1、函数主题的典型考题分函数主题的典型考题分 析与考前复习方略析与考前复习方略 目 录 一、函数主题知识的结构性理解 二、从典型考题看函数主题中问题解决的基 本思维框架 三、如何把握高考的复习方向 四、针对本主题不同群体学生考前复习备考 的侧重点分析 一、北师大版基础教育教材简介 一、函数主题知识的结构性理解 （一）函数模型 一、函数主题知识的结构性理解 （二）数学运算 数学 抽象 背景、定义 性质 图象 应用 数学运算 逻辑推理 直观想象 数学建模 观察、分析、抽象概括 比较、归纳 分析、综合 一、函数主题知识的结构性理解 （三）素养能力视角 二、从典型考题看函数主题中问题解决的基本
2、思维框架 1.函数图象 识图识图 例题 1（2019 全国理 5）函数 f(x)=在 , 的图像大致为 A B C D 2 sin cos xx xx 【解析】【解析】：观察：对称性，函数值的符号特征、最值性：观察：对称性，函数值的符号特征、最值性 视角一： 因为 2 sin cos xx f x xx ，x ，所以 22 sinsin coscos xxxx fxf x xxxx ， 所以 f x为 ，上的奇函数，因此排除 A； 整体 特征 性质判断更简便性质判断更简便 例题 1（2019 全国理 5）函数 f(x)=在 , 的图像大致为 A B C D 2 sin cos xx
3、 xx 视角二：又 22 sin 0 cos1 f ，因此排除 B，C； 故选 D 一值 突破 好简 单 视角三：又 2 2 24 1 4 2 24 f ，直接选 D 例题 2(2018 全国)函数 2 ( ) xx ee f x x 的图像大致为 视角二：函数值：当0x时，因为0 xx ee，所以此时 2 ( )0 xx ee f x x ， 故排除 AD；又 1 (1)2fe e ，故排除 C，选 B 视角一：对称性：因为 x0,f(-x)=e -e 2 =-f(x),所以函数 f(x)为奇函数 例题 2(2018 全国)函数 2 ( ) xx ee f x x 的
4、图像大致为 视角三：极限值 x e, x e0, x 2 x - - 逼近函数逼近函数（泰勒展开式泰勒展开式） 爆炸函数（迭代比较）爆炸函数（迭代比较） 例题 3(2018 浙江)函数 | | 2 sin2 x yx的图象可能是 A B C D 视角一：对称性视角一：对称性 视角二：函数值视角二：函数值 视角三：极值视角三：极值 用图用图 例题 1(2011 新课标)函数 1 1 y x 的图像与函数2sin ( 24)yxx 的图像所有交 点的横坐标之和等于 A2 B4 C6 &
5、nbsp; D8 整体运算 性质看 变换寻源 更简单 1 y x = 2sin 例题例题2.已知已知 = , , , 的的的取值范围是的取值范围是_. . 当a2时, 结合图象知f(x)在R上是增函数. 令()=()+() 则(x )在R上是增函数 又()=()+()=. 由()+()， 即()(), 解得 . 具体问题一般化具体问题一般化 y a -2 -2 o y= x y -2 -2 o 例题 3(2016 年全国)若直线是曲线的切线， 也是曲线的切线，则 ykxbln2yx ln(1
6、)yxb 2.函数性质 例题 1（2017 新课标）已知函数 211 ( )2() xx f xxxa ee 有唯一零点，则a= A 1 2 B 1 3 C 1 2 D1 视角一：令( )0f x ，则方程 112 ()2 xx a eexx 有唯一解， 设 2 ( )2h xxx ， 11 ( ) xx g xee ，则( )h x与( )g x有唯一交点， 又 111 1 1 ( )2 xxx x g xeee e ，当且仅当1x 时取得最小值 2 而 2 ( )(1)11h xx ，此时1x 时取得最大值 1， ( )( )ag xh x有唯一的交点，则 1 2 a 选 C
7、 视角二：对称性 f(x)x22xa(ex 1ex1)， f(2x)(2x)22(2x)a(e2 x1ex21)x24x442xa(e1xex1)x2 2xa(ex 1ex1)， f(2x)f(x)，则直线 x1 为 f(x)图像的对称轴 f(x)有唯一零点， f(x)的零点只能为 x1， 即 f(1)1221a(e1 1e11)0， 解得 a1 2. 例题 2.已知函数 f(x)x32xex 1 ex，其中 e 是自然对数的底数若 f(a1)f(2a 2) 0，则实数 a 的取值范围是_ 因为 f(x)x32xe xexf(x)，f(0)0，所以 f(x)是奇函数， 则 f(a1)f(2a2
8、)0 可化为 f(2a2)f(1a) 又 f(x)3x22exe x3x222 exex3x20， 所以 f(x)在 R 上单调递增，则 2a21a，即1a1 2. 3.零点问题 零点问题 方程问题 函数问题 观察求解 运算求解 单函数 双函数 图象直观 定量分析 定性分析 局部分析 整体分析 求解零点问题的一般的思维策略求解零点问题的一般的思维策略 分析函数分析函数 解析式解析式 转化方程转化方程 求解零点求解零点 转化转化 函数函数 否否 点点 分析函数图象分析函数图象 可可 线线
9、数学数学 运算运算 直观直观 感知感知 确定确定 零点零点 单调单调 趋势趋势 定点定点 端点端点 极值对应点极值对应点 数学数学 运算运算 推理推理 直观直观 感知感知 零点零点 判定判定 定理定理 例题例题1.1.已知函数已知函数f(x)=(x2)ex+a(x1)2有两个零点，有两个零点， 求实数求实数a的取值范围的取值范围. . f(x)=(x2)ex+a(x1)2的零点的零点 f(x)=(x2)ex+a(x1)2 函数图象函数图象
