1、常州市教育学会学业水平监测常州市教育学会学业水平监测 高三数学 2022 年 11 月 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3考试结束后，将答题卡交回 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集 UR，集合 Ax|2x1，Bx|x2|1，则集合(CUA)B A Bx|2x3 Cx|2x3 Dx|1x
2、2 2记ABC 的内角为 A，B，C，则“AB”是“sinAsinB”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 3已知等比数列an的公比 q0，且 a2a36，a3a4a6，则 a4 A8 B12 C16 D20 4如图，该图象是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是 Ayx33xx21 Byx3xx21 Cy2xcosxx21 Dy2sinxx21 5若(1axx2)(1x)8的展开式中含 x2的项的系数为 21，则 a A3 B2 C1 D1 6设随机变量 N(，4)，函数 f(x)x22x 没有零点的概率是 0.5，则 P(13)附：随机变量
3、 服从正态分布 N(，2)，P()0.6827，P(22)0.9545 A0.1587 B0.1359 C0.2718 D0.3413 7如图是一个近似扇形的湖面，其中 OAOBr，弧 AB 的长为 l(lr)为了方便观光，欲在 A，B 两点之间修建一条笔直的走廊 AB若当 0 x12时，sinxxx36，则ABl的值约为 A2r212l2 B2l212r2 C1r224l2 D1l224r2 8设 ae0.2，b54，cln6e5，则 Aabc Bcba Ccab Dacb 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分
4、，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9已知等差数列an的公差 d0，且 a12a112an的前 n 项和记为 Sn，若 Sk是 Sn的最大值，则 k 的可能值为 A5 B6 C10 D11 10记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等比数列，则 AB 的最小值为3 Bcos(AC)cosB1cos2B C1tanA1tanB1sinB Dba的取值范围为(0，512)11已知函数 f(x)及其导函数 f(x)定义域均为 R，若 f(x)f(x)，f(x2)f(2x)对任意实数 x 都成立，则 A函数 f(x)是周期函数 B函数 f(x)是偶函数 C函
5、数 f(x)的图象关于(2，0)中心对称 D函数 f(2x)与 f(x)的图象关于直线 x2 对称 12 在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，以 8 个顶点中的任意 3 个顶点作为顶点的三角形叫做 K三角形，12 条棱中的任意 2 条叫做棱对，则 A一个 K三角形在它是直角三角形的条件下，它又是等腰直角三角形的概率为13 B一个 K三角形在它是等腰三角形的条件下，它又是等边三角形的概率为14 C一组棱对中两条棱所在直线在互相平行的条件下，它们的距离为2的概率为13 D一组棱对中两条棱所在直线在互相垂直的条件下，它们异面的概率为12 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，
6、共 20 分 13函数 f(x)tan(sinx)的最小正周期为 14已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，过点 A 作平面 A1BD 的垂线，垂足为 H，则直线 AH与平面 DCC1D1所成角的正弦值为 15在ABC 中，2sinACB 3sinABC，AB2 3，BC 边上的中线长为13，则ABC的面积为 16将数列3n与2n的所有项放在一起，按从小到大的顺序排列得到数列an，则 a684 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(本小题满分 10 分)已知等差数列an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4成等比数列(1)求
7、数列an的通项公式；(2)求数列4anan1的前 n 项和 Tn 18(本小题满分 12 分)已知两个变量y与x线性相关，某研究小组为得到其具体的线性关系进行了10次实验，得到 10 个样本点研究小组去掉了明显偏差较大的 2 个样本点，剩余的 8 个样本点(xi，yi)(i1，2，3，8)满足=81iix32，=81iiy132，根据这 8 个样本点求得的线性回归方程为3xa(其中a R)后为稳妥起见，研究小组又增加了 2 次实验，得到 2 个偏差较小的样本点(2，11)，(6，22)，根据这 10 个样本点重新求得线性回归方程为 n xm(其中n，m R)(1)求a 的值；(2)证明回归直线
8、 n xm 经过点(4，16.5)，并指出n 与 3 的大小关系 参考公式：线性回归方程 bxa，其中b()()()=niiniiixxyyxx121，a ybx 19(本小题满分 12 分)记函数 f(x)sin2x 3sinxcosx(0)的最小正周期为 T若3T23，且 yf(x)的图象关于直线 x6对称(1)求 的值；(2)将函数 yf(x)的图象向左平移4个单位，再将得到的图象 上各点的横坐标伸长为原来的2 倍(纵坐标不变)，得到函数 yg(x)的图象，求 g(x)在2，0)上的值域 20(本小题满分 12 分)甲、乙两地教育部门到某师范大学实施“优才招聘计划”，即通过对毕业生进行笔
