1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年吉林省高考数学二模试卷（文科）年吉林省高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （5 分）若复数z满足(12 )1i zi ，则| (z ) A10 B 10 5 C 3 5 D 2 5 2 （5 分）已知集合| 3AxZx， |1Bx x 或2x ，则()( R AB ) A0，1，2 B 1，0，1 C0，3 D 1，0，1，2 3 （5 分）已知 8 log 7a ， 3
2、 log 2b ， 0.1 c，则( ) Aabc Bacb Cbac Dcab 4 （5 分）长久以来，人们一直认为黄金分割比例是最美的，人们都不约而同的使用黄金分 割，如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例 5151 (0.618 22 称为黄金分割比例） ，这 样的矩形称为黄金矩形，黄金矩形有一个特点：如果在黄金矩形中不停分割出正方形，那么 余下的部分也依然是黄金矩形，已知图中最小正方形的边长为 1，则矩形ABCD的长为( )（结果保留两位小数） A10.09 B11.85 C9.85 D11.09 5 （5 分）函数 4 ( )()cos ()f xxxx x 剟且0)x 的图象可能为(
3、 ) A B 第 2 页（共 18 页） C D 6 （5 分）某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法从中抽取 56 人做问卷调查，将 840 人按 1，2，3，840 随机编号，若 442 号职工被抽到，则下列 4 名职工中未被抽到的是 ( ) A487 号职工 B307 号职工 C607 号职工 D520 号职工 7 （5 分）tan645( ) A23 B23 C23 D23 8 （5 分）若向量a，b满足|3a ，| 2 6b ，且满足(2)aba，则a与b的夹角为 ( ) A 3 B 2 3 C 4 D 3 4 9 （5 分）如图给出的是计算 111 1 352019 的值的一
4、个程序框图，则图中空白框中应 填入( ) A 1 23 SS i B 1 21 SS i C 1 1 SS i D 1 21 SS i 10 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的渐近线与圆 222 (1)sin 130xy相切，则 该双曲线的离心率等于( ) A 1 sin50 B 1 cos50 C2sin50 D2cos50 第 3 页（共 18 页） 11 （5 分）设ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c已知2cos0baC， sin3sin()AAC，则 2 ( bc a ) A 7 4 B 14 9 C 2 3 D 6 9 12 （5 分）已知
5、双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的焦点为 1( 3,0) F ， 2(3,0) F，过 2 F作直线 l与双曲线C的右支交于点A，B两点若 22 | 4|BFAF， 1 | |AFAB，则C的方程是( ) A 22 1 36 xy B 22 1 54 xy C 22 1 63 xy D 22 1 45 xy 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）曲线 2 (3) x yxx e在点(0,0)处的切线方程为 14 （5 分）已知数列 n a是等比数列，其前n项和为 n S， 1 1 3 a ，
6、 2 36 6aa，则 5 S 15 （5 分）函数( )sin()8cos 22 x f xx 的最小值为 16（5 分） 如图， 在五面体ABCDEF中，/ /ABDC， 2 BAD ，3CDAD， 四边形ABFE 为平行四边形，FA 平面ABCD，5FC ，则直线AB到平面EFCD距离为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 大题，共大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分） 为了研究每周累计户外暴露时间是否足够 （单位： 小时） 与近视发病率的关系， 对某中学一年级 100 名学生进行不记名问卷调查，
7、得到如下数据： 近视 不近视 足够的户外暴露时间 20 35 不足够的户外暴露时间 30 15 （1）用样本估计总体思想估计该中学一年级学生的近视率； （2）能否认为在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关 第 4 页（共 18 页） 系？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 0 ()P Kk 0.050 0.010 0.001 0 k 3.841 6.635 10.828 18 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 2 3a ， 6 0S （1）求数列 n a的通项公式； （2）求使不等式
