1、 1 山东省潍坊市 2017届高三数学下学期第四次单元过关测试试题 文 一、选择题 1. 已知 11a bii ? ，其中 ,ab是实数， i 是虚数单位，则 |a bi? A 3 B 2 C 5 D 5 2. 已知集合 2 | 2 0M x x x? ? ?， 22 | 1N x x y? ? ?，则 MN? A 1,2)? B (0,1) C (0,1 D ? 3. 某校共有高一、高二、高三学生 1290人，其中高一 480 人，高二比高三多 30 人，为了解该校学生健康状 况 ，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生 96 人，则该样本中的高三学生人数为 A 84 B 78
2、 C 81 D 96 4. 函数 11 ( )2 xy?的值域为 A 0, )? B (0,1) C 0,1) D 0,1 5. 已知 MOD 函数是一个求余函数，其格式为 ( , )MODn m ， 其结果为 n 除以 m 的余数，例如 (8,3) 2MOD ? . 右面是一个算法的程序框图，当输入的值为 25 时， 则输出的结果为 A 4 B 5 C 6 D 7 6. 已知 圆 22: 4 4 0C x y x y? ? ? ?与 x 轴 相交于 ,AB两点， 则弦 AB 所对的圆心角 的大小 为 A 6? B 3? C 2? D 23? 7.“ 01m?” 是 “ 函数 ( ) sin
3、1f x x m? ? ?有零点 ” 的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8. 已知 函数 ( ) 2 s i n ( 2 ) ( | | )2f x x ? ? ?的图象过点 (0, 3) ，则 ()fx的图象的一个对称中心是 结束 开始 输入 n 2i? ( , ) 0?MOD n i ? 输出 i 1ii? 是 否 2 A ( ,0)3? B ( ,0)6? C ( ,0)6? D ( ,0)4? 9. 设 ,xy满足约束条件 2311xxyyx?，则下列不等式恒成立的是 A 3x? B 4y? C 2 8 0xy? ? ? D 2 1 0xy?
4、? ? 10. 如果函数 ()y f x? 在区间 I 上是增函数，而函数 ()fxy x? 在区间 I 上是减函数，那么称函数()y f x? 是区间 I 上 的 “ 缓增函数 ” ，区间 I 叫做 “ 缓增区间 ” ，若函 213() 22f x x x? ? ?是区间I 上 的 “ 缓增函数 ” ，则 其 “ 缓增区间 ” I 为 A 1)?， B 0, 3 C 01， D 1, 3 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分 11. 已知不共线的平面向量 a ， b 满足 ( 2,2)a? ， ( ) ( )a b a b? ? ? ，那么 |b? ； 12. 已知函数22
5、 , 0 ,() | lo g |, 0 ,x xfx xx? ? ? ?则 ( ( 1)ff? ； 13. 已知实数 ,xy满足 2 2 1xy?， 则 xy? 的最大值是 ； 14. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ； 15. 已知双曲线)0,0(12222 ? babyax的右 焦点为 F ，过 F 作斜率为 1? 的直线交双曲线的 渐近线于点 P ，点 P 在第一象限， O 为坐标原点， 若 OFP? 的面积为228ab?，则该双曲线的离心率为 三、 解答题 . 16. （本小题满分 12分） 某 区工商局、消费者协会 在 3 月 15号 举行 了 以 “ 携手共治 ， 畅
6、享消费 ” 为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识 组织方 从参加活动的群众 中随机 抽 取 120名 群众 ，按 他们的年龄 分组：第 1组 20,30) ，第 2 组 30,40) ，第 3 组 40,50) ，第 4 组 50,60) ，第 5 组 60,70 ，0.02 0.03 m 频率 组距 4644俯视图 正（主）视图 侧（左）视图 第 14 题图 4463 得到的频率分布直方图如图所示 . （ ） 若电视台记者要从 抽 取 的 群众中选 1人进行采访， 求被采访人恰好在 第 2 组 或第 4 组的概率； （ ） 已知 第 1组 群众中男性有 2 人， 组织方要从