9、试，面试，模拟课堂考核这 3 项程序后直接签约一批优秀毕业生，已知 3 项程序分别由 3 个考核组独立依次考核，当 3 项程序均通过后即可签约去年，该校数学系 130 名毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”的具体情况如下表(不存在通过 3 项程序考核放弃签约的情况)性别 人数 参加考核但未能签约的人数 参加考核并能签约的人数 男生 45 15 女生 60 10 今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才招聘计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为12，通过乙地的各项程序的概率依次为13，35，m，其中 0m1(1)判断是否有
10、 90%的把握认为这 130 名毕业生去年参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关；(2)若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件 A，B，他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为 X，Y当 E(X)E(Y)时，证明：P(A)P(B)参考公式与临界值表：2n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)，nabcd P(2k)0.10 0.05 0.025 0.010 k 2.706 3.841 5.024 6.635 21(本小题满分 12 分)如图，在三棱锥 ABCD 中，已知平面 ABD平面 BCD，ACBD，CBCD 5，BD2，E 为 BC 的中点(1)若 AD 2，求直线 BD
11、与 AE 所成角的余弦值；(2)已知点 F 在线段 AC 上，且 AF13AC，求二面角 FDEC 的大小 22(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)exax，g(x)axlnx，aR(1)若 f(x)在 x0 处的切线与 g(x)在 x1 处的切线相同，求实数 a 的值；(2)令 F(x)f(x)g(x)，直线 ym 与函数 F(x)的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为x1，x2，证明：x1x21 1常州市教育学会学业水平监测常州市教育学会学业水平监测高三数学2022 年 11 月注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题
12、答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3考试结束后，将答题卡交回一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集 UR，集合 Ax|2x1，Bx|x2|1，则集合(CUA)BABx|2x3Cx|2x3Dx|1x22记ABC 的内角为 A，B，C，则“AB”是“sinAsinB”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件3已知等比数列an的公比 q0，且 a2a36，a3a4a6，则 a4
13、A8B12C16D204如图，该图象是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是2Ayx33xx21Byx3xx21Cy2xcosxx21Dy2sinxx215若(1axx2)(1x)8的展开式中含 x2的项的系数为 21，则 aA3B2C1D16设随机变量 N(，4)，函数 f(x)x22x没有零点的概率是 0.5，则 P(13)附：随机变量服从正态分布 N(，2)，P()0.6827，P(22)0.9545A0.1587B0.1359C0.2718D0.34137如图是一个近似扇形的湖面，其中 OAOBr，弧 AB 的长为 l(lr)为了方便观光，欲在 A，B 两点之间修建一条笔直的走
14、廊 AB若当 0 x12时，sinxxx36，则ABl的值约为3A2r212l2B2l212r2C1r224l2D1l224r28设 ae0.2，b54，cln6e5，则AabcBcbaCcabDacb4二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9已知等差数列an的公差 d0，且 a12a112an的前 n 项和记为 Sn，若 Sk是 Sn的最大值，则 k 的可能值为A5B6C10D1110记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等比数列，则A
15、B 的最小值为3Bcos(AC)cosB1cos2BC1tanA1tanB1sinBDba的取值范围为(0，512)511已知函数 f(x)及其导函数 f(x)定义域均为 R，若 f(x)f(x)，f(x2)f(2x)对任意实数 x 都成立，则A函数 f(x)是周期函数B函数 f(x)是偶函数C函数 f(x)的图象关于(2，0)中心对称D函数 f(2x)与 f(x)的图象关于直线 x2 对称12在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，以 8 个顶点中的任意 3 个顶点作为顶点的三角形叫做 K三角形，12 条棱中的任意 2 条叫做棱对，则A一个 K三角形在它是直角三角形的条件下，它又
