1、一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集问题1阅读课本第6467页，回答下列问题：整体概览整体概览（1）本节将要研究不等式的解集（2）起点是不等式的性质以及初中学过的不等式的解，目标是掌握不等式组解集的方法；会借助数轴解决简单绝对值不等式进一步提升数学运算、直观想象等素养（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？情境与问题情境与问题问题2什么叫不等式的解？如何解不等式？能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解解不等式的过程中要不断地使用不等式的性质新知探究新知探究问题3什么叫绝对值？绝对值的意义是什么？一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式例如，|x|3，|x1
2、|2都是绝对值不等式追问1：你能给出|x|3的解集吗？新知探究新知探究根据绝对值的定义可知，|x|3等价于 或 ，30 xx，30 xx，即x3或x3，因此|x|3的解集为（，3）（3，）追问2：如何利用绝对值的几何意义求解不等式|x|3？新知探究新知探究不等式|x|3的解集也可由绝对值的几何意义得到：因为|x|是数轴上表示数x的点与原点的距离，所以数轴上与原点的距离大于3的点对应的所有数组成的集合就是|x|3的解集，从而由下图可知所求解集为（，3）（3，）12345-1-2-3-40 x追问3：试总结出m0时，关于x的不等式|x|m和|x|m的解集新知探究新知探究用类似方法可知，当m0时，关
3、于x的不等式|x|m的解为xm或xm，因此解集为（，m）（m，）；关于x的不等式|x|m的解为mxm，因此解集为 m，m 追问4：你能给出|a1|2的解集吗？新知探究新知探究如果将a1当成一个整体，比如令xa1，则因此|a1|2的解集可以通过求解|x|2得到，所以原不等式的解集为1，3|a1|2|x|2，追问5：如何利用|a1|的几何意义，得出不等式|a1|2的解集？新知探究新知探究当a2时，|a1|21|3，而且在数轴上，表示2的点与表示1的点的距离是3；当a3时，|a1|31|2，而且在数轴上，表示3的点与表示1的点的距离是2因此，如果数轴上表示a的点为A，表示1的点为B，则A，B之间的距
4、离为|a1|，如下图所示12345-1-2-3-40aABx追问5：如何利用|a1|的几何意义，得出不等式|a1|2的解集？新知探究新知探究这样一来，数轴上与表示1的点的距离小于或等于2的点对应的所有数组成的集合就是|a1|2的解集，又因为数轴上与表示1的点的距离等于2的点对应的数分别为1和3，因此由上图可知|a1|2的解集为1，3新知探究新知探究一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A（a），B（b），则线段AB的长为AB|ab|这就是数轴上两点之间的距离公式更进一步，如果线段AB的中点M对应的数为x，则由AMMB可知|ax|xb|，因此：当ab时，有axb，从而xabx，所
5、以 ，2abx当ab时，类似可得上式仍成立这就是数轴上的中点坐标公式（2）|x1|x2|3；又因为5，）（，3）5，3），又因为5，）（，3）5，3），（2）（，03，）；（3）两点间的距离公式以及中点坐标公式类似地，可得的解集为（，3）追问5：如何利用|a1|的几何意义，得出不等式|a1|2的解集？当a2时，|a1|21|3，而且在数轴上，表示2的点与表示1的点的距离是3；（1）什么叫不等式的解集以及不等式组的解集？如何求不等式组的解集？所以由题意可知 5当a3时，|a1|31|2，而且在数轴上，表示3的点与表示1的点的距离是2因此，如果数轴上表示a的点为A，表示1的点为B，则A，B之间的距
6、离为|a1|，如下图所示则x1，所以1x1则x4，所以2x4；（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？新知探究新知探究例1求不等式组 的解集2219233xxx，解：式两边同时加上一1，得2x10，得x5，因此的解集为5，）类似地，可得的解集为（，3）又因为5，）（，3）5，3），以原不等式组的解集为5，3）这个不等式两边同时乘以 ，12新知探究新知探究方法总结：（1）解不等式时一定要注意同解变形；（2）去分母时，不等式两端每一项均乘以最简公分母；（3）系数化成1时，如果两端乘以（或除以）一个负数，不等号的方向要改变；（4）在求不等式组的解集即求几个不等式的交集时，
7、可以借助数轴来求解；（5）写解集时要特别注意端点是否能取到新知探究新知探究例2设数轴上点A与数3对应，点B与数x对应，已知线段AB的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围解：因为AB的中点对应的数为 ，32x即|3x|10，因此103x10，所以13x7，因此x的取值范围是13，7所以由题意可知 532x新知探究新知探究方法总结：一般地，当c0时，（1）|axb|caxbc或axbc；（2）|axb|ccaxbc思考：若去掉c0，结论是否仍成立？能成立！新知探究新知探究例3求下列不等式的解集：（1）|x1|x2|5；（2）|x1|x2|3；（3）|x1|x2|；（4）|x1|x2|1213新
8、知探究新知探究解：（1）x2时，原不等式化为x1x25，则x4，所以2x4；1x2时，原不等式化为x1（x2）5，即15，所以1x2；x1时，原不等式化为（x1）（x2）5，则x1，所以1x1综上：原不等式的解集为（1，4）新知探究新知探究法二：利用绝对值的几何意义求解：设P（x），A（1），B（2），原不等式表示数轴上点P到两点A、B的距离和小于5的点P的坐标范围，画出数轴可知，到A、B两点的距离和为5的点为C（1）、D（4），当点P位于线段AB内时满足不等式，所以1x4，所以原不等式的解集为（1，4）12345-1-2-3-40ABxDC新知探究新知探究例3求下列不等式的解集：（1）|x1|x2|5；（2）|x1|x2|3；（3）|x1|x2|；（4）|x1|x2|1213（1）（1，4）；（2）（，03，）；（3）R；（4）归纳小结归纳小结回顾本节课，你有什么收获？（1）什么叫不等式的解集以及不等式组的解集？如何求不等式组的解集？（2）什么叫绝对值不等式？如何解绝对值不等式？（3）两点间的距离公式以及中点坐标公式作业：作业：教科书P67练习B 1，2，3，4作业布置作业布置再见再见
