1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（理科）年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的一项是符合要求的 1 （5 分）已知集合1U ，2，3，4，5，6，1A，3，4，则( UA ) A5，6 B1，2，3，4 C2，5，6 D2，3，4，5，6 2 （5 分）已知i是虚数单位，复数1(2)mm i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 m的取值范围是( ) A(, 1) B( 1,2)
2、C(2,) D(，1)(2，) 3 （5 分）已知向量(2,),(4, 2)am b，且()()abab，则实数(m ) A4 B4 C2 D4 4 （5 分） 37 1 (3)x x 展开式中的常数项是( ) A189 B63 C42 D21 5 （5 分）已知 412 3 333 2 ,3 ln abec，则( ) Abca Bcba Ccab Dbac 6 （5 分）函数( ) 1 lnx f x x 的图象大致是( ) A B C D 7 （5 分）设曲线 1cos ( ) sin x f x x 在 3 x 处的切线与直线1yax平行，则实数a等于( ) A1 B 2 3 C2 D2
3、 8 （5 分） “关注夕阳，爱老敬老” ，某企业从 2012 年开始每年向敬老院捐赠物资和现金， 第 2 页（共 18 页） 如表记录了该企业第x年(2012年是第一年）捐赠的现金数y（万元）: x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 若由表中数据得到y关于x的线性回归方程是0.35ymx， 则可预测 2019 年捐赠的现金大 约是( ) A5.95 万元 B5.25 万元 C5.2 万元 D5 万元 9 （5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入2019n ，则输出的(S ) A 4038 4039 B 2019 4039 C 2018 4037 D 4036 4037 10 （5
4、 分）若 9 人已按照一定顺序排成三行三列的方阵，从中任选 3 人，则至少有两人位 于同行或同列的概率是( ) A 13 14 B 4 7 C 3 7 D 1 14 11 （5 分）已知 1 12 ，函数( )sin(2) 4 f xx 在区间 3 (,) 22 内没有最值，则的取值 范围( ) A 1 1 , 6 2 B 511 , 12 24 C 15 , 4 12 D 5 ,1 12 12 （5 分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，若两定点A，B满足| |2OAOB， 1OA OB ，则点集 |,|2, ,P OPOAOBR 所表示的区域的面积是( ) A4 2 B4 3 C6 2 D
5、8 3 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 第 3 页（共 18 页） 13 （5 分）在等差数列 n a中，若 1 2a ， 23 10aa，则 7 a 14 （5 分）若函数 2 ( ) x f xexax在区间(0,)单调递增，则a的取值范围是 15 （5 分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知ABC的面积为 4， 4,8bBA AC，则a 16（5 分） 若函数( ) | a f xxa x 在区间(0,2)上为减函数， 则满足条件的a的集合是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说
6、明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分. 17（12 分） 在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， 且满足 5 cos()cos 3 aCbcA （1）若 1 sin 5 C ，10ac，求c； （2）若4a ，5c ，求ABC的面积S 18 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，满足22 nn Sa （1）求数列 n a的通项公式； （2
7、）设(21) nn bna，求数列 n b的前n项和 n T 19 （12 分）已知函数 322 13 ( )2 42 a f xxxbxa （1）若1b ，当0x 时，( )f x的图象上任意一点的切线的斜率都非负，求证： 3 3 a； （2）若( )f x在2x 时取得极值 0，求ab 20 （12 分）手机运动计步已经成为一种新时尚某单位统计职工一天行走步数（单位：百 步）得到如下频率分布直方图： 由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为 125（百步） ，其中同一组中的 数据用该组区间的中点值为代表 （1）试计算图中的a、b值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值； （
