求此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。5rad/s15 解：（1）运动分析：杆AB和DE作定轴转动，B、D两点的速度分别垂直于杆AB和DE。杆BD作平面运动。150BvABcm/s （2）选择基点并求解：选点B为基点，依据公式 DBvvvDB作速度平行四边形。B A
9、E D C 60 60 60 60 vB vB vB vDB vCB vD vC BD DE 16150DBvvcm/s5DDDEvvDElrad/s150DBBvvcm/s5DBDBvDBrad/s再以B为基点，依据公式CBvvvCB作速度平行四边形，75CBBDvBCcm/s垂直于杆BD 由几何关系可求得C点的速度为 cos30129.9CBvvcm/s B A E D C 60 60 60 60 vB vB vB vDB vCB vD vC BD DE 17 例9-3 半径为R的圆轮，沿直线轨道作无滑动的滚动。已知轮心O以速度vO运动，试求轮缘上水平位置和竖直位置处点A、B、C、D的速度
10、。解：选轮心O为基点，先研究点C的速度。由于圆轮沿直线轨道作无滑动的滚动，点C的速度为 O C B D A vA vB vD vO vO vO vO vO vBO vDO vAO vCO 0COCOvvvCOOvvRRAOBODOOvvvRv圆轮的角速度为各点相对基点的速度为182AOAOOvvvv222BOBOOvvvv2DOvvA的速度为B的速度为同理，可得D的速度为 O C B D A vA vB vD vO vO vO vO vO vBO vDO vAO vCO 19 应用速度投影定理求速度的方法称为速度投影速度投影法法。9.3.2 速度投影法coscosABvvABAABBvv（9-
11、3）速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。速度投影定理是刚体上任意两点间的距离保持不变的必然结果。适用于任何形式的刚体运动。应用矢量投影定理，将该矢量式 向AB连线投影。BAvvvBA20 例9-4 用速度投影法求例9-1中点B的速度。解：依据 ABAABBvvcos(90)cosBAvvjjcotBAvvj 比较基点法和速度投影法可知，当已知平面图形上一点速度的大小和方向以及另一点速度的方位时，应用速度投影法求该点速度的大小和指向是很方便的，但用速度投影法不能求出平面图形的角速度。B A j j vA vA vBA vB 21 例9-5 已知 OA=10 cm，以角
12、速度 转动，CD=3 CB，在图示位置时，A、B、E 三点恰在同一水平线上，且 。试求此瞬时点 E 的速度。2rad/sCDED 解：（1）运动分析：杆 OA、CD 作定轴转动，杆 AB、DE 以及轮 E 作平面运动。A B E D C 30 vE vD vB vA 60 O 2220AvOAcm/s（2）应用速度投影法求解 cos30BAvv23.1cos30ABvv cm/s摇杆CD作定轴转动69.3BDvvDCCBcm/scos30EDvv80cos30DEvv cm/s A B E D C 30 vE vD vB vA 60 O 239.4 求平面运动图形内各点速度的瞬心法求平面运动图
13、形内各点速度的瞬心法 平面图形上各点的速度，除基点法和投影法外，更常用的还有用瞬心法。9.4.1 平面图形的速度瞬心 在某一瞬时，平面图形（或其延伸部分）上速度等于零的点称为平面图形的瞬时速度中心平面图形的瞬时速度中心（Instantane-ous center of velocity），简称为速度瞬心速度瞬心。定理：一般情况，在每一瞬时，平面图形（或其延伸部分）上都惟一地存在一个速度为零的点。24 证明：设某瞬时，平面图形 S上点 A 的速度为 vA，图形的角速度为。若取点 A 为基点，则图形上任一点 M 的速度 S A v A v A M v M A C v C A N MAAMvvv 如
14、果点 M 位于vA 的垂线 AN上，则 vA和 vMA 在同一直线上，而方向相反，故 vM 的大小为：MAvv AM 随着点 M 在垂线 AN 的位置不同，vM 的大小也不同，总可以找到一点 C，这点的瞬时速度等于零。0CAvv ACvACA25 刚体作平面运动时，在每一瞬时，图形内必有一点为速度瞬心；速度瞬心是随时间而变化的，在不同瞬时，平面图形有不同位置的速度瞬心。9.4.2 平面运动图形内各点的速度及其分布 每一瞬时在平面图形内都存在速度瞬心 C。选速度瞬心 C 作为基点，A、B、D点的速度可表示为：v D A C B C D v A v B 26 由于平面图形绕任意点转动的角速度都相等
