1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年河南省许昌市高考数学一模试卷（文科）年河南省许昌市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）已知 2020 1zi ，则|2 | (zi ) A10 B2 2 C2 D2 2 （5 分）已知集合 2 |60Ax xx， |(2)Bx ylg x，则(AB ) A(2,3) B( 2,3) C( 2,2) D 3 （5 分）在等差数列 n a中， 510 10a
2、a，则数列 n a的前 14 项和 14 S为( ) A55 B60 C65 D70 4 （5 分）某企业一种商品的产量与单位成本数据如表： 产量x（万件） 2 3 4 单位成本y（元/件） 3 a 7 现根据表中所提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为21yx，则a值等于( ) A4.5 B5 C5.5 D6 5 （5 分）已知实数a，b，c满足 34 3 log a ， 1 2 ba， 2 logca，则a，b，c的大小关 系是( ) Aabc Bbac Cbca Dcba 6 （5 分）在ABC中，(1, 3)AB ， 1 (2BC ，) x，若120B，则x的值为( ) A 3 2
3、B0 C 3 2 D0 或 3 2 7 （5 分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合 百般好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数的性质，也常 用函数的解析式来研究函数图象的特征，已知函数( )f x的图象如图所示，则函数( )f x的解 析式可能是( ) 第 2 页（共 17 页） A( )(44 )| xx f xx B 2 ( )(44 )log | xx f xx C 1 2 ( )(44 )log | xx f xx D 2 ( )(44 )log | xx f xx 8 （5 分）已知程序框图如图所示，则输出的(S ) A
4、47 60 B 7 12 C 37 60 D 5 12 9（5 分） 已知定义城为R的函数( )f x满足()( )fxf x， 1 (2) ( ) f x f x ， 当0x，2时， 2 ( )2log (3)f xx，则(923)(f ) A16 B923 C4 D1 10 （5 分）函数( )3sin(2)cos(2)(|) 2 f xxx 的图象向左平移 12 个单位长度后 得函数( )g x的图象，若( )g x的图象关于点(,0) 6 对称，则( )g x的单调递减区间是( ) A2 12 k ， 7 2 12 k ，kZ B 5 12 k ， 12 k ，kZ C 12 k ，
5、5 12 k ，kZ D 5 12 k ， 7 12 k ，kZ 11 （5 分）已知抛物线 2 :2C yx，直线l的斜率为k，过定点 0 (M x，0)直线l交抛物线 C于A，B两点，且A，B位于x轴两侧，3(OA OBO为坐标原点） ，则 0 (x ) A3 B 3 2 C 3 2 D2 2 12（5 分） 在内接于球O的四面体ABCD中， 有ABCDt，6ADBC，7ACBD， 第 3 页（共 17 页） 若球O的最大截面的面积是 55 4 ，则t的值为( ) A5 B6 C7 D8 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13
6、 （5 分）若圆 22 420xyxyF的半径为 3，则F 14 （5 分）已知( 2 ，)， 4 sin 5 ，则tan() 4 15 （5 分）函数( )f x定义域是R，其导函数为( )fx，满足 2 1 ( )fx x ，且f（3） 10 3 ， 则关于x的不等式 1 ()3 x x f e e 的解集是 16 （5 分）已知a，b，c为锐角ABC内角A、B、C的对边，且满足 22 caab，则 b a 的取值范围是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题题为必考题 每个试题考生都
7、必须作谷第每个试题考生都必须作谷第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答一）必考题共题为选考题，考生根据要求作答一）必考题共 60 分分 17 （12 分）北京联合张家口获得 2022 年第 24 届冬奥会举办权，全国各地掀起了发展冰雪 运动的热潮，现对某高中进行冰雪兴趣调查，已知该高中男生人数是女生人数的 1.2 倍，按 照分层抽样的方法，从中抽取 110 人，调查高中生“是否对冰雪运动感兴趣”得到如下列联 表： 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 40 女生 30 合计 110 （1）完成上述22列联表； （2）是否有99%的把握认为“是否对冰雪运动感兴趣”与性别有关 附： 2 2 () (
