1、 14 函数的极限函数的极限四、自变量趋于无穷大时函数的极限四、自变量趋于无穷大时函数的极限一、单侧极限一、单侧极限右极限的通俗定义、右极限的几何意义、极限的局部保号性、右极限的精确定义、函数极限精确定义、极限的通俗定义、极限的精确定义、极限的几何意义、水平渐近线二、双侧极限二、双侧极限左极限的精确定义、三、关于函数极限的定理三、关于函数极限的定理1.4 函数的极限函数的极限序列的极限是函数极限的特殊情形.(),(0,),(),1,2,nyf x xaf n n下面考虑一般函数的极限,即在自变量x的某一变化过程中,函数 的变化情况.这时,自变量的变化有下面这些可能:()yf x(1),0;xa
2、axa从 的右侧趋向记作(2),0;xaaxa从 的左侧趋向记作a xx a(3),;xaaxa同时从 的两侧趋向记作(4),;xx 无限制地增大 记作(5),;xx 无限制地减小 记作a xo xx o(6),xxx无限制地增大 即 沿 轴的正向与负向同时无限,.x 远离原点 记作o x一、单侧极限一、单侧极限00.xaxa先讨论或的情形先看几个例子 例 符号函数10sgn0010 xyxxx当当当1-1xyo00,sgn1,00,sgn1,xxxx 当时当时称符号函数在原点的右极限为1,记作0 0lim sgn1;xx 称符号函数在原点的左极限为1,记作0 0lim sgn1.xx .yx
3、例函数 2.x 记为 3,x 3 0lim 3,xx 3 0lim 2.xx 30,x 而当时30,x 当时记为 33.yxx称在的右极限为 32.yxx称在的左极限为例3.函数y=x=xx,表示x的小数部分.0 1 2 3 xy10,0,1 0,1.xxxx 当时而当时称函数x在点x=1的右极限为0,记作1 0lim 0;xx 称函数x在点x=1的左极限为1,记作1 0lim 1.xx 显然,对任意整数 n,都有0lim 0;xnx 0lim 1.xnx.sin,20,sin1;yxxx例4函数当时20,sin1;xx当时 也有sin2yxx故函数在的1.左右极限都是 记作2 0lim si
4、n1.xx2 0lim sin1.xx1sin0.yxx因此函数在处的左右极限都不存在1x1xy1sin 例 2 函数 ysinx1在点 x0 没有定义，当x0+0或x00时，函数值在1与1之间变动无限多次，51sin.yxx0000,xx当或时 函数值,0虽还是上下摆动 但“振幅”不断变小,且任意接近于.(p.42图)0 00 011limsinlimsin0.xxxxxx 例62121,sin1;,sin1,1,2,(41)(41)nnnnxxnnxnx 因 0,0,(0,0,0lim0 xayfxa blfxlxaxafxlfxlfxl xa 设是定义在上的一个函数.若存在一个实数对于任
5、意给定的无论它多么小)都存在一个使得 只要 则称当时以 为右极限,记作 或 a x b定义定义 (右极限和左极限右极限和左极限)0,0,(0,0,0lim0 xbyf xa blf xlbxxbf xlf xlf xl xb 设是定义在上的一个函数若存在一个实数对于任意给定的无论它多么小)都存在一个使得 只要 则称当时以 为左极限,记作 或 a x b右极限和左极限统称为单侧极限.二、双侧极限二、双侧极限limxaf(x)l 或 f(x)l (当x a)双侧极限的通俗定义：在自变量趋于常数a的过程中，如果对应的函数值 f(x)无限接近于某一确定的常数l，那么这个确定的常数l就叫做在这一变化过程
6、中函数f(x)的极限当x a时，f(x)以 l为极限记为分析：当xa时，f(x)l 当|xa|0 时，|f(x)l|能任意小任给 0，当|xa|小到某一时刻，有|f(x)l|0，存在 0，使当|xa|时，有|f(x)l|,.xaaa双侧:自变量既从 的左侧 同时从 的右侧趋于常数,a点 的 邻域.xa体现 接近 程度xaaa (),(,)U a U a0,0,0,().xaf xl 使当时 恒有 ()(),0,0,0,limrrxayfxaUaUaaar aa arlfxlxaxafxlfxlfxl xa 设是定义在一点 的空心邻域 上,若存在一个实数对于任意给定的(无论它多么小)都存在一个使
7、得 只要 则称当时,以 为极限,记作 或 定义定义此时也称当xa时,f(x)的极限存在.此定义也可表达为:或0,0,(),()().xUaf xUl 使当时 恒有00,lim()lim()lim().xaxaxaf xlf xf xl 显然:,由此得 若左侧或右侧极限中有一个不存在 或虽都存在但不相,.等 则双侧极限不存在 axOy)(xfy lllaa 目的：对任意的0,要找0，使得0|x-x0|时，有|f(x)-l|.即 l f(x)l+.哈哈,找到了!yyx111yx1xO.0,1,0,0,0,1)(xxxxxxf 例7 函数当x0时f(x)的极限不存在 因为f(x)在 x=0 的左极限