15、，因此平面图形绕速度瞬心 C 转动的角速度 等于图形绕任一基点转动的角速度。AACvv ACBBCvv BCDDCvv DCACACCAvvvvBCBCCBvvvvDCDCCDvvvv 结论：平面图形内任一点的速度等于该点绕速度平面图形内任一点的速度等于该点绕速度瞬心转动的速度。瞬心转动的速度。27 平面图形上各点速度在某瞬时的分布情况，与图形绕定轴转动时各点速度的分布情况类似。因此，平面图形的运动可看成为绕速度瞬心的瞬时转动。平面图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比。速度的方向垂直于该点到速度瞬心的连线，指向图形转动的一方。平面图形内任一点速度的大小等于该点到速度瞬心的距离与平面
16、图形角速度的乘积，速度的方位垂直与该点与速度瞬心的连线，指向与角速度的转向一致。这种求速度的方法称为速度瞬心法速度瞬心法（Method of instantaneous center of velocity）。28 如果求出平面图形在某一瞬时的速度瞬心位置和角速度，就可以很容易地确定该瞬时图形内各点的速度。根据机构的几何条件，确定速度瞬心位置的方法有下列几种：（1）当平面图形沿一固定面作无滑动的滚动（纯滚动）时。平面图形与固定面的接触点 C 就是图形的速度瞬心。车轮在纯滚动的过程中，轮缘上的各点相继与地面接触而成为车轮在不同时刻的速度瞬心。C v 29 （2）已知图形内任意两点 A 和 B 的
17、速度的方向，速度瞬心 C 的位置必在每一点速度的垂线上。通过点 A，作垂直于 vA 方向的直线 Aa；再通过点 B，作垂直于 vB 方向的直线 Bb。设两条直线交于点 C，则点 C 就是平面图形的速度瞬心。O A B a b C vB vA 30 当 vA 和 vB 同向时，图形的速度瞬心在 AB 的延长线上；当 vA 和 vB 反向时，图形的速度瞬心 C 在 A、B 两点之间。（3）若平面图形上两点 A 和 B 的速度相互平行，并且速度方向垂直于两点的连线 AB，如图9-15所示。则速度瞬心必定在 A、B 两点连线 AB 与速度 vA 和 vB 端点连线的交点 C 上。B C C A A B
18、 vB vB vA vA 31 （4）某一瞬时，平面运动图形上 A、B 两点的速度相等，即 vA=vB 时。这种情况下平面运动图形的速度瞬心在无限远处。在该瞬时，图形上各点的速度分布如同平面图形作平动的情形一样，因此称瞬时平动瞬时平动（Instantaneous translation）。必须注意，此瞬时各点的速度虽然相同，但加速度不同。O A B vA vB B A vA vB 32 例9-6 图示机构中，已知 A 点速度为vA。试用速度瞬心法求 B 点速度 vB。解：分别作 A 和 B 两点速度的垂线。两条直线的交点C就是平面图形AB的速度瞬心。x A y vA B D O sinAAvv
19、ACljcotBAABCvBC vvACjB点的速度为 也可求平面运动图形内任一点的速度。例如杆AB中点D的速度为 2sinADvvDC j x A y vB vA vD B C D O 于是平面图形AB的角速度为33 O C B D A vA vB vO vD 例9-7 用速度瞬心法求例9-3各点的速度。解：由于圆轮沿直线轨道作无滑动的滚动，圆轮与轨道接触点的速度为零，故点 C 为速度瞬心。OvR22OAOvvACRvR22BDOvvRv圆轮上各点速度为圆轮的角速度为34 例 9-8平面机构，曲柄OA以角速度=2 rad/s绕轴O转动，已知：OA=CD=10 cm，AB=20 cm，BC=3
20、0 cm，在图示位置时，曲柄OA处于水平位置，曲柄CD与水平线夹角 ；试求该瞬时连杆AB、BC和曲柄CD的角速度。o45j 解：点 A 的速度为10 220 cm/sAvOA0AB20 cm/sBAvvB点的速度为 连杆AB作瞬时平移，其角速度为 A B C D j j O vC P BC vB vA CD 35 C点的速度方位垂直于CD，连杆BC速度瞬心为B、C速度矢量垂线的交点P。则连杆BC的角速度为200.471rad/s230 2BBBCvvPBBCC点的速度大小为0.471 3014.14 cm/sCBCvPC曲柄CD的角速度为14.141.414 rad/s10CCDvCD36 对
21、于由几个平面运动图形组成的平面机构，则可依次对每一平面运动图形，按上述步骤进行，直到求出所需的全部未知量为止。应该注意，每一个平面运动图形有它自己的速度瞬心和角速度。因此，每求出一个瞬心和角速度，应明确标出它是哪一个平面运动图形的瞬心和角速度，决不可混淆。379.5 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度 平面图形 S 的运动可分解为两部分：（1）随同基点 A 的平动（牵连运动）；（2）绕基点 A 的转动（相对运动）。平面图形内任一点 B 的运动也由这两种运动合成，其加速度可以用加速度合成定理求出。因为牵连运动为平动，点 B 的牵连加速度等于基点 A的加速度 aA，点
