1、 - 1 - - 1 - 高考高考数学数学模拟模拟试题试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 个选个选项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1在复平面内，复数 i i 43 32 （i是虚数单位）所对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2. 设集合032| 2 xxxM,22 x xN，则NCM R 等于( ) A1 , 1 B)0 , 1( C3 , 1 D) 1 , 0( 3.两个变量 x，y 与其线性相关系数 r 有下列说
2、法 （1）若 r0，则 x 增大时，y 也相应增大； （2）若 r 3 k 8.用()S M表示有限集合M的子集个数，定义在实数集R上的函数 (), ( ) 0, M S MxM fx xM 若 1A集合，集合2,3B ， ( )( )( )( ) A BAB F xfxfxfx则的值域为（ ) A4,6,0 B4,0 C0 D4,6 - 2 - - 2 - 9. 抛 物 线 2 4yx的 焦 点 为F， 点,A B在 抛 物 线 上 ， 且 2 3 AFB， 弦AB中 点M在 准 线l上 的 射 影 为 | | , AB MM M 则 的最大值为( ) A 4 3 3 B 3 3 C 2 3
3、 3 D 3 10. 如图，已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，动点 P 在此 正方体的表面上运动，且,(03)PAxx，记点 P 的轨迹的 长度为( )f x，则函数的图像( )f x可能是（ ） 第第卷卷 二、填空题：本大题有二、填空题：本大题有小题小题,每小题每小题分分,共共 2分分.把答案填在答题卷的相应位置把答案填在答题卷的相应位置. 11.为了“城市品位、方便出行、促进发展” ，南昌市拟修建穿江隧道， 市某部门问卷调查了 n 个市民,其中赞成修建穿江隧道的市民占 80， 在赞成修建穿江隧道的市民中又按年龄分组，得样本频率分布直方图 如图，其中年龄在20,30岁的有
4、 400 人，40,50岁的有 m 人， 则 n= , m= 13. 经过原点0 , 0做函数 23 3)(xxxf的切线，则切线方程为 。 20 30 40 50 60 70 岁 频率/组距 第 11 题 0.0350 0.0125 A1 B C D D1 A C1 D1 - 3 - - 3 - 14在 ABC 中， 2 2sin3sin 2 A A，sin()2cossinBCBC，则 AC AB _。 三、三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答选做题：请考生在下列两题中任选一题作答 . .若两题若两题都做，则按做的第一题都做，则按做的第一题 评阅计分评阅计分. .本题本题共共 5 5
5、 分分. . 15.（坐标系与参数方程选做题）化极坐标方程 2 cos0为直角坐标方程 为 . (不等式选择题）不等式axx|1|2|对任意5 , 0x恒成立的实数a的取值范 围为_ 四四.解答题解答题：本大题共本大题共 6 小题小题,满分满分 75 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分 12 分）已知向量 3 (sin , ),(cos , 1) 4 axbx ( )2()f xabb （1）求( )f x的增区间； （2）已知 ABC 内接于半径为 6 的圆，内角 A、B、C 的对边分别 为abc、 、，若 5 24,( )
6、 1 cos2 b f A B ,求边长c 17.（本小题满分 12 分）已知数列 n a的前n项和为2 n S 2 (1) n a n ()nN （1）求证：数列 n a n 是等比数列； （2）设数列 1 21 n n a 的前n项和为 n T,求 123 1111 n TTTT 。 18. (本小题满分 12 分)如图，在四边形ABCD中，4 ADAB，7 CDBC，点E 为线段AD上的一点.现将DCE沿线段EC翻折到PAC（点D与点P重合） ，使得平面 PAC平面ABCE，连接PA，PB. ()证明：BD平面PAC； ()若60BAD，且点E为线段AD的中点，求二面角CABP的大小.
7、- 4 - - 4 - 19. (本小题满分 12 分)某校高三年级组为了缓解学生的学习压力，举办元宵猜灯谜活动。规 定每人最多猜 3 道，在 A 区猜对一道灯谜获 3 元奖品；在 B 区猜对一道灯谜获 2 元奖品，如 果前两次猜题后所获奖品总额超过 3 元即停止猜题，否则猜第三道题。假设某同学猜对 A 区 的任意一道灯谜的概率为 0.25， 猜对 B 区的任意一道灯谜的概率为 0.8， 用表示该同学猜灯 谜结束后所得奖品的总金额。 （1）若该同学选择先在 A 区猜一题，以后都在 B 区猜题，求随机变量的数学期望E; （2）试比较该同学选择都在 B 区猜题所获奖品总额超过 3 元与选择（1）中
8、方式所获奖品总 额超过 3 元的概率的大小。 2020(本小题满分 13 分)如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，90C，B、D 在x 轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD=3DC，ABC 的周长为12若一双曲线E以B、C 为焦 点，且经过A、D 两点 求双曲线E的方程； 若一过点( ,0)P m（m为非零常数）的直线l与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两 点M、N，且MPPN，问在x轴上是否存在定点G，使()BCGMGN？若 存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由 - 5 - - 5 - 21. (本小题满分 14 分)已知函数 x ax xf ln )( )(