8、为0 00 0lim()lim(1)1,xxf xx 右极限为0 00 0lim()lim(1)1,xxf xx 所以极限 不存在)(lim0 xfx0 00 0lim sgn1,lim sgn1,xxxx 又如sgn0.xx 故在处的双侧极限不存在因此对于任意给定的正数，任意取一正数，当0|xx0|时，都有|f(x)c|=|cc|=00,0,当0|xx0|时,都有|f(x)l|.证明：因为 0，0，所以只需|x1|，即取|f(x)2|=|x1|，使当0|x1|，有112xx|f(x)2|=|2|=|x12|=|x1|，要使|f(x)2|0(或 A0(或f(x)0)注注:这样的邻域不唯一这样的
9、邻域不唯一.定理定理6 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)，而且 证明：设f(x)0 假设上述论断不成立，即设l0，那么由上面的定理5就有 x0 的某一去心邻域,在该邻域内 f(x)0，X 0，x:x X，有|f(x)l|X的一切 x，对应的函数数值 f(x)都满足不等式|f(x)l|，则常数 l 叫做函数f(x)当x+时的极限记作()();f xlf xl表示任意小0,.XxXx 表示的过程lim().xf xl例10 证明lim0.xxe证 0,0,ln.xxeex 为使只要即故取ln,0,xXxXe 则当时 必有从而lim0.xxe1.当x+函数极限精确定义：02.:x
10、 情形0,0,().XxXf xl使当时 恒有01.:x 情形lim()xf xl 0,0,().XxXf xl 使当时 恒有lim(),xf xl2、另两种情形:lim()xf xl 定理lim()lim().xxf xlf xl且,lim()lim(),xxf xf x因此 若与中有一个不存在 或两个都存在但不lim().xf x相等,则不存在lim0.lim,lim.xxxxxxeee例 已证但不存在 故不存在,lim()lim(1).xyf xlfyl又 显然有存在关于极限的夹逼定理,极限不等式,极限四则运算,对无穷取限情形也都同样成立.yf(x)O xyXXlll极限xlimf(x)
11、A 的定义的几何意义：l例 6.证明01limxx.例11 证明|1|01|)(|xxAxf,所以01limxx.因为 0,0,01X,当|x|X 时,有 01X,当|x|X 时,有 分析|1|01|)(|xxAxf.0,要使|f(x)A|,只要 0,要使|f(x)A|,只要1|x.lll例例12 证明证明21121lim xxx证证|12|12321121 xxxx 因故不妨设故不妨设|x|1，而当而当|x|1时时|1|2|12|xxx|12|12321121 xxx|3|123xx 0 21121xx要使要使同同时时成成立立和和只只须须 3|1|xx3,1max X令令时，便有时，便有则当
12、则当Xx|12|12321121 xxx|3x11lim.212nxx即例例13 求证1lim 1.xxex1lim 1.nnen注:已证,1,xx 证先考虑任取 1111111,1 xxxxxx 11lim 1lim 1 11xnxnxn 1111lim 1lim 1 xnnxxn1111lim 11.11nnenn11lim 11.nnenn 由夹逼定理即得1lim 1.xxex,.xyxy 现在考虑令则于是11lim 1lim 1yxxyxylim1yyyy111lim 11.11yyeyy1lim 11yyy11lim 1lim 1,xxxxexx由即得1lim 1.xxx推论 10l
13、im 1.yyye在此极限中令 即得1,yx11,!x yxy和和互为倒数例14 设k为正整数,证明101(1)lim 1;(2)lim 1.kxkkxxxekxex证 (1)由 11lim 1lim1kkxxxxxx111lim 1lim 1lim 1xxxxxxkxxx 个;ke1101(2)lim 1lim 1k yykxxxykxy.ke证毕 设 在 的一个空心邻域内有定义,若对于任意给定的正数 ,不论它多么大,总存在一个 使得 时,就有 则称当 时，为无穷大量,记作五、无穷大量五、无穷大量M f x0,00 xx f xM0 xx f x0 x 0lim,xxf x 0f xxx 或 0f xxx 0f xxx 及类似地可定义注：无穷大量是极限不存在的一种特殊情况.作业 习题1.4:1(1),3(2)(4)(8)(11)(12)(13),4(2)(4)(6)(7).