8、2）为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案： 记职工个人每日步行数为，其超过平均值的百分数100 ，若(0，10，职 工获得一次抽奖机会；若(10，20，职工获得二次抽奖机会；若(20，30，职工获 得三次抽奖机会；若(30，40，职工获得四次抽奖机会；若超过 50，职工获得五次抽 奖机会设职工获得抽奖次数为n 第 4 页（共 18 页） 方案甲：从装有 1 个红球和 2 个白球的口袋中有放回的抽取n个小球，抽得红球个数及表示 该职工中奖几次； 方案乙：从装有 6 个红球和 4 个白球的口袋中无放回的抽取n个小球，抽得红球个数及表示 该职工中奖几次； 若某职工日步行数为 15
9、700 步，试计算他参与甲、乙两种抽奖方案中奖次数的分布列若是 你，更喜欢哪个方案？ 21 （12 分）已知函数( )f xlnxax （1）讨论( )f x在其定义域内的单调性； （2）若1a ，且 12 ()()f xf x，其中 12 0xx，求证： 1212 3xxx x （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中选一题作答如果多做，则按所做的第一题中选一题作答如果多做，则按所做的第一 题计分题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）如图所示， “8”是在极坐标系Ox中分别以 1(1, ) 2 C 和 2 3
10、 (2,) 2 C 为圆心，外切于 点O的两个圆过O作两条夹角为 3 的射线分别交 1 C于O、A两点，交 2 C于O、B两 点 （1）写出 1 C与 2 C的极坐标方程； （2）求OAB面积最大值 选修选修 4-5：不等式选：不等式选讲讲 23已知函数( ) |2|f xxt，tR，( ) |3|g xx （1）xR，有( )( )f xg x，求实数t的取值范围； 第 5 页（共 18 页） （2）若不等式( ) 0f x 的解集为1，3，正数a、b满足222ababt，求2ab的最 小值 第 6 页（共 18 页） 2020 年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（理科）年四川省宜宾市高考数学一
11、诊试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的一项是符合要求的 1 （5 分）已知集合1U ，2，3，4，5，6，1A，3，4，则( UA ) A5，6 B1，2，3，4 C2，5，6 D2，3，4，5，6 【解答】解：集合1U ，2，3，4，5，6，1A，3，4， 2 UA ，5，6 故选：C 2 （5 分）已知i是虚数单位，复数1(2)mm i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 m的取值范围是( ) A(
12、, 1) B( 1,2) C(2,) D(，1)(2，) 【解答】解：复数1(2)mm i 在复平面内对应的点在第二象限， 10 20 m m ，解得1m 实数m的取值范围是(, 1) 故选：A 3 （5 分）已知向量(2,),(4, 2)am b，且()()abab，则实数(m ) A4 B4 C2 D4 【解答】解：()()abab， 222 () ()41640abababm，解得4m 故选：D 4 （5 分） 37 1 (3)x x 展开式中的常数项是( ) A189 B63 C42 D21 【解答】解： 37 1 (3)x x 展开式的通项公式为： 7 21 3 77 2 177 1
13、 (3)()3 r rrrrr r TCxCx x ， 第 7 页（共 18 页） 令 7 210 2 r ，解得6r ； 所以展开式中的常数项是 6 77 321TC 故选：D 5 （5 分）已知 412 3 333 2 ,3 ln abec，则( ) Abca Bcba Ccab Dbac 【解答】解： 41 33 216a ， 1 3 11 3 3 33 3 ln ln bee， 21 33 39c ； 3916， 1 3 ( )f xx在(0,)上单调递增； 111 333 3916； bca 故选：A 6 （5 分）函数( ) 1 lnx f x x 的图象大致是( ) A B C
14、D 【解答】解：1x 时，( )0f x ， 又 1 x e 时， 1 ( )0 1 1 f x e ， 故选：A 7 （5 分）设曲线 1cos ( ) sin x f x x 在 3 x 处的切线与直线1yax平行，则实数a等于( ) A1 B 2 3 C2 D2 【解答】解：切线与直线1yax平行，斜率为a， 第 8 页（共 18 页） 又 2 22 (1cos )cos1cossin xxxx y sin xsin x ， 所以切线斜率()2 3 kf ，所以1yax的斜率为2， 即2a 故选：C 8 （5 分） “关注夕阳，爱老敬老” ，某企业从 2012 年开始每年向敬老院捐赠物资
