1、M 文科数学试题 第 1 页（共 6 页） 学校: 准考证号: 姓名: （在此卷上答题无效）（在此卷上答题无效） 工作秘密启用前 2020 年福建省高三毕业班质量检查测试 文 科 数文 科 数 学学 本试卷共 6 页。满分 150 分。 注意事项：注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生 要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、 姓名”与考生本人准考证号、 姓 名是否一致。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在
2、本试卷上无效。 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中，只只 有一有一项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1已知集合 28 x Ax，1,2,3B ，则AB A 1 B1,2 C2,3 D1,2,3 2复数z的共轭复数z满足1 i2iz，则z A2 B2 C 2 2 D 1 2 3若 3 sin 5 ，则cos2 A 24 25 B 7 25 C 7 25 D 24 25 4设, x y满足约束条件 0, 20, 1 0
3、, xy xy y 则2zxy的最大值为 A0 B3 C4 D5 5已知 0.6 0.3a ， 0.5 0.3b ， 0.5 0.4c ，则 Aabc Bacb Cbca Dcba 6首项为2，公比为3的等比数列 n a的前n项和为 n S，则 A322 nn aS B22 nn aS C22 nn aS D34 nn aS M 文科数学试题 第 2 页（共 6 页） 7函数 32 1 3 f xxxax的大致图象不可能是 82020 年初，我国突发新冠肺炎疫情面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗 队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中. 为 分担“逆
4、行者”的后顾之忧，某校教师志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线 工作者子女在线辅导功课今欲随机安排甲、乙 2 位志愿者为 1 位小学生辅导功课共 4 次，每位志愿者至少辅导 1 次，每次由 1 位志愿者辅导，则甲恰好辅导 2 次的概率为 A 1 3 B 2 7 C 3 7 D. 4 7 9已知函数 2sinf xx和 2cosg xx0图象的交点中，任意连续三个交点 均可作为一个等腰直角三角形的顶点为了得到 yg x的图象，只需把 yf x的图 象 A向左平移1个单位 B向左平移 2 个单位 C向右平移1个单位 D向右平移 2 个单位 10. 设O是坐标原点，F是椭圆 22 22 :10
5、 xy Cab ab 的一个焦点，点M在C外，且 3MOOF，P是过点M的直线l与C的一个交点，PMF是有一个内角为120的等腰 三角形，则C的离心率等于 A 3 4 B 3 3 C 31 4 D 3 2 M 文科数学试题 第 3 页（共 6 页） 11. 上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图 1） ，充分展示了我国古代高超 的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密 切联系. 图 2 为骨笛测量“春 （秋） 分”， “夏 （冬） 至”的示意图， 图 3 是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计） ，夏至（或冬 至） 日光 （当日正午太阳光线） 与春秋分日光
6、 （当日正午太阳光线） 的夹角等于黄赤交角. 由历法理论知，黄赤交角近 1 万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 23 41 23 57 24 13 24 28 24 44 正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代 公元元年 公元前 2000 年 公元前 4000 年 公元前 6000 年 公元前 8000 年 根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是 A公元前 2000 年到公元元年 B公元前 4000 年到公元前 2000 年 C公元前 6000 年到公元前 4000 年 D早于公元前 6000 年 12.已知长方体 1111
7、 ABCDABC D中，5AB ，3AD ， 1 4AA ，过点A且与直线CD平行 的平面将长方体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面 变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值是 A 3 2 B2 C 21 10 D72 6 二、填空题：本二、填空题：本题共题共 4 小题小题，每小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13向量1,2AB ，2,3AC ，若向量,2xa与BC共线，则x 14若双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的一个焦点5,0F，一条渐近线的斜率为 3 4 ，则 a 15ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， 2