8、)()()() n adbc K ab cd ac bd （其中nabcd为样本容量） 2 0 ()P Kk 0.150 0.100 0.05 0.025 0.010 0.005 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 第 4 页（共 17 页） 18 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ，0 n a ，且 2 1 (1) 4 nn Sa （1）求 n a的通项公式； （2）令 1nnn ca a ，求数列 1 n n a c 前n项和 n T 19（12 分） 如图所示的几何体中， 111 ABCABC为三棱柱， 且 1 AA
9、 平面ABC， 1 AAAC， 四边形ABCD为平行四边形，2ADCD，60ADC （1）求证：AB 平面 11 ACC A； （2）若2CD ，求四棱锥 111 CABCD的体积 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :(0) xy Cab ab ，其离心率为 3 2 ，焦距长为2 3，直线l过定 点(0,2)P，与椭圆交于不同两点M，N （1）求椭圆的方程； （2）求PM PN的取值范围 21 （12 分）已知函数 1 ( )1f xlnx x ， 32 ( )324g xxa xa，0x，1，其中0a （1）求函数( )f x的单调区间； （2）若对任意 1 1x ， e，总存在 2
10、0x ，1，使得 12 ( )()f xg x成立，求a的取值范围 四、 （二）选考题：共四、 （二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做则按所做的题中任选一题作答如果多做则按所做的 第题计分第题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 1cos ( 2sin xt t yt 为参数） ，其中 2 k ，()kZ以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极 坐标方程为 2 2 cos4 sin40 第 5 页（共 17 页） （1）求曲线 2 C的
11、直角坐标方程； （2）已知曲线 1 C与曲线 2 C交于A，B两点，点( 1,2)P ，求|PAPB的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |f xxaxb （1）当1a ，1b 时，求不等式( ) 4f x 的解集； （2）若0a ，0b ，( )f x的最小值为 2，求 12 ab 的最小值 第 6 页（共 17 页） 2020 年河南省许昌市高考数学一模试卷（文科）年河南省许昌市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项
12、中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）已知 2020 1zi ，则|2 | (zi ) A10 B2 2 C2 D2 【解答】解：由 20204 505 111 10zii ， 得|2 | |2 | 2zii 故选：C 2 （5 分）已知集合 2 |60Ax xx， |(2)Bx ylg x，则(AB ) A(2,3) B( 2,3) C( 2,2) D 【解答】解： | 23Axx ， |2Bx x， (2,3)AB 故选：A 3 （5 分）在等差数列 n a中， 510 10aa，则数列 n a的前 14 项和 14 S为( )
13、A55 B60 C65 D70 【解答】解：由等差数列的性质可知， 510114 10aaaa， 14114 7()70Saa， 故选：D 4 （5 分）某企业一种商品的产量与单位成本数据如表： 产量x（万件） 2 3 4 单位成本y（元/件） 3 a 7 现根据表中所提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为21yx，则a值等于( ) A4.5 B5 C5.5 D6 【解答】解： 234 3 3 x ， 10 3 a y ， 代入线性回归方程为21yx，得1023 1 3 a ， 第 7 页（共 17 页） 解得5a 故选：B 5 （5 分）已知实数a，b，c满足 34 3 log a ， 1
14、 2 ba， 2 logca，则a，b，c的大小关 系是( ) Aabc Bbac Cbca Dcba 【解答】解： 34 1 3 4 log a ， 11 22 11 ( ) 42 ba， 22 1 log2 4 calog ， bac 故选：B 6 （5 分）在ABC中，(1, 3)AB ， 1 (2BC ，) x，若120B，则x的值为( ) A 3 2 B0 C 3 2 D0 或 3 2 【解答】解：在ABC中，(1, 3)AB ， 1 (2BC ，) x，120B， 2 1 3 2 cos,cos60 | |1 2 4 x AB BC AB BC ABBC x ， 解得0x x的值为