22、 B 的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。aA aA B A S a B a B A a B A n a B A 38加速度aBA是 B 点随图形绕基点 A 转动的加速度，可分为切向加速度与法向加速度两部分。nBABAABaaaa（9-5）BAaAB2 ABanBABAa 为点 B 绕基点 A 转动的切向加速度，方向与 AB垂直，大小为 为平面图形的角加速度。nBAa 为 B 点绕基点 A 转动的法向加速度，指向基点 A，大小为 为平面图形的角速度。BABAaaa（9-4）39 结论：平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向速度和法向加速度的矢量和。式（
23、9-5）为平面图形内任意点的各加速度的矢量等式，通常可向两个正交的坐标轴投影，得到两个投影方程，用以求解两个未知量。40 例9-9 外啮合行星齿轮机构，系杆O1O=l，以匀角速度 1 绕 O1转动。大齿轮II固定，行星轮I半径为 r，在轮II上只滚不滑。设 A 和 B是轮缘上的两点，点 A 在 O1O 的延长线上，而点 B 则在垂直于O1O 的半径上。试求点 A 和 B 的加速度。解：轮 I 作平面运动，其中心 O 的速度和加速度分别为1Ovl，21Oal 选点O作为基点。由题意知，轮I的速度瞬心在两轮的接触点C处。轮I的角速度为1rlrvO a B a O a O n a B O a A O
24、 n a O O1 O 1 B C A 411 为不变的恒量。所以也是恒量，因此轮I的角加速度等于零。0BOAOaaA、B 两点相对于基点 O 的法向加速度分别沿半径 OA 和 OB指向中心 O。2122rlraanBOnAOA点的加速度22211nAOAOlaaalrB点的加速度 2221BlarlrarctanarctanOnBOaral42 例9-10 在椭圆规的机构中，曲柄OD以匀角速度 绕O轴转动。OD=AD=BD=l。求当j=60时，杆AB的角加速度和点A的加速度。x y A B D O C AB vD vA 解：曲柄OD绕O轴转动；杆AB作平面运动。Dvl，laD2杆AB的角速度
25、DABvCD 取杆 AB上的点 D为基点。则点A的加速度为 nADADDAaaaa A x D aA aD aD a A D a A D n 43 A x D aA aD aD a A D a A D n 22nADABaADl作加速度矢量图nADDAaaa)2cos(cosjj向h 和 x 轴上投影 jjjsincossin0nADADDaaalllaaanADDA22260cos60coscos)2cos(jj0cossin)(cossinsin22jjjjjllaaanADDAD/0ABABaAD与假设相反 nADADDAaaaa44 例9-11 车轮沿直线纯滚动。已知车轮半径为R，中心
26、O速度vO，加速度为aO。设车轮与地面接触无相对滑动。求车轮上速度瞬心的加速度。解：轮子纯滚动，车轮的角速度为 RvO角加速度 等于角速度对时间的一阶导数ddddOvttRd1dOvRtRaO O aO C vO 45取中心O为基点 nCOCOOCaaaaOCOaRaRvRaOnCO22作加速度矢量图aO与 大小相等，方向相反COanCOCaa可知：速度瞬心 C 的加速度不等于零。当车轮在地面上只滚动不滑动（纯滚动）时，速度瞬心 C 的加速度指向轮心 O。O C aO aO a C O a C O n O C aC 469.6 运动学综合应用举例运动学综合应用举例 工程中的机构都是由数个物体组
27、成的，各物体间通过联接点而传递运动。为分析机构的运动，首先要分清各物体都作什么运动，计算有关联接点的速度和加速度。在分析平面图形某点的运动时，如能确定其位置与时间的函数关系，则可直接建立相关运动方程。利用用解析方法求其运动全过程的速度和加速度。47 当难以确定点的运动方程、或只计算机构某些瞬时位置的运动参数时，可根据刚体各种不同运动的形式，确定此刚体的运动与其上一点运动的关系。通常利用合成运动或平面运动的理论来分析相关的两个点某瞬时的速度和加速度关系。在复杂的机构中，可能同时有平面运动和点的合成运动问题。应注意分别分析、综合应用有关理论。48 例9-12 滑块 B 可沿杆 OA 滑动。杆BE