8、nn Sa成立的n的最小值 19 （12 分） 在直四棱柱 1111 ABCDABC D中， 已知 1 333DCDDADAB，ADDC， / /ABDC，E为DC上一点，且1DE （1）求证： 1 / /D E平面 1 ABD； （2）求点D到平面 1 BED的距离 20 （12 分）已知函数 3 1 ( )sincos 6 f xxxxx，( )fx为( )f x的导数 （1）证明：( )fx在区间(0,) 2 上不存在零点； （2）若 3 1 ( )cos1 6 f xkxxxx对(0,) 2 x 恒成立，求实数k的取值范围 21 （12 分）已知O为坐标原点，椭圆 2 2 1 2 y
9、x的下焦点为F，过点F且斜率为k的直线 与椭圆相交于A，B两点 （1）以AB为直径的圆与2x 相切，求该圆的半径； （2） 在y轴上是否存在定点P， 使得PA PB为定值， 若存在， 求出点P的坐标； 若不存在， 请说明理由 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修选修 4-4：坐：坐 第 5 页（共 18 页） 标系与参数方程标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 2 2 4 1 ( 3(1) 1 m x m m m y m 为参数） ，以坐 标原点O为极点，
10、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是 2 sin()1 6 （1）写出曲线C的普通方程和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，c为正数，且满足8abc ，证明： （1）(4)(4)(4) 216abc； （2） 222 ()()()48abbcca 第 6 页（共 18 页） 2020 年吉林省高考数学二模试卷（文科）年吉林省高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
11、符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （5 分）若复数z满足(12 )1i zi ，则| (z ) A10 B 10 5 C 3 5 D 2 5 【解答】解：由(12 )1i zi ，得 1 12 i z i ， 1|1|210 | | 12|12 |55 ii z ii 故选：B 2 （5 分）已知集合| 3AxZx， |1Bx x 或2x ，则()( R AB ) A0，1，2 B 1，0，1 C0，3 D 1，0，1，2 【解答】解：已知集合| 3 2AxZx ，1，0，1，2， |1Bx x 或2x ， 1 RB ，2， 则() 1 R AB ，0
12、，1，2， 故选：D 3 （5 分）已知 8 log 7a ， 3 log 2b ， 0.1 c，则( ) Aabc Bacb Cbac Dcab 【解答】解：2x 时，( ) x f xx， lnyxlnx，(1) x yxlnx ，可得 1 x e 时，函数( )f x单调递增 令( )log (1) x g xx，(2)x 1 22 (1) (1)(1) 1 ( )()0 ()(1)() xx lnxln x ln xlnxln x xx g x lnxlnxx xlnx ( )log (1) x g xx，(2)x 单调递增 1cab ， bac 第 7 页（共 18 页） 故选：C
13、4 （5 分）长久以来，人们一直认为黄金分割比例是最美的，人们都不约而同的使用黄金分 割，如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例 5151 (0.618 22 称为黄金分割比例） ，这 样的矩形称为黄金矩形，黄金矩形有一个特点：如果在黄金矩形中不停分割出正方形，那么 余下的部分也依然是黄金矩形，已知图中最小正方形的边长为 1，则矩形ABCD的长为( )（结果保留两位小数） A10.09 B11.85 C9.85 D11.09 【解答】 解：根据题意，如图：若图中最小正方形的边长为 1，即1HP ，则矩形HPLJ中， 151 251 2 LPHJ ， 则在矩形HJIF中， 2 51 () 251
14、2 HJ HF ， 同理： 3 51 () 2 FC ， 4 51 () 2 DC ， 则 5 51 ()11.09 2 BC ； 故选：D 5 （5 分）函数 4 ( )()cos ()f xxxx x 剟且0)x 的图象可能为( ) 第 8 页（共 18 页） A B C D 【解答】解：根据题意，函数 4 ( )()cos ()f xxxx x 剟且0)x ， 则 44 ()()cos()()cos( )fxxxxxf x xx ，即( )f x为奇函数，排除B、D； 又由0 2 x ， 4 0x x ，cos0x ，则( )0f x ，排除C； 故选：A 6 （5 分）某单位有 840