8、3 A ，7a 若ABC的面积为 15 3 4 ， 则其周长是 16已知 f x是定义在R上的偶函数，其图象关于点1,0对称以下关于 f x的结论： f x是周期函数； f x在0,2单调递减； f x满足 4f xfx； cos 2 x f x 是满足条件的一个函数 其中正确的结论是 .（写出所有正确结论的序号） 图 1 图 3 图 2 M 文科数学试题 第 4 页（共 6 页） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答
9、。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分。分。 17 （12 分） 在数列 n a中， 1 2a ， 2 6a ，且 2+1 2+2 nnn aaa ，设 1nnn baa （1）证明数列 n b是等差数列，并求 n b； （2）设 n S为数列 1 n a 的前n项和，求 n S 18 （12 分） 如图 1，直角梯形ABCD中，ADBC，90D，3BC ，1ADDC把 ACD沿着AC翻折至 1 ACD的位置，点 1 D 平面ABC，连结 1 BD，如图 2 （1）当 1 2 2BD 时，证明：平面 1 ACD 平
10、面 1 ABD； （2）当三棱锥 1 DABC的体积最大时，求点B到平面 1 ACD的距离 图 1 图 2 M 文科数学试题 第 5 页（共 6 页） 频率频率 组距组距 家庭人均年纯收入家庭人均年纯收入（千元千元） 0.32 0.28 0.16 0.12 0.08 87 6534O2 0.04 19. (12 分) 为贯彻落实党中央全面建设小康社会的战略部署， 某贫困地区的广大党员干部深入农村 积极开展“精准扶贫”工作经过多年的精心帮扶，截至 2018 年底，按照农村家庭人均年 纯收入 8000 元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康. 现从这些尚未实现小康的 家庭中随机抽取 50 户
11、，得到这 50 户家庭 2018 年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图， 如图. 注：在频率分布直方图中，同一组数据用该区间的中点值作代表 （1）估计该地区尚未实现小康的家庭 2018 年家庭人均年纯收入的平均值； （2）2019 年 7 月，为估计该地能否在 2020 年全面实现小康，收集了当地最贫困 的一户家庭 2019 年 1 至 6 月的人均月纯收入的数据，作出散点图如下. 根据相关性分析， 发现其家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线性相 关关系（记 2019 年 1 月、2 月分别为 1x ， 2x ，依此类推） 试预测该家 庭能否在 2020 年实现小康生活 参考数据：
12、6 1 7602 ii i x y ，67182x y 参考公式：线性回归方程 ybxa中， 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx M 文科数学试题 第 6 页（共 6 页） 20(12 分) 已知抛物线 2 :206C ypxp的焦点为F，A为C上一动点，点4,0Q，以线段 QA为直径作M当M过F时，QAF的面积为3. （1）求C的方程； （2）是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被圆M所截得的弦长为定值？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由 21 (12 分) 已知函数 ln2lnf xxaxx，2a （1）若2a ，求 f x的零点个数； （2）证明
13、： 12 ,3,9x x， 12 2ln3f xf x （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答。如果多做，则按所做如果多做，则按所做 的第一题计分。的第一题计分。 22选修44：坐标系与参数方程 (10 分) 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 cos , sin x y 为参数以原点O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 12 3sin （1）求 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）若直线l与 1 C相切于第二象限的一点P，与 2 C交于, A
14、B两点，且 7 | | 3 PAPB， 求直线l的倾斜角 23选修45：不等式选讲 (10 分) 已知函数 2f xxaxb，a，bR （1）若1a ，1b ，求不等式 5f x 的解集； （2）若0ab ，且 f x的最小值为2，求 21 ab 的最小值 文科数学参考答案及评分细则 第 1 页（共 9 页） 2020 年福建省高三毕业班质量检查测试 文科数学参考答案及评分细则 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和
15、难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数 的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。 1B 2B 3C 4D 5D 6A 7C 8C 9A 10B 11D 12C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 20 分。 132 144 1515 16 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17本小题主要考