9、2 （其中a为常数）. ()当0a时，求函数的单调区间； () 当10 a时，设函数)(xf的 3 个极值点为 321 xxx，且 321 xxx. 证明： e xx 2 31 . 参考答案 由 34 242 sin24(1 cos )cos,sin 1 cos55 b RBBBB B 得即可求得10 分 - 6 - - 6 - 7 242 2 sinsin(),2 sin 105 CABcRC12 分 17.解： （1）证明： 111 2 3asa得 1 1 2 a 当n2 时，由 2 2(1) nn sa n 得 11 2 2(1) 1 nn sa n ， 于是 11 22 (1)(1)
10、1 nnnnn assaa nn ， 整理得 1 2 n a n 1 1 n a n （n2） ， 所以数列 n a n 是首项及公比均为 1 2 的等比数列。6 分 （2）由（1）得 1 2 n a n 1 11 ( ) 22 n n 。 于是 1 2121,357(21)2 ,8 n nn anTnn n 分， 111 11 ()10 (2)22 n Tn nnn 分 123 1111 n TTTT 323 12 42(1)(2) n nn 分 解：()连接AC，BD交于点O,在四边形ABCD中， 4 ADAB，7 CDBC ADCABC，BACDAC, BDAC 又平面PAC平面ABCE
11、，且平面PAC平面ABCE=AC BD平面PAC 6 分 ()如图，以O为原点，直线OA，OB分别为x轴，y轴，平面PAC内过O且垂直于直线 AC的直线为z轴建立空间直角坐标系，可设点), 0 ,(zxP 又)0 , 0 , 32(A，)0 , 2 , 0(B，)0 , 0 , 3(C，)0 , 1, 3(E，且由2PE，7PC有 7)3( 41)3( 22 22 zx zx ，解得3 3 2 zx，)3 3 2 , 0 , 3 3 2 (P 分 则有) 3 32 , 0 , 3 34 (AP，设平面PAB的法向量为),(cban ， - 7 - - 7 - 由 0 0 nAB nAP ，即
12、xy xz 3 2 ，故可取)2 , 3, 1 (n 分 又易取得平面ABC的法向量为) 1 , 0 , 0(，并设二面角CABP的大小为， 2 2 81 )2 , 3, 1 () 1 , 0 , 0( cos ， 4 二面角CABP的大小为 4 . 分 19.解：(1）随机变量的分布列为 0 2 3 4 5 P 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 =0 0.032 0.243 0.014 0.485 0.243.636E 分。 （2）该 同 学 选 择 都 在B区 猜 题 所 获 奖 品 总 额 超 过3元 的 概 率 1 0.2 0.8 0.80.8 0.2 0.80.8 0
13、.80.8969P 分； 选择（1）中方式所获奖品总额超过 3 元的概率 2=0.48+0.24=0.72 P 所以该同学选择都在 B 区猜题所获奖品总额超过 3 元比选择（1）中方式所获奖品总额超过 3 元的概率要大。 12分 20 解：(1) 设双曲线E的方程为 22 22 1 (0,0) xy ab ab ，则(,0),( ,0),( ,0)BcD aC c 由3BDDC，得3()caca，即2ca 222 |16, | 124 , | 2 . ABACa ABACa ABACa .3 分 解之得1a ，2,3cb 双曲线E的方程为 2 2 1 3 y x .5 分 (2) 设在x轴上存
14、在定点( ,0)G t，使()BCGMGN 设直线l的方程为xmky， 1122 ( ,),(,)M x yN xy 由MPPN，得 12 0yy 即 1 2 y y 6 分 (4,0)BC ， 1212 (,)GMGNxtxt yy ， ()BCGMGN 12 ()xtxt 即 12 ()kymtkymt .8 分 把代入，得 1212 2()()0ky ymtyy .9 分 x y D O C A B N B C O y x G M P - 8 - - 8 - 把xmky代入 2 2 1 3 y x 并整理得 222 (31)63(1)0kykmym 其中 2 310k 且0 ，即 2 1
15、 3 k 且 22 31km 2 1212 22 63(1) , 3131 kmm yyy y kk .10 分 代入，得 2 22 6 (1)6() 0 3131 k mkm mt kk ，化简得 kmtk当 1 t m 时，上式恒成立 因此，在x轴上存在定点 1 (,0)G m ，使()BCGMGN.13 分 2解：() x xx xf 2 ln ) 1ln2( )( 令0)( xf可得ex .列表如下: x 1 , 0 e, 1 e , e x f - - 0 + xf 减 减 极小值 增 单调减区间为1 , 0,e, 1;增区间为, e.-5 分 ()由题， x x a xax xf
16、2 ln ) 1ln2)( )( 对于函数1ln2)( x a xxh，有 2 2 )( x ax xh 函数)(xh在) 2 , 0( a 上单调递减，在), 2 ( a 上单调递增 函数)(xf有 3 个极值点 321 xxx， 从而01 2 ln2) 2 ()( min aa hxh，所以 e a 2 ， 当10 a时，0ln2)(aah，01) 1 ( ah， 函数)(xf的递增区间有),( 1 ax和),( 3 x，递减区间有), 0( 1 x，) 1 ,(a，), 1 ( 3 x， 此时，函数)(xf有 3 个极值点，且ax 2 ； 当10 a时， 31,x x是函数1ln2)(
17、x a xxh的两个零点，9 分 - 9 - - 9 - 即有 01ln2 01ln2 3 3 1 1 x a x x a x ，消去a有 333111 ln2ln2xxxxxx 令xxxxgln2)(，1ln2)( xxg有零点 e x 1 ，且 31 1 x e x 函数xxxxgln2)(在) 1 , 0( e 上递减，在), 1 ( e 上递增 要证明 e xx 2 31 13 2 x e x) 2 ()( 13 x e gxg 31 xgxg 即证0) 2 ()() 2 ()( 1111 x e gxgx e gxg 构造函数 ) 2 ()(x e gxgxF， e F 1 =0 只需要证明 1 , 0( e x单调递减即可.而 2) 2 ln(2ln2x e xxF， 0 ) 2 ( )2 2 (2 x e x x e xF x F 在 1 , 0( e 上单调递增, 0 1 e FxF 当10 a时， e xx 2 31 .分
