1、专题十函数中的面积问题函数中的面积问题是近年中考的常考题函数中的面积问题是近年中考的常考题,中考试题常将函数与面积结合起中考试题常将函数与面积结合起来进行考查来进行考查,由函数的交点以及相交后围成的三角形或四边形由函数的交点以及相交后围成的三角形或四边形,求围成的三角形求围成的三角形或四边形的面积或由面积求交点和函数解析式或四边形的面积或由面积求交点和函数解析式,题型难度较大题型难度较大,并且属于学生在并且属于学生在计算中的难点问题计算中的难点问题.这种考题既能考查函数本身的基础知识内容这种考题既能考查函数本身的基础知识内容,又能充分体现又能充分体现数形结合的思想方法数形结合的思想方法,考查的
2、题型广泛考查的题型广泛,考查方法灵活考查方法灵活,可以较好地将知识与能可以较好地将知识与能力融合在一起力融合在一起.函数中的面积问题归纳起来常有四类题型函数中的面积问题归纳起来常有四类题型:1:1、已知解析式或坐、已知解析式或坐标求面积标求面积;2;2、已知面积求解析式或坐标、已知面积求解析式或坐标;3;3、与面积相关的存在性问题、与面积相关的存在性问题;4;4、函数、函数中面积的最值问题中面积的最值问题.考点例析疑难突破类型一类型一已知解析式或坐标求面积已知解析式或坐标求面积已知解析式或坐标求图形面积已知解析式或坐标求图形面积,一般先根据解析式求出函数图象的交点坐一般先根据解析式求出函数图象
3、的交点坐标标,再由图形的面积公式求面积再由图形的面积公式求面积,有时所求图形是不规则图形有时所求图形是不规则图形,没有直接的面积没有直接的面积公式求解公式求解,可以利用坐标轴或者平行于坐标轴的直线将不规则图形分割成若干可以利用坐标轴或者平行于坐标轴的直线将不规则图形分割成若干个易求面积的图形个易求面积的图形,通常将图形的一边放在坐标轴上会简化求解过程通常将图形的一边放在坐标轴上会简化求解过程,常用方法常用方法有割补法有割补法,“,“铅垂高铅垂高,水平宽水平宽”面积法面积法.【例例1 1】(2020(2020张家界张家界)如图所示如图所示,过过y y轴正半轴上的任意一点轴正半轴上的任意一点P P
4、,作作x x轴的平行线轴的平行线,分别与反比例函数分别与反比例函数y y=-=-和和y y=的图象交于点的图象交于点A A和点和点B B,若点若点C C是是x x轴上任意一点轴上任意一点,连接连接ACAC,BCBC,则则ABCABC的面积为的面积为()A A.6 6B B.7 7C C.8 8D D.14146x8xB B【思路点拨思路点拨】根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知,当当C C点位于点位于O O点点时时,ABCABC的面积与的面积与ABOABO的面积相等的面积相等,由此即可求解由此即可求解.类型二类型二已知面积求解析式或坐标已知面积求
5、解析式或坐标已知面积求解析式或坐标已知面积求解析式或坐标,一般先根据面积列出方程一般先根据面积列出方程(组组)求出函数图象的求出函数图象的交点坐标交点坐标,再用待定系数法求函数解析式再用待定系数法求函数解析式,解决这类题目一定要注意观察解决这类题目一定要注意观察,限制限制条件不强时学生在解答时很容易漏解条件不强时学生在解答时很容易漏解,解题时多画几组不同位置的直线解题时多画几组不同位置的直线,可以更可以更清楚地看出符合题意的情况有几种清楚地看出符合题意的情况有几种.【例例2 2】(2020(2020甘孜州甘孜州)如图如图,在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中,一次函数一次函数y y
6、=x x+1+1的图象的图象与反比例函数与反比例函数y y=的图象交于的图象交于A A,B B两点两点,若点若点P P是第一象限内反比例函数图象上是第一象限内反比例函数图象上一点一点,且且ABPABP的面积是的面积是AOBAOB的面积的的面积的2 2倍倍,则点则点P P的横坐标为的横坐标为_._.2x31722 或【思路点拨思路点拨】分点分点P P在在ABAB下方、点下方、点P P在在ABAB上方两种情况上方两种情况,分别求解即可分别求解即可.类型三类型三与面积相关的存在性问题与面积相关的存在性问题与面积相关的存在性问题与面积相关的存在性问题,一般先设出点的坐标一般先设出点的坐标,再由面积关系