16、是等腰直角三角形的概率为13B一个 K三角形在它是等腰三角形的条件下，它又是等边三角形的概率为14C一组棱对中两条棱所在直线在互相平行的条件下，它们的距离为 2的概率为13D一组棱对中两条棱所在直线在互相垂直的条件下，它们异面的概率为126三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13函数 f(x)tan(sinx)的最小正周期为14已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，过点 A 作平面 A1BD 的垂线，垂足为 H，则直线 AH与平面 DCC1D1所成角的正弦值为715在ABC 中，2sinACB 3sinABC，AB2 3，BC 边上的中线长为 13，则ABC的面积为16
17、将数列3n与2n的所有项放在一起，按从小到大的顺序排列得到数列an，则 a684四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 10 分)已知等差数列an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)求数列4anan1的前 n 项和 Tn【解析】818(本小题满分 12 分)已知两个变量 y 与 x 线性相关，某研究小组为得到其具体的线性关系进行了 10 次实验，得到 10 个样本点研究小组去掉了明显偏差较大的 2 个样本点，剩余的 8 个样本点(xi，yi)(i1，2，3，8)满足81ii
18、x32，81iiy132，根据这 8 个样本点求得的线性回归方程为3xa(其中a R)后为稳妥起见，研究小组又增加了 2 次实验，得到 2 个偏差较小的样本点(2，11)，(6，22)，根据这 10 个样本点重新求得线性回归方程为n xm(其中n，m R)(1)求a 的值；(2)证明回归直线n xm 经过点(4，16.5)，并指出n 与 3 的大小关系参考公式：线性回归方程bxa，其中bniiniiixxyyxx121，a ybx【解析】919(本小题满分 12 分)记函数 f(x)sin2x 3sinxcosx(0)的最小正周期为 T若3T23，且 yf(x)的图象关于直线x6对称(1)求的
19、值；(2)将函数 yf(x)的图象向左平移4个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍(纵坐标不变)，得到函数 yg(x)的图象，求 g(x)在2，0)上的值域【解析】20(本小题满分 12 分)甲、乙两地教育部门到某师范大学实施“优才招聘计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟课堂考核这 3 项程序后直接签约一批优秀毕业生，已知 3 项程序分别由 3 个考核组独立依次考核，当 3 项程序均通过后即可签约去年，该校数学系 130 名毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”的具体情况如下表(不存在通过 3 项程序考核放弃签约的情况)10性别人数参加考核但未能签约的人数参加考核并能签约
20、的人数男生4515女生6010今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才招聘计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为12，通过乙地的各项程序的概率依次为13，35，m，其中 0m1(1)判断是否有 90%的把握认为这 130 名毕业生去年参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关；(2)若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件 A，B，他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为 X，Y当 E(X)E(Y)时，证明：P(A)P(B)参考公式与临界值表：2n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)，nabcdP(2k)0.10
21、0.050.0250.010k2.7063.8415.0246.635【解析】1121(本小题满分 12 分)如图，在三棱锥 ABCD 中，已知平面 ABD平面 BCD，ACBD，CBCD 5，BD2，E 为 BC 的中点(1)若 AD 2，求直线 BD 与 AE 所成角的余弦值；(2)已知点 F 在线段 AC 上，且AF13AC，求二面角 FDEC 的大小【解析】121322(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)exax，g(x)axlnx，aR(1)若 f(x)在 x0 处的切线与 g(x)在 x1 处的切线相同，求实数 a 的值；(2)令 F(x)f(x)g(x)，直线 ym 与函数 F(x)的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为x1，x2，证明：x1x21【解析】14