15、 0 故选：B 7 （5 分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合 百般好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数的性质，也常 用函数的解析式来研究函数图象的特征，已知函数( )f x的图象如图所示，则函数( )f x的解 析式可能是( ) A( )(44 )| xx f xx B 2 ( )(44 )log | xx f xx C 1 2 ( )(44 )log | xx f xx D 2 ( )(44 )log | xx f xx 第 8 页（共 17 页） 【解答】解：函数定义域为 |0x x ，排除A， 函数关于y轴对称，则函数为偶
16、函数，排除B， C选项中，当01x时，( )0f x ，不满足条件排除C， 故选：D 8 （5 分）已知程序框图如图所示，则输出的(S ) A 47 60 B 7 12 C 37 60 D 5 12 【解答】解：1a ，1n ，0S ； 1S ，1a ，2n ； 1 1 2 S ，1a ，3n ； 11 1 23 S ，1a ，4n ； 1117 1 23412 S ，1a ，5n ； 跳出循环，输出结果 7 12 S 故选：B 9（5 分） 已知定义城为R的函数( )f x满足()( )fxf x， 1 (2) ( ) f x f x ， 当0x，2时， 2 ( )2log (3)f xx，
17、则(923)(f ) A16 B923 C4 D1 【解答】解：因为定义城为R的函数( )f x满足()( )fxf x， 第 9 页（共 17 页） 所以函数( )f x是偶函数， 又因为 1 (2) ( ) f x f x ， 所以 11 (4)( ) 1 (2) ( ) f xf x f x f x ， 所以函数( )f x的周期是 4， 所以(923)(4 2303)fff（3）( 1)ff（1） ， 因为当0x，2时， 2 ( )2log (3)f xx， 所以(923)ff（1） 2 2log 44， 故选：C 10 （5 分）函数( )3sin(2)cos(2)(|) 2 f x
18、xx 的图象向左平移 12 个单位长度后 得函数( )g x的图象，若( )g x的图象关于点(,0) 6 对称，则( )g x的单调递减区间是( ) A2 12 k ， 7 2 12 k ，kZ B 5 12 k ， 12 k ，kZ C 12 k ， 5 12 k ，kZ D 5 12 k ， 7 12 k ，kZ 【解答】解：函数( )3sin(2)cos(2)2sin(2) 6 f xxxx (|) 2 的图象向 左平移 12 个单位长度后， 得函数( )2sin(2)2sin(2) 663 g xxx 的图象， 再由函数( )g x的图象关于点(,0) 6 对称， 32 k ，kZ，
19、 3 ，得到函数 2 ( )2sin(2) 3 g xx 令 23 222 232 kxk 剟，可得 5 1212 kx k 剟，故函数的减区间为 12 k ， 5 12 k ，kZ 故选：C 11 （5 分）已知抛物线 2 :2C yx，直线l的斜率为k，过定点 0 (M x，0)直线l交抛物线 C于A，B两点，且A，B位于x轴两侧，3(OA OBO为坐标原点） ，则 0 (x ) A3 B 3 2 C 3 2 D2 2 第 10 页（共 17 页） 【解答】解：设直线l的方程为 0 ()yk xx， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，与抛物线方程联立 可得 2 0 2
20、() yx yk xx ， 消y并整理可得， 22222 00 (22)0k xk xxk x， 由根与系数的关系可得， 2 120 x xx，则 12120 42y yx xx ， 3OA OB ， 1212 3x xy y，即 2 00 23xx，解得 0 3x 故选：A 12（5 分） 在内接于球O的四面体ABCD中， 有ABCDt，6ADBC，7ACBD， 若球O的最大截面的面积是 55 4 ，则t的值为( ) A5 B6 C7 D8 【解答】解：将四面体放入到长方体中，AB与CD，AD与BC，AC与BD相当于一个长 方体的相对面的对角线， 设长方体的长，宽，高分别是a，b，c则 22
21、2 222 222 7 6 abt bc ac ， 所以 2222 2()85abct 球O的最大截面的面积是 55 4 ，球的最大截面既是过球心的大圆， 设球的半径为R则 2 55 4 R ， 所以 2 (2 )55R， 222 2Rabc， 所以 2222 (2 )Rabc， 2 55 285t，解得：5t ， 故选：A 第 11 页（共 17 页） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若圆 22 420xyxyF的半径为 3，则F 4 【解答】 解： 根据题意， 圆 22 420xyxyF的半径为3， 则有 2
22、2 1 ( 4)( 2)43 2 F ， 解可得：4F ； 故答案为：4 14 （5 分）已知( 2 ，)， 4 sin 5 ，则tan() 4 1 7 【解答】解： 4 (, ),sin 25 ， 则： 3 cos 5 ， 所以： 4 tan 3 ， 则： 4 1tantan 1 34 tan() 4 47 1tantan1 43 ， 故答案为： 1 7 15 （5 分）函数( )f x定义域是R，其导函数为( )fx，满足 2 1 ( )fx x ，且f（3） 10 3 ， 则关于x的不等式 1 ()3 x x f e e 的解集是 ( 3,)ln 【解答】解：令 1 ( )( )g xf