15、 名职工，现采用系统抽样方法从中抽取 56 人做问卷调查，将 840 人按 1，2，3，840 随机编号，若 442 号职工被抽到，则下列 4 名职工中未被抽到的是 ( ) A487 号职工 B307 号职工 C607 号职工 D520 号职工 【解答】解：根据系统抽样的特点，得组距应为8405615， 4421529余 7， 4871532余 7，3071520余 7，6071540余 7，5201534余 10， 520号职工没有被抽到， 故选：D 7 （5 分）tan645( ) A23 B23 C23 D23 【解答】解： 1tan3013 tan645tan(236075)tan75
16、tan(4530)23 1tan3013 故选：B 第 9 页（共 18 页） 8 （5 分）若向量a，b满足|3a ，| 2 6b ，且满足(2)aba，则a与b的夹角为 ( ) A 3 B 2 3 C 4 D 3 4 【解答】解：向量a，b满足|3a ，| 2 6b ，且满足(2)aba， 设a与b的夹角为，0， 则 2 (2)22 33 2 6 cos0ab aaa b， 2 cos 2 ， 3 4 ， 故选：D 9 （5 分）如图给出的是计算 111 1 352019 的值的一个程序框图，则图中空白框中应 填入( ) A 1 23 SS i B 1 21 SS i C 1 1 SS i
17、 D 1 21 SS i 【解答】解：该程序的功能是计算 111 1 352019 S 的值， 即计算数列1， 1 3 ， 1 5 ， 1 2019 的和， 由于其通项公式为 1 21 n a i ， 由程序框图可知执行框中应该填的语句是： 1 21 SS i 故选：D 10 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的渐近线与圆 222 (1)sin 130xy相切，则 该双曲线的离心率等于( ) 第 10 页（共 18 页） A 1 sin50 B 1 cos50 C2sin50 D2cos50 【解答】解：取双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab
18、的一条渐近线0bxay 圆 222 (1)sin 130xy的圆心(1,0)，半径sin130sin50r 渐近线与圆 222 (1)sin 130xy， 22 sin50 b ab ， 所以 22 22 50 50 bsin acos 所以 22 22 501 11 50cos50 cbsin e aacos ， 故选：B 11 （5 分）设ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c已知2cos0baC， sin3sin()AAC，则 2 ( bc a ) A 7 4 B 14 9 C 2 3 D 6 9 【解答】解：2cos0baC， 由余弦定理可得 222 2 2 abc ba ab
19、， 整理可得， 222 3bca， sin3sin()3sinAACB， 由正弦定理可得，3ab， 联立可得，6cb， 则 22 66 99 bcbb ab 故选：D 12 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的焦点为 1( 3,0) F ， 2(3,0) F，过 2 F作直线 l与双曲线C的右支交于点A，B两点若 22 | 4|BFAF， 1 | |AFAB，则C的方程是( ) A 22 1 36 xy B 22 1 54 xy C 22 1 63 xy D 22 1 45 xy 【解答】 解： 如图： 22 | 4|BFAF， 1 | |AFAB， 且 1
20、2 | 2AFAFa， 12 | 2BFBFa， 第 11 页（共 18 页） 设 2 |AFn，则 2 | 4BFn， 1 | 5AFn，可得 1 2 na， 1 | 4BFa， 1 5 | 2 AFa， 2 | 2BFa， 2 | 2 a AF ， 在 12 AFF中 222 2121 21 212 cos 2 AFFFAF AF F AF FF ， 在 12 BFF中 222 2121 21 212 cos 2 BFFFBF BF F BF FF ， 而 2121 coscos0BF FAF F， 所以 222 222 5 ( )(2 )() (2 )4(4 ) 22 0 2 2 aa
21、c aca a a ， 2 9c ，解得 2 5a ， 222 4bca， 双曲线C的方程为： 22 1 54 xy 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）曲线 2 (3) x yxx e在点(0,0)处的切线方程为 0xy 【解答】解：由题意，可得 2 (351) x yxxe ， 则 0 |1 x y ， 曲线 2 (3) x yxx e在点(0,0)处的切线方程为yx ， 即0xy 第 12 页（共 18 页） 故答案为：0xy 14 （5 分） 已知数列 n a是等比数列， 其前n项和为 n S，