10、= (2x)ex （x1)2 双函数图象双函数图象 （x1) = (2x)ex （x1) , 双函数图象双函数图象 f(x)=0 0解解 求求 导导 定义域内定义域内 多个零点多个零点 定义域内定义域内 单个零点单个零点 定义域内定义域内 无零点无零点 讨论零点讨论零点 区间定号区间定号 结结 论论 研究函数单调区间一般思路：研究函数单调区间一般思路： ( )0f x 分区间定号分区间定号 可可 解解 不不 可可 解解 研究导函数研究导函数 图象零点图象零点 定点：定点：f(1)e 0 零点判定零点判定 f(1)e 0时 趋势：先减后
11、增趋势：先减后增 f(x)=(x2)ex+a(x1)2 言传言传 定量定量 代数直观感知代数直观感知 大小正负函数结构大小正负函数结构 难点：难点：寻找一个自变量的值寻找一个自变量的值 x00 探源：探源：f(x)=(x2)ex+a(x1)20 不等式在不等式在x0(0(放缩放缩为可解方程）为可解方程） 策略1：有界性 放缩为一元二次方程 策略2：统一函数 放缩为一元二次方程 策略3：双卡点 放缩双值比较 ()当当a 0时，令 解得 或 ' 0
12、fx 1x ln( 2 )xa ln( 2 )1a ln( 2 )1a ln( 2 )1a f(x)=(x2)ex+a(x1)2 （2018 新课标 3，理 21）已知函数 f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x （1）若 a=0，证明：当1x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0； （2）若 x=0 是 f（x）的极大值点，求 a 视角一：视角一：理解理解“概念”微观“概念”微观下的分析下的分析： 极值点 原函数概念； 导函数异号零点 极大值点先正后负零点 是函数的局部性质 4.零点延伸 2 ' 12ln 1 1 axx fxaxx x ,由 ' 00f恒成立，
13、解不出的a值 设 ' g xfx，则 00g， 此时 2 ' 2 3(41) 2 ln 1 1 axax gxax x 且 ' 00g 的第一次求第一次求 导导 的第二次求第二次求 导导 设 2 ' 2 3(41) 2 ln 1 1 axax h xgxax x 且 00h 2 ' 3 26161 1 axaxa h x x 此时 ' 061ha导函数值不恒为零了 的第三次求第三次求 导导 难点：如何表述？难点：如何表述？ 视角二：视角二：理解理解“运算运算”中观下”中观下的分析的分析： 观察函数：f（0）=0
14、，若0a ，0x ，由（1）知 0f x 与已知矛盾极值定义 若0a ，受到（1）的启发，等价转化 设 2 2 f x g x xax ，则 00g，直观发现 存在0x 的邻域使得 2 20xax，那么此邻域内0x 是函数 2 2 f x g x xax 的极大值点 当且仅当x=0 是 f（x）的极大值点，运算对象转化为 2 2 ln 1 2 x g xx xax 导数简明题简单 222 2 ' 22 22 461 142 1 21 2 xa xaxa ax gx x xaxxxax 设 22 461h xa xaxa则 061ha 直观发现当610a 时，存在0x 的邻域使得 0h
15、x ； 当610a 时，存在0x 的邻域使得 0h x ； 当610a 时， 2 2 24 36336 xxx h xx使得0x 的邻域，满足 异号零点 难点：如何表达，关键是解不等式 视角三：视角三：理解理解“背景背景”高观点下的分析高观点下的分析 泰勒展开式 234 ln 1 234 xxx xx 则 234 2 22 234 xxx f xxaxxx 34 11 626 a axx 确定最低三次的函数在在0x 的邻域起决定作用的是 3 x， 若 1 0 6 a ， 必存在足够小 的邻域,0 使得导函数值恒正（或负） 。因此0x 是极大值点， 必有 1 0 6 a 1.注重数学本质，回归思
16、维过程 （1）概念的形成中复习归纳、类比、抽象概括、 阅读理解、符号表达能力 （2）性质的研究中复习运算求解、逻辑推理能力 （3）公式定理的发现中体会推理论证、探究、创 新能力 三、如何把握高考的复习方向 2.函数的应用中复习建模能力 3.优化数学运算，提升推理能力 4.基于素养视角，重视分析解决问题的能力 三、如何把握高考的复习方向 （一一）薄弱生抓基础薄弱生抓基础 1 1. .基本运算要过关基本运算要过关，公式法则会变换公式法则会变换 2 2画图技能要过关画图技能要过关，数形转化要熟练数形转化要熟练 3 3. .思维周密要过关思维周密要过关， 特殊一般特
17、殊一般要全面要全面 4 4. .规范答案要过关规范答案要过关，所答要看所答要看问问哪哪般般 四、针对本主题不同群体学生考前复习备考的侧重点分析 （二二）中档生抓方法应变中档生抓方法应变 1 1. .基本运算要熟练基本运算要熟练，优化方法简便算优化方法简便算 2 2. .画图能够抓关键画图能够抓关键，多种角度灵活变多种角度灵活变 3 3. .常用方法知条件常用方法知条件，一类问题算法练一类问题算法练 4 4. .遇到难题认真辨遇到难题认真辨，分解讨论抢分算分解讨论抢分算 （三三）优秀生抓思想策略优秀生抓思想策略 1.1.基本量整体算基本量整体算，设而不求更简便设而不求更简便 2 2. .数形入微巧变换数形入微巧变换，直观分析思路现直观分析思路现 3 3. .方法迁移是关键方法迁移是关键，看透本质不畏变看透本质不畏变 4 4. .转化直观观点站转化直观观点站，分析探究高观点分析探究高观点 谢谢