23、 x x ， 2 1 ( )fx x ， 则 2 1 ( )( )0g xfx x 即( )g x单调递增， g（3）f（3） 1 3 3 ， 则由 1 ()3 x x f e e 可得() x g eg（3） ， 第 12 页（共 17 页） 3 x e， 3xln 故答案为：( 3,)ln 16 （5 分）已知a，b，c为锐角ABC内角A、B、C的对边，且满足 22 caab，则 b a 的取值范围是 (1,2) 【解答】解：由余弦定理得 2222 2coscababCaab， 2 cosabaC， 由正弦定理得sinsin2sincosABAC， sinsin()sincoscossin
24、BACACAC， sincossinsincossin()AACACCA， 又ABC为锐角三角形， ACA，可得：2CA， 0 2 C ， 0 4 A ， 03 2 BA ， 6 A ，即 64 A 2 32 CA ， 1 cos(0, ) 2 C， 由可得2cos1(1,2) b C a 故答案为：(1,2) 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题题为必考题 每个试题考生都必须作谷第每个试题考生都必须作谷第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答一）必考题共题为选考题，考生根据要求作答
25、一）必考题共 60 分分 17 （12 分）北京联合张家口获得 2022 年第 24 届冬奥会举办权，全国各地掀起了发展冰雪 运动的热潮，现对某高中进行冰雪兴趣调查，已知该高中男生人数是女生人数的 1.2 倍，按 照分层抽样的方法，从中抽取 110 人，调查高中生“是否对冰雪运动感兴趣”得到如下列联 表： 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 40 第 13 页（共 17 页） 女生 30 合计 110 （1）完成上述22列联表； （2）是否有99%的把握认为“是否对冰雪运动感兴趣”与性别有关 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd （其中nabcd为样本容量）
26、 2 0 ()P Kk 0.150 0.100 0.05 0.025 0.010 0.005 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 【解答】解： （1）根据男生人数是女生人数的 1.2 倍，按分层抽样法抽取 110 人， 则男生抽取 60 人，女生抽取 50 人，填写列联表如下； 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 40 20 60 女生 20 30 50 合计 60 50 110 （2）由表中数据，计算 2 2 110(40302020)352 7.8226.635 6050605045 K ， 所以有99%的把握认为“是否对冰雪运动感兴趣”与性别有关 1
27、8 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ，0 n a ，且 2 1 (1) 4 nn Sa （1）求 n a的通项公式； （2）令 1nnn ca a ，求数列 1 n n a c 前n项和 n T 【解答】解： （1） 1 1a ，且 2 1 (1) 4 nn Sa， 2n时， 22 11 11 (1)(1) 44 nnnnn aSSaa ， 化简可得 11 ()(2)0 nnnn aaaa ， 由0 n a ，可得 1 2 nn aa ，即 n a为首项为 1，公差为 2 的等差数列， 则12(1)21 n ann ； （2） 1 (21)(21) nnn ca
28、ann ， 第 14 页（共 17 页） 11111 (21)(21)() (21)(21)2 2121 n n ann cnnnn ， 可得前n项和 111111 (1321)(1) 23352121 n Tn nn 2 111 (121)(1) 222121 n nnn nn 19（12 分） 如图所示的几何体中， 111 ABCABC为三棱柱， 且 1 AA 平面ABC， 1 AAAC， 四边形ABCD为平行四边形，2ADCD，60ADC （1）求证：AB 平面 11 ACC A； （2）若2CD ，求四棱锥 111 CABCD的体积 【解答】解： （1）证明：四边形ABCD为平行四边形
29、，2ADCD，60ADC 90ACDBAC ，ABAC， 几何体中， 111 ABCABC为三棱柱，且 1 AA 平面ABC， 1 ABAA， 1 ACAAA，AB平面 11 ACC A （2）解：连结 1 AC，AB 平面 11 ACC A，/ /CDAB， CD平面 11 CC A， 四棱锥 111 CABCD的体积： 1 11 1 1 D CC ACA B C VVV 1 11 1 1 1 11 33 AC CA B C CDSCCS 1111 22 32 32 322 3 3232 8 第 15 页（共 17 页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :(0) xy Cab ab