22、 1 1 3 a ， 2 36 6aa， 则 5 S 31 3 【解答】解：因为 1 1 3 a ， 2 36 6aa， 所以， 225 11 6() 33 qq， 解可得，2q ， 则 5 5 1 (12 ) 31 3 123 S 故答案为： 31 3 15 （5 分）函数( )sin()8cos 22 x f xx 的最小值为 7 【解答】解： 1 ( )sin()8coscos8cos 222 x f xxxx ， 21 1 2cos8cos1 22 xx， 令 1 cos 2 tx，则 1t ，1，则 2 ( )281g ttt， 根据二次函数的性质可知，当1t 时，函数取得最小值7
23、故答案为：7 16（5 分） 如图， 在五面体ABCDEF中，/ /ABDC， 2 BAD ，3CDAD， 四边形ABFE 为平行四边形，FA 平面ABCD，5FC ，则直线AB到平面EFCD距离为 3 7 4 【解答】解：如图，连接AC， 第 13 页（共 18 页） / /ABCD，直线AB到平面EFCD距离即为A到平面DFC的距离，设为h， / /CDAB， 2 BAD ，ADCD， 又3CDAD，3 2AC， FA 平面ABCD，FAAC，FAAD， 又5FC ， 22 7FAFCAC， 22 4FDFAAD 由FACD，CDAD，得CD 平面FAD，则CDFD 由 FACDA DFC
24、 VV ，得 1111 3 3734 3232 h ， 解得 3 7 4 h 直线AB到平面EFCD距离为 3 7 4 故答案为： 3 7 4 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 大题，共大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分） 为了研究每周累计户外暴露时间是否足够 （单位： 小时） 与近视发病率的关系， 对某中学一年级 100 名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据： 近视 不近视 足够的户外暴露时间 20 35 不足够的户外暴露时间 30 15 （1）用样本估计总体思想估计该中学一年级学生的近视率；
25、（2）能否认为在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关 系？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 0 ()P Kk 0.050 0.010 0.001 0 k 3.841 6.635 10.828 【解答】解： （1）从表格中可知，100 名学生中，近视的学生有203050名， 所以可估计该中学一年级学生的近视率为 501 1002 ； （2） 2 2 100(20 153530) 9.096.635 55455050 K ， 第 14 页（共 18 页） 所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，能认为不足
26、够的户外暴露时间与近视有关系 18 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 2 3a ， 6 0S （1）求数列 n a的通项公式； （2）求使不等式 nn Sa成立的n的最小值 【解答】解： （1）设等差数列 n a的公差为d， 2 3a ， 6 0S 1 3ad ， 1 6150ad 解得： 1 5a ，2d 52(1)27 n ann （2）不等式 nn Sa，即 (1) 5227 2 n n nn ，化为：(1)(7)0nn，解得7n 使不等式 nn Sa成立的n的最小值为 8 19 （12 分） 在直四棱柱 1111 ABCDABC D中， 已知 1 333DCDD
27、ADAB，ADDC， / /ABDC，E为DC上一点，且1DE （1）求证： 1 / /D E平面 1 ABD； （2）求点D到平面 1 BED的距离 【解答】解： （1）证明：由题意可知，/ /ABDC，且33ABDC， / /ABDE，ABDE， 故四边形ABED为平行四边形， 11 / / /BEADAD， 11 BEADAD， 四边形 11 AD EB为平行四边形， 11 / /D EAB， 第 15 页（共 18 页） 1 D E不在平面 1 ABD内， 1 AB在平面 1 ABD内， 1 / /D E平面 1 ABD （2）过D作 1 DMD E交 1 D E于M， 1111 AB
28、CDABC D为直四棱柱， 1 DD底面ABCD， 1 DDBE， 由（1）得/ /BEAD， ADDC， BEDC，而 1 DCDDD， BE平面 11 DCC D，DM在平面 11 DCC D， BEDM， 又 1 DMD E， 1 BED EE， DM平面 1 BED， 点D到平面 1 BED的距离即为DM长， 1DE ， 1 3DD ， 1 10D E ， 1 33 10 1010 DM ， 点D到平面 1 BED的距离为 3 10 10 20 （12 分）已知函数 3 1 ( )sincos 6 f xxxxx，( )fx为( )f x的导数 第 16 页（共 18 页） （1）证明
