1、 1 / 12 专题 01 圆锥曲线的常用结论 一一椭圆椭圆 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 22 22 10 xy ab ab 22 22 10 yx ab ab 范围 axa 且byb bxb 且aya 顶点 1 ,0a、 2 ,0a 1 0, b、 2 0,b 1 0, a、 2 0,a 1 ,0b 、 2 ,0b 轴长 短轴的长2b 长轴的长2a 焦点 1 ,0Fc、 2 ,0F c 1 0,Fc、 2 0,Fc 焦距 222 12 2FFc cab 对称性 关于x轴、y轴、原点对称 离心率 2 2 101 cb ee aa e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越
2、扁 1.（1）与椭圆 22 22 1 xy ab 共焦点的椭圆的方程可设为 22 2 22 1,0 xy b ab . （2）与椭圆 22 22 1 xy ab 有相同的离心率的椭圆可设为 22 22 xy ab , 22 22 ,0 xy ba . 2.椭圆的两焦点分别为 12 ,F F,P是椭圆上任意一点,则有以下结论成立: (1) 12 2PFPFa; (2) 1 acPFac ; (3) 22 12 bPFPFa; （4）焦半径公式 10 |PFaex, 20 |PFaex( 1( ,0)Fc , 2( ,0) F c 00 (,)M xy). 2 / 12 3.椭圆的方程为 22 2
3、2 1 xy ab （ab0）, 左、右焦点分别为 12 ,F F, 00 ,P xy是椭圆上任意一点,则有: (1) 22 222222 0000 22 , ba yaxxby ab ; (2)参数方程 0 0 cos sin xa yb 为参数; 4.设 P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F1、 F2为其焦点记 12 FPF， 则(1) 2 12 2 | 1 cos b PFPF . (2)焦点三角形的面积： 1 2 2 |=tan 2 PF FP Sc yb . (3)当 P 点位于短轴顶点处时, 最大,此时 1 2 PF F S也最大; (4) .21cos 2 e (5)点M是 2
4、1F PF内心，PM交 21F F于点N，则 c a MN PM | | . 5.有关 2 2 b a 的经典结论 (1).AB 是椭圆 22 22 1 xy ab 的不平行于对称轴的弦，M),( 00 yx为 AB 的中点，则 2 2 OMAB b kk a . (2).椭圆的方程为 22 22 1 xy ab （ab0） ， 12 ,A A为椭圆的长轴顶点，P 点是椭圆上异于长轴顶点的任一 点，则有 12 2 2 PAPA b KK a (3). 椭圆的方程为 22 22 1 xy ab （ab0） ， 12 ,B B为椭圆的短轴顶点，P 点是椭圆上异于短轴顶点的任 一点，则有 12 2
5、2 PBPB b KK a (4). 椭圆的方程为 22 22 1 xy ab （ab0） ，过原点的直线交椭圆于,A B两点，P 点是椭圆上异于,A B两 点的任一点，则有 2 2 PAPB b KK a 3 / 12 6. 若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab 上，则 （1）以 000 (,)P xy为切点的切线斜率为 2 0 2 0 b x k a y ； （2）过 0 P的椭圆的切线方程是 00 22 1 x xy y ab . 7.若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab 外 ，则过 000 (,)P xy作椭圆的两条切线切点为 P1、P2
6、，则切点弦 P1P2的 直线方程是 00 22 1 x xy y ab . 8.椭圆的两个顶点为 1( ,0)Aa, 2( ,0) A a， 与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程 是 22 22 1 xy ab . 9.过椭圆上任一点 00 (,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC b x k a y （常数）. 10. 若 P 为 椭 圆 上 异 于 长 轴 端 点 的 任 一 点 ,F1, F 2是 焦 点 , 12 PFF, 21 PF F， 则 sin sinsin c e a
7、 . 11. P 为椭圆上任一点,F1,F2为二焦点， A 为椭圆内一定点， 则 211 2| | 2|aAFPAPFaAF,当且仅 当 2 ,A F P三点共线时，等号成立. 12.O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且OPOQ. 4 / 12 （1） 2222 1111 |OPOQab ; （2）|OP|2+|OQ|2的最大值为 22 22 4a b ab ; （3） OPQ S的最小值是 22 22 a b ab . 13. 已 知 A 、 B 、 是 椭 圆 上 的 两 点 ， 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 与 x 轴 相 交 于 点 0 (, 0)P x, 则 2222