16、查递推数列、等差数列、数列求和等基础知识，考查推理论证能力、运 算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核 心素养，体现基础性、综合性满分 12 分 解： （1）因为 +12+1+12+1 2 nnnnnnnnn bbaaaaaaa ， 2 分 由题意知 2+1 22 nnn aaa ，可得 2+1 22 nnn aaa ， 3 分 即 +1 2 nn bb，所以 n b是等差数列 4 分 又 121 4baa， 5 分 所以4+212 +2 n bnn，n N 6 分 （2）由（1）知22 n bn， 当2n时， 121121nnnnn aaaaaaaa ，
17、8 分 即 1121nn aabbb ， 即24621 n ann n （） 9 分 又当1n 时， 1 2a ，满足（） ，所以+1 n an n，n N 10 分 所以 1111 = 11 n an nnn ， 11 分 文科数学参考答案及评分细则 第 2 页（共 9 页） 所以 12 111 n n S aaa 11111 1 223+1nn = 1 n n 12 分 18本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，三棱锥的体积及 空间点面距离等基础知识； 考查空间想象能力、 推理论证能力； 考查化归与转化思想、 函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养
18、，体现基础性、综 合性满分 12 分 解法一： （1）因为ADBC，90D，3BC ，1ADDC， 依题意得， 1 90ADCD， 1 1DC ， 1 分 因为 1 2 2D B ，所以 222 11 BCDCDB，故 1 90BDC，即 11 CDBD， 3 分 又因为 11 CDAD， 111 ADBDD，所以 1 CD 平面 1 ABD 5 分 又因为 1 CD 平面 1 ACD，所以平面 1 ACD 平面 1 ABD 6 分 （2）因为ADBC，90D，3BC ，1ADDC，所以ABC的面积为 3 2 ， 设 1 D到面ABC的距离h，则三棱锥 1 DABC的体积为 1 13 32 D
19、ABC Vh ， 故要使 1 DABC V 取到最大值，需且仅需h取到最大值 7 分 取AC的中点M，连结 1 D M，依题意知 11 1ADDC， 1 90ADC， 所以 1 DMAC， 1 2 2 D M ，且 1 hD M 因为平面 1 ACD平面ABCAC， 1 DMAC， 1 D M 平面 1 ACD， 所以当平面 1 ACD 平面ABC时， 1 D M 平面ABC， 1 D Mh， 故当且仅当平面 1 ACD 平面ABC时， 1 DABC V 取得最大值 8 分 此时 1 1322 3224 DABC V ， 9 分 设B到平面 1 ACD的距离为d，可得 11 11 = 326
20、DABCB ACD d VVd ， 11 分 故 2 64 d ，解得 3 2 2 d ， 故B到平面 1 ACD的距离为 3 2 2 12 分 文科数学参考答案及评分细则 第 3 页（共 9 页） 解法二： （1）同解法一. （2）因为ADBC，90D，3BC ，1ADDC，所以ABC的面积为 3 2 ， 设 1 D到面ABC的距离h，则三棱锥 1 DABC的体积为 1 13 32 DABC Vh ， 故要使 1 DABC V 取到最大值，须且仅需h取到最大值 7 分 取AC的中点M，连结 1 D M，依题意知 11 1ADDC， 1 90ADC， 所以 1 DMAC， 1 2 2 D M
21、，且 1 hD M 因为平面 1 ACD平面ABCAC， 1 DMAC， 1 D M 平面 1 ACD， 所以当平面 1 ACD 平面ABC时， 1 D M 平面ABC， 1 D Mh， 故当且仅当平面 1 ACD 平面ABC时， 1 DABC V 取得最大值 8 分 过点B作BNAC，垂足为N, 因为平面 1 ACD 平面ABC，平面 1 ACD平面ABCAC，BN 平面ABC， 所以BN 平面 1 ACD，所以B到平面 1 ACD的距离为BN 9 分 在ACD中，90D，1ADDC，所以2AC ， 10 分 在ABC中， 1 2 ABC SAC BN ，所以 13 2 22 BN， 所以
22、3 2 2 BN ，即B到平面 1 ACD的距离为 3 2 2 12 分 19.本小题主要考查频率分布直方图、回归分析等基础知识，考查数据处理能力、运算求解 能力、应用意识，考查统计与概率思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运 算、数据分析等核心素养，体现综合性、应用性满分 12 分 解： （1）由频率分布直方图可得 2018 年这 50 户家庭人均年纯收入的平均值为 25000.0435000.1245000.3255000.2865000.1675000.08 =5140（元） 6 分 （2）依题意，可得： 123456 3.5 6 x ， 7 分 故 67182 342 66 3