15、和现金， 如表记录了该企业第x年(2012年是第一年）捐赠的现金数y（万元）: x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 若由表中数据得到y关于x的线性回归方程是0.35ymx， 则可预测 2019 年捐赠的现金大 约是( ) A5.95 万元 B5.25 万元 C5.2 万元 D5 万元 【解答】解：由表格中的数据求得 3456 4.5 4 x ， 2.5344.5 3.5 4 y 样本点的中心的坐标为(4.5,3.5)，代入0.35ymx， 得3.54.50.35m，解得0.7m 线性回归方程为0.70.35yx， 取8x ，得5.95y 故选：A 9 （5 分）执行如图所示的程序框
16、图，如果输入2019n ，则输出的(S ) A 4038 4039 B 2019 4039 C 2018 4037 D 4036 4037 【解答】解：模拟程序的运行可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 第 9 页（共 18 页） 111 1 33 540374039 S 的值，可得： 111 1 33 540374039 S 11111111 (1)()() 23235240374039 11 (1) 24039 2019 4039 故选：B 10 （5 分）若 9 人已按照一定顺序排成三行三列的方阵，从中任选 3 人，则至少有两人位 于同行或同列的概率是( ) A 13 14 B
17、4 7 C 3 7 D 1 14 【解答】解：九个人排成三行三列的方阵，从中任选三人，共有取法 3 9 84C 三行三列的方阵中取三个数位于不同行不同列的取法有3!6 种 所以，至少有两个数位于同行或同列的概率是 613 1 8414 P ， 故选：A 11 （5 分）已知 1 12 ，函数( )sin(2) 4 f xx 在区间 3 (,) 22 内没有最值，则的取值 范围( ) A 1 1 , 6 2 B 511 , 12 24 C 15 , 4 12 D 5 ,1 12 【解答】解：当( )f x取得最值时，2 42 xk ，解得 82 k x ，kZ； 依题意得( 822 k x ，
18、3 ) 2 ，kZ； 令 822 k ，kZ， 解得 1 4 k，kZ； 由题意知0k 时， 1 4 ； 令 3 822 k ，kZ， 解得 1 123 k ，kZ； 第 10 页（共 18 页） 当1k 时， 5 12 ； 所以的取值范围是 1 4 ， 5 12 故选：C 12 （5 分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，若两定点A，B满足| |2OAOB， 1OA OB ，则点集 |,|2, ,P OPOAOBR 所表示的区域的面积是( ) A4 2 B4 3 C6 2 D8 3 【解答】解：22cos1OA OBAOB， 1 cos 2 AOB，即60AOB （1）若0，0， 设2OEO
19、A，2OFOB，则 22 OPOEOF ， |2 ，故当2时，E，F，P三点共线， 故点P表示的区域为OEF， 此时 1 2 22 2sin602 3 2 OEF S （2）若0，0， 设2OEOA ，2OFOB，则 22 OPOEOF ， 第 11 页（共 18 页） |2 ，故当2 时，P，E，F三点共线， 故点P表示的区域为OEF，此时 1 2 22 2sin1202 3 2 OEF S 同理可得：当0，0时，P点表示的区域面积为2 3， 当0，0时，P点表示的区域面积为2 3， 综上，P点表示的区域面积为2 348 3 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每
20、小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）在等差数列 n a中，若 1 2a ， 23 10aa，则 7 a 14 【解答】解：依题意， 231 1023223aaadd， 2d， 71 621214aad， 故答案为：14 14 （5 分）若函数 2 ( ) x f xexax在区间(0,)单调递增，则a的取值范围是 (， 22 2ln 【解答】解：函数 2 ( ) x f xexax在区间(0,)单调递增， ( )20 x fxexa 在区间(0,)上恒成立， 即2 x a ex在区间(0,)上恒成立， 令2 x yex其在(0,)上单调递增， 2 x ye ，当0
21、y时2xln， 02xln时，0y函数递减， 2xln时，0y；函数递增 2 2 222 2 ln min yelnln， 22 2aln； 故答案为：(，22 2ln 15 （5 分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知ABC的面积为 4， 4,8bBA AC，则a 2 10 第 12 页（共 18 页） 【解答】解：由8BA AC 可得cos()8bcA，即cos2cA ， 又 1 sin4 2 ABC SbcA ，即sin2cA ， 由可得tan1A ，故 3 4 A ，2 2c ， 22 2 2cos1682 4 2 22 10 2 abcbcA 故答案为：2 10 1