7、第 1组 中 随机 抽 取 3 名 群众组成维权志愿者服务队 ， 求至少有两名女 性 的概率 . 17（本小题满分 12分） 已 知 向 量 2( sin , cos )33xxak? , (cos , )3xbk?, 实数 k 为 大 于 零 的 常 数 ， 函 数()f x a b? , Rx? ,且函数 ()fx的最大值为 212? . （ ） 求 k 的值； （ ） 在 ABC? 中， ,abc分别为内角 ,ABC 所对的边，若 2 A? ? ， ( ) 0fA? ,且22b? , 2 10a? ,求 ABAC? 的值 . 18（本小题满分 12分） 如图，在正四棱台 1 1 1 1A
8、BCD A B C D? 中， 11AB a? ， 2AB a? ， 1 2AA a? ， E 、 F 分别是AD 、 AB 的中点 . （ ） 求证：平面 11EFBD 平面 1BDC ； （ ） 求证： 1AC? 平面 1BDC . 19（本小题满分 12分） 设 na 是等差数列， nb 是各项都为正整数的等比数列，且 111ab?， 13 2 50ab? ，8 2 3 4 5a b a a? ? ? ?， *Nn? （）求 na ， nb 的通项公式； （ ） 求数列 ? ?nnba 的前 n项和 nS 20（本小题满分 13分） 已知抛物线 1:C 2 2 ( 0)y px p?的焦
9、点 为 F ，抛物线 上 存在 一点 G 到 焦点的距离为 3 ， 且点 G在圆 :C 229xy?上 C 1B E D F AB 1A 1D 1C 4 （）求抛物线 1C 的方程； （ ） 已知椭圆 2:C 22 1 ( 0 )xy mnmn? ? ? ?的一个焦点与抛物线 1C 的焦点重合，且离心率为 12 直线 :4l y kx?交 椭圆 2C 于 A 、 B 两个不同的点，若 原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的 外 部，求 k的取值范围 21（本小题满分 14分） 已知函数 ( ) 1 lnaf x xx? ? ? （ Ra? ） （ ） 当 1a? 时 ，求函数 ()fx的 图象
10、在点 11( , ( )22f 处 的切线方程； （ ） 当 0a? 时 ， 记函数 21( ) (1 2 ) 1 ( )2 ax a x a x f xx? ? ? ? ? ? ?，试求 ()x? 的单调递减区间； （ ） 设函数 2( ) 3 2h a a a?（其 中 ? 为常数）， 若函数 ()fx在区间 (0,2) 上 不存在 极值， 求 ()ha的 最大值 数学（文科）参考答案及评分标准 D C B C B C A B C D 11. 22 12. 1 13. 2? 14 32 15 103 三、解答题 16. （本小 题满分 12分） 解： （ ） 设 第 2 组 30,40)
11、的频率为 2f 2 1 ( 0 . 0 0 5 0 . 0 1 0 . 0 2 0 . 0 3 ) 1 0 0 . 3 5f ? ? ? ? ? ? ?； ? ? 3分 第 4 组的频率为 0.02 10 0.2? 所以 被采访人恰好在 第 2 组 或第 4 组的概率为 1P? 0.35 0.2 0.55? ? 6分 （ ） 设 第 1组 30,40) 的频数 1n ，则 1 1 2 0 0 .0 0 5 1 0 6n ? ? ? ? ? 7分 记 第 1组 中的男性为 12,xx，女 性 为 1 2 3 4, , ,y y y y 随机 抽 取 3 名 群众的基本事件是： 1 2 1( ,
12、, )x x y ， 1 2 2( , , )x x y ， 1 2 3( , , )x x y ， 1 2 4( , , )x x y 5 1 2 1( , , )x y y ， 1 3 2( , , )x y y ， 1 1 3( , , )x y y ， 1 4 1( , , )x y y ， 1 2 4( , , )x y y ， 1 3 4( , , )x y y ， 2 2 1( , , )x y y ， 232( , , )x y y ， 213( , , )x y y ， 2 4 1( , , )x y y ， 224( , , )x y y ， 234( , , )x y y