8、0 abab x aa . 14. 离心率 e= a c = 2 1）（a b 、e2=1- 2 ）（a b 15. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为 a b22 16. 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点. 17. 过椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 左焦点的焦点弦为AB,则)(2 21 xxeaAB；过右焦点的弦 )(2 21 xxeaAB. 18. 内接矩形最大面积：2ab. 19. 若椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，半焦距为c，焦点 12 ,0 ,0FcF c，设 (1).过 1 F的直线l 的倾斜角为，交椭
9、圆于 A、B 两点，则有 22 11 , coscos bb AFBF acac ； 2 cos ab AB ac (2).若椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，半焦距为c，焦点 12 ,0 ,0FcF c，设 过F 的直线l 的倾斜角为，交椭圆于 A、B 两点，则有： 22 , coscos bb AFBF acac ； 2 2 cos ab AB ac 5 / 12 结论：椭圆过焦点弦长公式： 2 2 2 cos 2 sin ab x ac AB ab y ac 焦点在 轴上 焦点在 轴上 20.若 AB 是过焦点 F 的弦,设,AFm BFn,则 2 112a mnb
10、6 / 12 二双曲线二双曲线 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 22 22 10,0 xy ab ab 22 22 10,0 yx ab ab 范围 xa 或xa，yR ya 或ya，xR 顶点 1 ,0a、 2 ,0a 1 0, a、 2 0,a 轴长 虚轴的长2b 实轴的长2a 焦点 1 ,0Fc、 2 ,0F c 1 0,Fc、 2 0,Fc 焦距 222 12 2FFc cab 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 离心率 2 2 11 cb ee aa ，e越大，双曲线的开口越阔 渐近线方程 b yx a a yx b 1.（1）与 22 22 1 x
11、y ab 共轭的双曲线方程为 22 22 1 xy ab ，它们有公共的渐近线；四个焦点都在以原点 为圆心，C 为半径的圆上； 22 12 11 1 ee 。 （2）与 22 22 1 xy ab 有相同焦点的双曲线方程为 22 22 22 1,0,0,0 xy ab ab （3）与 22 22 1 xy ab 有相同焦点的椭圆方程为： 22 22 22 1,0,0 xy ab ab 7 / 12 （4）与 22 22 1 xy ab 有相同焦点的双曲线方程为： 22 22 22 1,0,0,0 xy ab ab （5）与 22 22 1 xy ab 有相同离心率的双曲线方程为：焦点在x轴上时
12、： 22 22 ,0,1 xy ab 焦点在y轴上时： 22 22 ,0 yx ab （6）与 22 22 1 xy ab 有相同的渐近线方程为： 22 22 ,0,1 xy ab ； 2.双曲线的两焦点分别为 12 ,F F,P是双曲线上任意一点,则有以下结论成立: (1) 12 2PFPFa; (2) 12 minmin ,PFac PFca P在右支上; 21 minmin ,PFac PFca P在左支上 3. 双 曲 线 的 方 程 为 22 22 1 xy ab （ a 0 ， b 0 ） , , 00 ,P xy是 双 曲 线 上 任 意 一 点 , 则 有 : 22 22222
13、2 0000 22 , ba yxaxby ab ; 4.设 P 点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 12 FPF，则 (1) 2 12 2 | 1 cos b PFPF . (2)焦点三角形的面积 1 2 2 |=cot 2 PF FP Sc yb . 5.有关 2 2 b a 的经典结论 (1)AB 是双曲线 22 22 1 xy ab 的不平行于对称轴的弦，M),( 00 yx为 AB 的中点，则 2 2 OMAB b kk a ， 即 2 0 2 0 AB b x K a y 。 (2)双曲线的方程为 22 22 1 xy ab （a0，b0） ， 12 ,A A为
14、双曲线的实轴顶点，P 点是双曲线上异于实轴顶 8 / 12 点的任一点，则有 12 2 2 PAPA b KK a (3)双曲线的方程为 22 22 1 xy ab （a0，b0） ， 12 ,B B为双曲线的虚轴端点，P 点是双曲线上异于虚轴端 点的任一点，则有 12 2 2 PBPB b KK a (4) 双曲线的方程为 22 22 1 xy ab （a0，b0） ，过原点的直线交双曲线于,A B两点，P 点是双曲线上异 于,A B两点的任一点，则有 2 2 PAPB b KK a 6. 若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab 上，则 （1）以 000 (,)P x
15、y为切点的切线斜率为 2 0 2 0 b x k a y ； （2）过 0 P的双曲线的切线方程是 00 22 1 x xy y ab . 7.若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab 外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直 线方程是 00 22 1 x xy y ab . 8. 双曲线的两个顶点为 1( ,0)Aa, 2( ,0) A a，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨 迹方程是 22 22 1 xy ab . 9.过双曲线上任一点 00 (,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线