7、列出方程再由面积关系列出方程(组组)求出点的坐标求出点的坐标,然后由解的情况判定存在与否然后由解的情况判定存在与否.【例例3 3】(2019(2019通辽通辽)已知已知,如图如图,抛物线抛物线y y=axax2 2+bxbx+c c(a a0)0)的顶点为的顶点为M M(1,9),(1,9),经经过抛物线上的两点过抛物线上的两点A A(-3,-7)(-3,-7)和和B B(3,(3,m m)的直线交抛物线的对称轴于点的直线交抛物线的对称轴于点C.C.(1)(1)求抛物线的解析式和直线求抛物线的解析式和直线ABAB的解析式的解析式.(2)(2)在抛物线上在抛物线上A A、M M两点之间的部分两点
8、之间的部分(不包含不包含A A、M M两点两点),),是否存在点是否存在点D D,使得使得S SDACDAC=2=2S SDCMDCM?若存在若存在,求出点求出点D D的坐标的坐标;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由.【思路点拨思路点拨】(1)(1)由二次函数解析式为由二次函数解析式为y y=a a(x x-1)-1)2 2+9,+9,即可求解即可求解;(2)(2)过点过点D D作作y y轴的平行线轴的平行线,交交ABAB于点于点H H,设设D D(x x,-,-x x2 2+2+2x x+8),+8),H H(x x,2,2x x-1),-1),S SDACDAC=2=2S SDCMDC
9、M,则则S SDACDAC=DHDH(x xC C-x xA A)=(-)=(-x x2 2+2+2x x+8-2+8-2x x+1)(1+3)=(9-1)(1-+1)(1+3)=(9-1)(1-x x)2,2,即可求解即可求解.略略121212类型四类型四 函数中面积的最值问题函数中面积的最值问题求面积的最值问题在压轴题中比较常见求面积的最值问题在压轴题中比较常见,而且通常与二次函数相结合而且通常与二次函数相结合,一般一般先利用点的坐标转化线段长先利用点的坐标转化线段长,进而与几何图形建立联系进而与几何图形建立联系,应用相似三角形性质、应用相似三角形性质、面积比或面积公式等列出有关图形面积的
10、函数关系式面积比或面积公式等列出有关图形面积的函数关系式,求出函数求出函数(面积面积)的最值的最值.在确定函数的最值时在确定函数的最值时,需注意自变量的取值范围需注意自变量的取值范围.【例例4 4】(2020(2020白银白银)如图如图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,抛物线抛物线y y=axax2 2+bxbx-2-2交交x x轴于轴于A A,B B两点两点,交交y y轴于点轴于点C C,且且OAOA=2=2OCOC=8=8OB.OB.点点P P是第三象限内抛物线上的一动点是第三象限内抛物线上的一动点.(1)(1)求此抛物线的解析式求此抛物线的解析式;(2)(2)若若PCPCABAB,
11、求点求点P P的坐标的坐标;(3)(3)连接连接ACAC,求求PACPAC面积的最大值及此时点面积的最大值及此时点P P的坐标的坐标.【解析解析】(1)(1)抛物线抛物线y y=axax2 2+bxbx-2,-2,则则c c=-2,=-2,故故OCOC=2,=2,而而OAOA=2=2OCOC=8=8OBOB,则则OAOA=4,=4,OBOB=,=,故点故点A A,B B,C C的坐标分别为的坐标分别为(-4,0),(0,-2);(-4,0),(0,-2);则则y y=a a(x x+4)+4)=axax2 2+bxbx-2,-2,故故a a=1,=1,故抛物线的解析式为故抛物线的解析式为y y
12、=x x2 2+x x-2-2.(2)(2)抛物线的对称轴为抛物线的对称轴为x x=-,=-,当当PCPCABAB时时,点点P P,C C的纵坐标相同的纵坐标相同,根据函数的对根据函数的对称性得点称性得点P P .121(0)2，217(x)a(xx2)2272747(2)2，(3)(3)过点过点P P作作PHPHy y轴交轴交ACAC于点于点H H,由点由点A A,C C的坐标得的坐标得,直线直线ACAC的解析式为的解析式为y y=-=-x x-2,-2,则则PACPAC的面积的面积S S=S SPHAPHA+S SPHCPHC=PHPHOAOA=4 4 =-2(=-2(x x+2)+2)2 2+8,-20,8,-20,S S有最大值有最大值,当当x x=-2=-2时时,S S的最大值为的最大值为8,8,此时点此时点P P(-2,-5)(-2,-5).121212217(x2xx2)22广东3年中考真题考点过关当堂演练