13、 ， 1 2 3( , , )y y y ， 1 2 4( , , )y y y ， 234( , , )y y y ， 1 3 4( , , )y y y 共 20 种 ? 10 分 其中 至少有两名女性的基本事件是： 1 2 1( , , )x y y ， 1 3 2( , , )x y y ， 1 1 3( , , )x y y ， 1 4 1( , , )x y y ， 1 2 4( , , )x y y ，1 3 4( , , )x y y ， 2 2 1( , , )x y y ， 232( , , )x y y ， 213( , , )x y y ， 2 4 1( , , )x
14、y y ， 224( , , )x y y ， 234( , , )x y y ，1 2 3( , , )y y y ， 1 2 4( , , )y y y ， 234( , , )y y y ， 1 3 4( , , )y y y 共 16种 所以 至少有两名女性的概率为2 16 420 5P ? 12分 17 （本小题满分 12分） 解 ： （ ） 由已知 2( ) ( s i n , c o s ) ( c o s , )3 3 3x x xf x a b k k? ? ? ? ? 221 c o s1 2 2 23s i n c o s c o s s i n ( s i n c o
15、s )3 3 3 2 3 2 2 3 3 2xx x x x k x x kk k k k ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2( s i n c o s ) s i n ( )2 2 3 2 3 2 2 3 4 2k x x k k x k? ? ? ? ? ? ? 5分 因为 Rx? ，所以 ()fx的最大值为 ( 2 1) 2 122k? ，则 1k? ? 6分 （ ） 由 （ ） 知， 2 2 1( ) s in ( )2 3 4 2xfx ? ? ?，所以 2 2 1( ) s i n ( ) 02 3 4 2AfA ? ? ? ? 化简得 22sin ( )3 4
16、 2A ? 因为 2 A? ?，所以 2512 3 4 12A? ? ? ? ? 则 23 4 4A ?，解得 34A ? ? 8分 所以 2 2 2 22 8 4 0c o s22 2 2 2b c a cA bc c? ? ? ? ? ? ? ?化 简得 2 4 32 0cc? ? ? ，则 4c? ? 10分 所以 32c o s 4 2 2 ( ) 842A B A C A B A C ? ? ? ? ? ? ? ? 12 分 18 （本小题满分 12分） 证明： （ ） 连接 11AC ， AC ，分别交 11,BD EF BD 于 ,MNP ，连接 1,MNCP 6 由题意， BD
17、 11BD 因为 BD? 平面 11EFBD ， 11BD? 平面 11EFBD ，所以 BD 平面 11EFBD ? 3 分又因 为11 ,2A B a AB a?，所以 1 1 11222M C A C a? 又因为 E 、 F 分别是 AD 、 AB 的中点， 所以 1242NP AC a? 所以 1MC NP? 又因为 AC 11AC ，所以 1MC NP 所以四边形 1MCPN 为平行四边形 所以 1PC MN 因为 1PC? 平面 11EFBD ， MN? 平面 11EFBD ，所以 1PC 平面 11EFBD 因为 1PC BD P?I ，所以平面 11EFBD 平面 1BDC
18、? 6分 （ ） 连接 1AP，因为 11AC PC ， 11AC = 2PC a? ， 所以四边形 11ACCP 为平行四边形 因为 11 2C C AA PC a? ? ?，所以四边形 11ACCP 为菱形 所 以 11AC PC? ? 9分 因为 MP? 平面 ABCD ,MP? 平面 11ACCA 所以平面 11ACCA? 平面 ABCD ， 因为 BD AC? ，所以 BD? 平面 11ACCA 因为 1AC? 平面 11ACCA ，所以 1BD AC? 因为 1PC BD P?I ，所以 1AC? 平面 1BDC . ? 12 分 19（本小题满分 12分） 解： （ ） 设 ?na 的公差为 d ， ?nb 的公比为 q ，