28、与 BD 分别与滑块 B 铰接；BD 杆可沿水平导轨运动。滑块 E 以匀速度 v 沿铅直导轨向上运动。杆 BE 长为 。在图示瞬时，杆 OA 铅直，且与杆 BE 夹角为45。试求该瞬时杆 OA 的角速度与角加速度。l 2 e e O B D E v O A A 49 解：BE 杆作平面运动，由 v 及 vB 方向可知此瞬时 O点为 BE 的速度瞬心，因此 BE 杆的角速度为 lvOEvBE滑块B的速度为BBEvOBv以E为基点，B点的加速度为nBEBEEBaaaa作出B点加速度矢量图沿BE方向投影 nBEBaa45coslvaanBEB2245cos a B E n a B E v v r v
29、e vB aB B E 50 由于滑块B可以沿杆OA滑动，利用点的合成运动分析方法可确定杆OA的角速度及角加速度。取滑块B为动点，动系固结在杆OA上，速度合成定理为reavvv0rvvvvBe杆OA的角速度 lvOBveOA作速度平行四边形 v v r ve vB B E 51根据牵连运动为转动的加速度合成定理Crneeaaaaaa投影到与ar垂直的BD线上，得作出点的加速度矢量图eaaa lvaaBe22OA杆的角加速度为222lvOBaeOA（顺时针）a B E n a e a a B E a a e n 52 例9-13 图示平面机构，杆AC在导轨中以匀速 v平动。通过铰链 A带动杆AB
30、沿导套O运动，导套 O与杆 AC距离为 l。图示瞬时杆 AB与杆AC夹角为 ，求该瞬时杆AB的角速度及角加速度。60j O l A B C x y 60 o 60 o xA v 53vvvae2360sin260cosvvvar 杆AB在导套O中滑动，因此杆AB与导套O具有相同的角速度及角加速度。其角速度为lvAOveAB43 解：方法1。以 A为动点，动系固结在导套 O上。vvvvrea作速度平行四边形 v e O A B C 60 o 60 o v a v r 54投影到 方向 ealvaaCe432杆AB的角加速度大小为22833lvAOaaeABA点为匀速直线运动，绝对加速度为零。0C
31、neeraaaa作加速度矢量图 B O A C 60 o 60 o AB aC a r a e n a e 55Axv jj2sinlv再对时间求导得：jjjjj2sinsin2sin222lvlv 60jlvAB43j22833lvABj 方法2。以点O为坐标原点，建立Oxy直角坐标系。jcotlxA O l A B C x y 60 o 60 o xA v 56 例9-14 图示平面机构。AB长为l，滑块 A可沿摇杆OC的长槽滑动。摇杆OC以匀角速度 绕O转动，滑块B以匀速 沿水平导轨滑动。图示瞬时OC铅直，AB与水平线OB夹角为30。求此瞬时AB杆的角速度及角加速度。vl 30 o A
32、B C O v 57杆AB作平面运动，以B为基点ABBAvvv取 A 点为动点，动系固结在 OC 上reavvvreABBvvvv沿vB方向投影 sin30BABevvv lvvveBAB)(2AB杆的角速度为ABvABAB解：30 o A B C v AB v B v e v r O v rABvv30coslvr23沿vr方向投影得58以B为基点，A点加速度矢量为nABABBAaaaaA 点为动点，动系固结于OC上CreneaaaaaannBABABeerCaaaaaaaaB=0 22nABABaABl0ea222lOAanelvarC232sin30cos30nABABCaaa laAB
33、233投影得AB杆的角加速度为23 3ABABaAB 30 o A B C O AB a A B n a A B a r a C a e n 59 例9-15 图示平面机构。AB=60 mm，vB =50 mm/s，aB =10 mm/s2，。试求该瞬时槽杆AE的角速度及角加速度。3010 3 mm/sAv 210 3 mm/sAa E A B B C D a A v A a B v B 60rABABvvvv作速度矢量图,投影得 ABABvvv60cos30cossin30sin60BArvvvs/mm330ABvs/mm10rv槽杆AE的角速度为s/rad866.023ABvABAE 解：
34、以滑块B为动点，动系固结在槽杆AE上reavvvABABvvv 槽杆AE作平面运动，以A为基点，牵连点 的速度B B Av A B B v a=v B v A v r v A AE 61nABABABaaaa槽杆AE作平面运动CrnABABABaaaaaa2210 317.32CAErav mm/s2245nB AAEaABmm/scos30sin30BAB ACaaaa sin30cos30nBAB Araaaa 作加速度矢量图217.32B Aa mm/s265ra mm/sAE的角加速度 20.2887B AAEaABrad/s选用与上面相同的动点、动系，由点加速度合成定理有 Creaaaaa A a B B a a=a B a A a A a C nB Aa AE B Aa 62