22、6 （5 分）若函数( )| a f xxa x 在区间(0,2)上为减函数，则满足条件的a的集合是 4 【解答】解：0a 时，( ) a g xxa x 在(0,2)上是增函数， x趋向 0 时，( )g x趋向；x趋向 2 时，( )g x趋向20 2 a ， ( )f x在(0,2)上没有单调性，不合题意； 0a 时，( ) |f xx在(0,2)上为增函数，不合题意； 0a 时，( ) a g xxa x 在(0,)a上是减函数，在( a，)上是增函数， xa时，( )g x取得最小值2 aa， 解20aa 得，4a， 显然4a 和4a 时， 都不满足( )f x在(0,2)上是减函数
23、， 只有4a 时满足( )f x在(0,2)上是减函数， 满足条件的a的集合是4 故答案为：4 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分. 17（12 分） 在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， 且满足 5 cos()cos 3 aCbcA （1）若 1 sin 5 C ，10ac，求c； （2）若
24、4a ，5c ，求ABC的面积S 【解答】解： （1） 5 cos()cos 3 aCbcA， 第 13 页（共 18 页） 5 sincos( sinsin)cos 3 ACBCA，化简得 5 sincossincoscossinsin()sin 3 BAACACACB， 因为sin0B ，所以 3 cos 5 A ， 4 sin 5 A ， 由正弦定理sin:sin4:1:ACa c，所以4ac， 又10ac，所以2c ； （2）由（1）知 3 cos 5 A ， 4 sin 5 A ，由余弦定理可得， 222 cos 2 bca A bc ， 2 3516 52 5 b b ，得 2 5
25、6 5550bb， 得 11 5 5 b ，则 122 sin 25 SbcA 18 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，满足22 nn Sa （1）求数列 n a的通项公式； （2）设(21) nn bna，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （1）22 nn Sa，当1n 时， 11 22Sa， 1 2a 当2n时，22 nn Sa， 11 22 nn Sa 两式相减得 1 22(2 ) nnn aaan ， 1 2 nn aa ，2n 1 20a ， 1 2 n n a a ，2n n a是以首项为 2，公比为 2 的等比数列， 2n n a （2）由（1）知(
26、21)2n n bn， 231 1 23 25 2(23) 2(21) 2 nn n Tnn ， 2341 21 23 25 2(23) 2(21) 2 nn n Tnn 两式相减得 231 22(222)(21) 2 nn n Tn ， 31 1211 2 (12) 2(21) 226(21) 2(23)26 12 n nnnn n Tnnn ， 1 (23)26 n n Tn 第 14 页（共 18 页） 19 （12 分）已知函数 322 13 ( )2 42 a f xxxbxa （1）若1b ，当0x 时，( )f x的图象上任意一点的切线的斜率都非负，求证： 3 3 a； （2）若
27、( )f x在2x 时取得极值 0，求ab 【解答】解：由题可得： 2 3 ( )3 4 fxxaxb （1）因为1b ，当0x 时，( )f x的图象上任意一点的切线的斜率都非负； 所以 2 3 ( )31 0 4 fxxax ； 即 2 3 13 4 xax 转化为 31 3 4 xa x 31 3 4 x x 33a 3 3 a （2）因为( )f x在2x 时取得极值 0； 所以：( 2)360fab 且 2 ( 2)26220faba 解得 21 93 aa bb 或 当1a ，3b 时 2 3 ( )(2)0 4 fxx，函数无极值； 2a，9b ，11ab 20 （12 分）手机
28、运动计步已经成为一种新时尚某单位统计职工一天行走步数（单位：百 步）得到如下频率分布直方图： 由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为 125（百步） ，其中同一组中的 数据用该组区间的中点值为代表 （1）试计算图中的a、b值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值； （2）为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案： 记职工个人每日步行数为，其超过平均值的百分数100 ，若(0，10，职 工获得一次抽奖机会；若(10，20，职工获得二次抽奖机会；若(20，30，职工获 第 15 页（共 18 页） 得三次抽奖机会；若(30，40，职工获得四次抽奖机会；若超过 50