30、，其离心率为 3 2 ，焦距长为2 3，直线l过定 点(0,2)P，与椭圆交于不同两点M，N （1）求椭圆的方程； （2）求PM PN的取值范围 【解答】解： （1）由题意： 3 2 c e a ，22 3c ， 222 bac，解得： 2 4a ， 2 1b ， 所以椭圆的方程： 2 2 1 4 x y； （2）当直线l的斜率不存在时，则(0,1)M，(0, 1)N，(0PM PN ，1)(0，3)3， 当直线的斜率存在时，设直线l的方程为：2ykx，( , )M x y，( ,)N x y， 与椭圆联立得： 22 (14)16120kxkx， 222 16412(14)0kk， 2 3 4
31、 k ， 2 16 14 k xx k ， 2 12 14 xx k ， 2 4 ()4 14 yyk xx k ， 2 2 2 412 2 ()4 14 k yyk xxk xx k (PM PNx，2)(y x ， 2 22 1212921 2)2()43(3,) 14144 k yxxyyyy kk ， 综上可得PM PN的取值范围：3， 21) 4 21 （12 分）已知函数 1 ( )1f xlnx x ， 32 ( )324g xxa xa，0x，1，其中0a （1）求函数( )f x的单调区间； （2）若对任意 1 1x ， e，总存在 2 0x ，1，使得 12 ( )()f
32、xg x成立，求a的取值范围 【解答】解： （1）函数( )f x的定义域为(0,)， 22 111 ( ) x fx xxx ， 令( )0fx，解得1x ，令( )0fx，解得01x， 函数( )f x的减区间为(0,1)，增区间为(1,)； （2）依题意，函数( )f x在1， e上的值域包含于函数( )g x在0，1上的值域， 第 16 页（共 17 页） 由（1）可知，函数( )f x在1， e上单调递增，故值域为 1 0, e ， 由 32 ( )324g xxa xa得 22 ( )333()()g xxaxa xa， 当0a 时，( ) 0g x恒成立，故函数( )g x在0，
33、1上单调递增，此时值域为 24a， 2 3254aa，5，故0a 不符合题意； 当0a 时，( )0g x的解集为( ,)a ，( )0g x的解集为(0, )a，故函数( )g x在(0, )a上 单调递减，在( ,)a 上单调递增， 且(0)42ga，g（1） 2 325aa ， ( ) i当01a时，函数( )g x在(0, )a上单调递减，在( ,1)a上单调递增，此时值域为 3 224aa，42maxa， 2 325aa， 则此时需要 3 224 0aa ，即 3 2 0aa ，当01a时， 3 2 0aa 不可能成立，故 01a不符合题意； ( )ii当1a时，( ) 0g x在0
34、，1上恒成立，则函数( )g x在0，1上单调递减，此时值域为 2 325aa，42 a，则 2 325 0 1 42 aa a e ，解得 1 12 2 a e 剟； 综上，实数a的取值范围为 1 1,2 2e 四、 （二）选考题：共四、 （二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做则按所做的题中任选一题作答如果多做则按所做的 第题计分第题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 1cos ( 2sin xt t yt 为参数） ，其中 2 k ，()kZ以坐标原点为
35、极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极 坐标方程为 2 2 cos4 sin40 （1）求曲线 2 C的直角坐标方程； （2）已知曲线 1 C与曲线 2 C交于A，B两点，点( 1,2)P ，求|PAPB的取值范围 【解答】解： （1）cosx，siny，由 2 2 cos4 sin40， 曲线 2 C的直角坐标方程为 22 (1)(2)1xy 第 17 页（共 17 页） （2）将曲线 1 C的参数方程为 1cos ( 2sin xt t yt 为参数） ，带入曲线 2 C的直角坐标方程 22 (1)(2)1xy 化简得 2 4 cos30tt， 且0，可得 2 3 4 cos
36、， 设A，B两点对应的参数分别为 1 t，2t，则有 12 4costt， 1 2 30t t ， 12 | | 4|cos| (2 3,4PAPBtt， 所以|PAPB的取值范围为(2 3，4 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |f xxaxb （1）当1a ，1b 时，求不等式( ) 4f x 的解集； （2）若0a ，0b ，( )f x的最小值为 2，求 12 ab 的最小值 【解答】 解 （1）1a ，1b 时， 1 ( ) |1|1|4 24 x f xxx x 或 11 2 4 x 或 1 24 x x ， 解得：22x 剟， 所以原不等式的解集为 2，2 （2）0a ，0b ，时，( ) |()()|f xxaxbxaxbab， 2ab， 1211212123 ()()(3)(32)2 2222 baba ab abababa b ， 当且仅当2 22a ，42 2b 时取等 12 ab 的最小值为 3 2 2