29、：( )fx在区间(0,) 2 上不存在零点； （2）若 3 1 ( )cos1 6 f xkxxxx对(0,) 2 x 恒成立，求实数k的取值范围 【解答】解： （1）由题意得 2 11 ( )sin(sin) 22 fxxxxxxx， 令 1 ( )sin 2 g xxx，则 1 ( )cos 2 g xx， 当 1 (0,) 3 x上时，( )0g x，( )g x单增；当 1 (3x， 1 ) 2 上时，( )0g x，( )g x单减， (0)0g， 13 ()0 326 g ， 1 ()10 24 g ， 故( )0g x 在 1 (0,) 2 上恒成立，故( )0fx在 1 (0
30、,) 2 上恒成立， 故( )fx在区间 1 (0,) 2 上不存在零点 （2）由 3 1 ( )cos1 6 f xkxxxx，得sin1xkx， 1 (0,) 2 x，故 sin1x k x ， 令 1sin ( ) x t x x ，则 2 cossin1 ( ) xxx t x x ， 令( )cossin1m xxxx，则( )sin0m xxx 恒成立， 所以( )m x在 1 (0,) 2 上单调递减，( )(0)10m xm ， ( )0t x 在 1 (0,) 2 上恒成立，即( )t x在 1 (0,) 2 上单减， 14 ( )() 2 t xt ， 4 k ， k的取值
31、范围是(， 4 21 （12 分）已知O为坐标原点，椭圆 2 2 1 2 y x的下焦点为F，过点F且斜率为k的直线 与椭圆相交于A，B两点 （1）以AB为直径的圆与2x 相切，求该圆的半径； （2） 在y轴上是否存在定点P， 使得PA PB为定值， 若存在， 求出点P的坐标； 若不存在， 请说明理由 【解答】解：由题意可设直线l的方程为1ykx， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 第 17 页（共 18 页） 由 2 2 1 2 1 y x ykx 消去y，得 22 (2)210kxkx ， 则 22 4480kk恒成立， 12 2 2 2 k xx k ， 12 2
32、1 2 x x k ， 1212 2 4 ()2 2 yyk xx k ， 2 1212 2 22 (1)(1) 2 k y ykxkx k （1） 2 22 222 241 |1()2 2 222 kk ABk kkk ， 线段AB的中点的横坐标为 2 2 k k ， 以AB为直径的圆与2x 相切， 2 22 2(1) 2 22 kk kk ，解得2k ， 此时 123 2 | 2 2 222 AB ， 圆的半径为 3 2 4 （2）设 0 (0,)Py， 2 12102012120120 ()()()PA PBx xyyyyx xy yyyyy， 2222 20000 0 2222 4(2
33、)241122 2222 yykyyk y kkkk ， 由 22 000 2241 12 yyy ， 得 0 5 4 y ， 7 16 PA PB ， y轴上存在定点 5 (0,) 4 P，使得PA PB为定值 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 2 2 4 1 ( 3(1) 1 m x m m m y m 为参数） ，以坐 标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的
34、极坐标方程是 2 sin()1 6 （1）写出曲线C的普通方程和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值 第 18 页（共 18 页） 【解答】解： （1） ，曲线C的参数方程为 2 2 2 4 1 ( 3(1) 1 m x m m m y m 为参数） ，转换为直角坐标方程 为 22 1(3) 43 xy y 直线l的极坐标方程是2 sin()1 6 转换为直角坐标方程为310yx （2）由（1）可设C的参数方程为 2cos ( 3sin x y 为参数） ， 则可设C上任意一点坐标为(2cos , 3sin )， 则C上点到l距离为 |3sin2cos1| 13sin()1|
35、23 1 d ， 当sin()1时， 131 2 min d 所以C上的点到l距离的最小值为 131 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，c为正数，且满足8abc ，证明： （1）(4)(4)(4) 216abc； （2） 222 ()()()48abbcca 【解答】解： （1）0a ，0b ，0c ， 33 4223 223 4aaaa ， 同理 33 4223 223 4bbbb ， 33 4223 223 4cccc 3 (4)(4)(4) 27 64216abcabc，当且仅当2abc时取等号， (4)(4)(4) 216abc （2）a，b，c为正数，且满足8abc ， 2 222222 33 ()()()3 () () ()3()()()abbccaabbccaab bc ca， 222 333 3 (222)3 (8)3 643 1648abbcacabc 当且仅当abc时取等号， 222 ()()()48abbcca