29、，职工获得五次抽 奖机会设职工获得抽奖次数为n 方案甲：从装有 1 个红球和 2 个白球的口袋中有放回的抽取n个小球，抽得红球个数及表示 该职工中奖几次； 方案乙：从装有 6 个红球和 4 个白球的口袋中无放回的抽取n个小球，抽得红球个数及表示 该职工中奖几次； 若某职工日步行数为 15700 步，试计算他参与甲、乙两种抽奖方案中奖次数的分布列若是 你，更喜欢哪个方案？ 【解答】解： （1）由题意得： (0.0020.0060.0080.0080.0020.002)201 0.5(0.0020.0060.008)20 11020125 20 ab a ， 解得0.012a ，0.010b ，
30、600.00220800.006201000.008201200.012201400.010201600.008201800.002202000.00220125.6 （2）某职工日行步数157（百步） ， 157125.6 10025 125.6 ， 职工获得三次抽奖机会， 设职工中奖次数为X，在方案甲下 1 (3, ) 3 XB， X 0 1 2 3 P 8 27 12 27 6 27 1 27 81261 ()01231 27272727 E X ， 在方案乙下 X 0 1 2 3 第 16 页（共 18 页） P 1 30 3 10 1 2 1 6 1311 ()01231.8 301
31、026 E X ， 更喜欢方案乙 21 （12 分）已知函数( )f xlnxax （1）讨论( )f x在其定义域内的单调性； （2）若1a ，且 12 ()()f xf x，其中 12 0xx，求证： 1212 3xxx x 【解答】解： （1） 11 ( ) ax fxa xx 当0a时，( )0fx，则( )f x在区间(0,)上单调递增； 11 0,0,0,0,axfxf x aa 当时在区间上单调递增； 11 ,0,xfxf x aa 在区间上单调递减， （2）由（1）得：当1a 时，( )f x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减， 12 01xx ， 将要证的不等式转化
32、为 1 2 1 3 1 x x x ，考虑到此时， 2 1x ， 1 1 3 1 1 x x ， 又当(1,)x时，( )f x递增， 故只需证明 1 2 1 3 ()() 1 x f xf x ， 即证 1 1 1 3 ( )() 1 x f xf x ， 设 33 ( )() 11 xx Q xxlnxln xx ， 则 2 144 ( )1 (1)(1)(3) Q x xxxx ， 1411 (1)13 x xxxx ， 22 2 142(1)(1) (3) (1) (1)(3)(3)(1) xxxx xxxxx xx 当(0,1)x时，( )0Q x，( )Q x递减所以，当(0,1)
33、x时，( )Q xQ（1）0 所以 1 1 1 3 ( )() 1 x f xf x ，从而命题得证 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中选一题作答如果多做，则按所做的第一题中选一题作答如果多做，则按所做的第一 题计分题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）如图所示， “8”是在极坐标系Ox中分别以 1(1, ) 2 C 和 2 3 (2,) 2 C 为圆心，外切于 第 17 页（共 18 页） 点O的两个圆过O作两条夹角为 3 的射线分别交 1 C于O、A两点，交 2 C于O、B两 点 （1）写出 1 C与
34、 2 C的极坐标方程； （2）求OAB面积最大值 【解答】解： （1） 1: 2sinC； 2: 4sinC ； （2）由（1）得(2sin , )A ，( 4sin() 3 B ，) 3 ， 则 1 2sin 4sin() sin 233 OAB S 2 3sin (sincoscos sin) 33 2 33sincossin 333 cos2sin2 222 3 3sin(2) 62 当sin(2)1 6 时，OAB面积最大值为 3 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |2|f xxt，tR，( ) |3|g xx （1）xR，有( )( )f xg x，求
35、实数t的取值范围； （2）若不等式( ) 0f x 的解集为1，3，正数a、b满足222ababt，求2ab的最 小值 【解答】解： （1）由xR，有( )( )f xg x，得|2|3|xtx恒成立， 所以|2|3|txx， 由|2|3|23| 5xxxx， 所以5|2|3|5xx剟， 所以5t； 第 18 页（共 18 页） （2）由不等式( ) 0f x 的解集为1，3，得|2|xt， 解得22t xt剟， 21 23 t t 解得1t ， 将1t 带入222ababt，整理得20abab， 21 1 ba ， 所以 2 21 2(2 )() (12)9abab ba ，当且仅当3ab时取等号， 故2ab的最小值为 9