16、于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC b x k a y （常数）. 10. 离心率 e= a c = 2 1 b a （ ）、e2= 2 + b a 1 （ ） 11. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为 a b22 , 12.双曲线焦点到渐近线的距离总是b.顶点到渐近线的距离为 ab c 9 / 12 13.双曲线实轴顶点到两渐近线的距离之积为定值 22 2 a b c 14. 与双曲线 22 22 1 xy ab （a0，b0）有相同渐近线的双曲线方程可设为 22 22 0 xy ab 15.已知双曲线的渐近线方程为0bxay，则双曲线方程可设为 22 22
17、 0 xy ab 16. 双曲线 222 ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e. 17. 设双曲线 22 22 1 xy ab ，其中两焦点坐标为 12 ,0 ,0FcF c，过 1 F的直线l的倾斜角为，交双曲 线于 A、B 两点， 焦点在 x 轴的焦点弦长为 2 2 2 cos 2 cos ab ac AB ab ca A,B在同一支曲线上 A,B在两支曲线上 其中 a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距，为 AB 的倾斜角。 18. 若 AB 是过焦点 F 的弦,设,AFm BFn, ,AB 交在同支时, 2 112a mnb ,AB 交在两支时, 2 112a mnb
18、 (设mn) 10 / 12 三、抛物线三、抛物线 1.设AB为过抛物线 2 2(0)ypx p焦点的弦， 1122 ( ,)(,)A x yB xy、，直线AB的倾斜角为，则 (1) 2 2 1212 ,; 4 p x xy yp (2) 12 , 21 cos21 cos pppp AFxBFx (3) 12 2 2 ; sin p ABxxp (4) 112 |FAFBP ；(5) 2 3 4 OA OBp ； (6) 2 11 sin 222sin AOBF p SOA OBAOBOF h ； (7)以AB为直径的圆与准线相切，以AFBF或为直径的圆与y轴相切； 标准方程 pxy2 2
19、 pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2 图形 y x O y x O y x O y x O 焦点 )0 , 2 ( p F )0 , 2 ( p F ) 2 , 0( p F ) 2 , 0( p F 准线 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 范围 Ryx , 0 Ryx , 0 0,yRx 0,yRx 对称轴 x轴 y轴 顶点 （0，0） 离心率 1e 11 / 12 2.焦点F对A B、在准线上射影的张角为 2 ； 3.如图所示，以,A B两点为切点引抛物线的两条切线，两条切线交于一点 M，则有： （1）M 点必在准线上； （2）设线段 AB 的中点为 N，则/ /MNx
20、轴，即 12 M 2 yy y ； （3）MFAB 4. AB 的中垂线与 X 轴交于点 R，则2ABFR 5.以 A 为切点的切线斜率为 1 p y ，切线方程为 11 y yp xx 6.已知抛物线方程为 2 2(0)ypx p，定点 M,00mm ，直线l过点 M 交抛物线于 A，B 两点， 1122 ( ,)(,)A x yB xy、，则有 2 1 212 ,2x xmy ypm ； 7. 已 知 A ， B 是 抛 物 线 2 2(0)ypx p两 点 ， 且 直 线 AB 不 垂 直 于x轴 ， 则 有 ： 12 2 AB pp KyAB yyy 中 中 为线段中点纵坐标 8. p
21、xy2 2 （或pyx2 2 ）的参数方程为 pty ptx 2 2 2 （或 2 2 2 pty ptx ） （t为参数）. 9.抛物线 y2=2px(p0)内接直角三角形 OAB 的性质： 2 21 2 21 4,4PyyPxx； AB l恒过定点)0 ,2( p； BA,中点轨迹方程：)2( 2 pxpy； 12 / 12 ABOM ，则M轨迹方程为： 222 )(pypx； 2 min 4)(pS AOB . 10.抛物线 y2=2px(p0)，对称轴上一定点)0 ,(aA，则： 当pa 0时，顶点到点 A 距离最小，最小值为a； 当pa 时，抛物线上有关于x轴对称的两点到点 A 距离最小，最小值为 2 2pap . 11. 抛物线 y2=2px(p0)与直线y kxb 相交于 1122 ,A x yB xy 且该直线与y轴交于点 3 0,Cy ，则有 123 111 yyy 12. 过抛物线 y2=2px(p0)的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，自A、B两点向准线作垂线，垂足分别 为 11 ,A B，则 0 11 90AFB ；其逆命题：若 0 11 90AFB ，则 A、F、B 三点共线。 若点 M 是准线上任一点，则 0 90AMB