23、.5 x y y x ， 8 分 所以 66 11 662 222 11 ()()6 76027182420 24 14916253663.517.5 ()6 iiii ii ii ii xxyyx yxy b xxxx ， 9 分 文科数学参考答案及评分细则 第 4 页（共 9 页） 34224 3.5258aybx， 所以y关于x的线性回归方程为24258yx 10 分 令13x ，得 2020 年 1 月该家庭人均月纯收入为 13 24 13258570y（元） ， 令24x ，得 2020 年 12 月该家庭人均月纯收入为 24 2424258834y（元） ， 11 分 由题意知，该
24、家庭的人均月纯收入的估计值成等差数列， 所以，2020 年该家庭人均年纯收入的估计值为 (570834) 12 84248000 2 S ， 综上，预测该家庭能在 2020 年实现小康生活. 12 分 20本小题主要考查抛物线的标准方程、圆的几何性质、直线与圆的位置关系、直线与抛 物线的位置关系等基础知识， 考查推理论证能力、 运算求解能力， 考查数形结合思想、 函数与方程思想、特殊与一般思想，考查数学运算，逻辑推理等核心素养，体现综合 性、创新性满分 12 分 解法一： （1）由题意得，,0 2 p F 1 分 依题意，当圆M过F时，因为QA为直径，所以90QFA，即FAx轴 设 11 ,A
25、 x y，所以 1 2 p x ，又 2 11 2ypx，解得 1 yp，故不妨设, 2 p Ap ， 2 分 因为 1 4 222 QAF pp SFQFA ，又06p，得 2 2 4 QAF p Sp ， 3 分 由题意得， 2 1 23 4 pp，即 2 8120pp，解得2p 或6p （舍去）. 4 分 故 2 :4C yx. 5 分 （2）设直线: l xa，l被圆M所截得的弦长为t 因为4,0Q，所以点M到: l xa的距离为 1 4 2 x da ， 6 分 又圆M的半径 2 2 11 4 22 xyAQ r ，7 分 根据垂径定理有 2 22 2 t rd ， 8 分 得 2
26、22 2 11 1 44 242 xyxt a ， 文科数学参考答案及评分细则 第 5 页（共 9 页） 化简得， 222 111 16444txya xa ， 9 分 把 2 11 4yx代入上式得， 22 1 43164tx aaa，其中 1 0x ， 10 分 故当且仅当3a 时，无论 1 x取何值，恒有2 3t 11 分 所以存在直线:3l x 被圆M所截得的弦长恒为2 3 12 分 解法二： （1）同解法一. （2）假设存在满足条件的直线: l xa，因为4,0Q， 取0,0A时，则圆M为 2 2 24xy，直线: l xa被圆M截得的弦长为 2 2 2 22a； 取4,4A时，则圆
27、M为 22 424xy，直线: l xa被圆M截得的弦长为 2 2 2 24a； 则 22 22 2 22=2 24aa，解得3a ， 所以，如果满足条件的直线l存在，只能是:3l x ，且被动圆M截得的弦长为2 3 8 分 下面证明直线:3l x 被动圆M截得的弦长恒为2 3 因为点M到:3l x 的距离为 1 4 3 2 x d 9 分 1 2 2 x ， 圆M的半径 2 2 11 4 22 xyAQ r ， 10 分 又因为 2 11 4yx，所以 2 2 11 11 44416 = 22 xxxx r ， 所以直线:3l x 被动圆M截得的弦长等于 2 2 22111 4162 22=
28、2 3 42 xxx rd 综上，存在直线:3l x 被圆M所截得的弦长恒为2 3 12 分 21本小题主要考查函数的零点、函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识，考 查推理论证能力、 运算求解能力、 创新意识等， 考查分类与整合思想、 数形结合思想， 考查数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性满 文科数学参考答案及评分细则 第 6 页（共 9 页） 分 12 分 解法一：（1）因为2a ， ln2lnf xxaxx， 当 2 0ex时，ln20x ， 3ln+2f xxx， 3 ( )1fx x ， 1 分 当0,3x时， 0fx， f x单调递减；当 2
29、3,ex时， 0fx ， f x单调递 增；所以当=3x时， f x取得最小值， 所以 3 =3ln3+50f xf. 2 分 当 2 xe时，ln20x ， ln2f xxx， 1 ( )10fx x ， f x单调递增； 所以 22 e=4+e0f xf. 4 分 综上， 0f x ，因此， f x没有零点，即 f x的零点个数为 0 5 分 （2）要证 12 ,3,9x x， 12 2ln3f xf x， 只要证3,9x， maxmin 2ln3f xf x即可 6 分 因为当 3,9x 时， lnln3,ln9xaaa 当2ln9a 时， 3ln +,3,e, ln,e ,9 . a
30、a x xa x f x xxa x 7 分 因为当 3,eax ， =3ln +f xx xa ， 3 =+1 0fx x ， f x单调递增， 当 e ,9 a x ， =ln +f xx xa ， 1 =+10fx x ， f x单调递增， 又 3lneelnee aaaa aa ， 所以 f x在3,9上单调递增， 8 分 所以 min 33ln33f xfa ， max 92ln39f xfa ， 所以 maxmin =ln3+622+ln3f xf xa 9 分 当 ln9a 时， 3lnf xxxa， 3 =+1 0fx x ， f x在3,9上单调递增， 所以 min 33ln33f xfa ， max 96ln39f xfa ， 所以 maxmin =63ln3f xf x 又因为2+ln363ln34ln340， 所以 maxmin =63ln32+ln3f xf x
