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1、第 1 页（共 21 页） 2020 年山东省高考数学模拟试卷（年山东省高考数学模拟试卷（2 月份）月份）一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 1A ，2， |1Bx ax，若BA，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为( ) A 1 1, 2 B 1 1, 2 C 1 0,1, 2 D 1 1,0, 2 2 （5 分）若1izi （其中i是虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A第一

2、象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）已知函数( )(22)| xx f xln x 的图象大致为( ) A B C D 4 （5 分）九章算术衰分中有如下问题： “今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为“今有甲持钱 560，乙持钱 350，丙持钱 180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计 100 钱，要按个人带钱多少的比例交税，问三人各应付多少税？”则下列说法中错误的是( ) A甲付的税钱最多 B乙、丙两人付的税钱超过甲 C乙应出的税钱约为 32 D丙付的税钱最少 5 （5 分）若 2 si

3、n(75) 3 ，则cos(302 )( ) A 4 9 B 4 9 C 5 9 D 5 9 第 2 页（共 21 页） 6 （5 分）甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说： “丙或丁阅读了” ；乙说： “丙阅读了” ；丙说： “甲和丁都没有阅读” ；丁说： “乙阅读了” 假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是( ) A甲 B乙 C丙 D丁 7 （5 分）若a，b，c满足23 a ， 2 log 5b ，32 c 则( ) Acab Bbca Cabc Dcba 8 （5 分）已知双曲线 22 22 1(

4、,0) xy a b ab 的左右焦点分别为 1 F、 2 F，圆 222 xyb与双曲线在第一象限内的交点为M，若 12 | 3|MFMF，则该双曲线的离心率为( ) A2 B3 C2 D3 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）如表是某电器销售公司 2018 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类

5、小家电类其它类营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比 95.80% 0.48% 3.82% 0.86% 则下列判断中正确的是( ) A该公司 2018 年度冰箱类电器销售亏损 B该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C该公司 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供 D剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低 10 （5 分）已知函数 sin , 4 ( ) cos , 4 x x f x x x ，则下列结论正确的是( ) A( )f x不是周期函数 B( )f x奇函数 C( )f x的

6、图象关于直线 4 x 对称第 3 页（共 21 页） D( )f x在 5 2 x 处取得最大值 11 （5 分）设A，B是抛物线 2 yx上的两点，O是坐标原点，下列结论成立的是( ) A若OAOB，则|2OA OB B若OAOB，直线AB过定点(1,0) C若OAOB，O到直线AB的距离不大于 1 D若直线AB过抛物线的焦点F，且 1 | 3 AF ，则| 1BF 12 （5 分）如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将ABM沿直线AM翻折成 1 AB M，连结 1 B D，N为 1 B D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是( ) A存在某个位置，使得CNAB B翻折过程中

7、，CN的长是定值 C若ABBM，则 1 AMB D D若1ABBM，当三棱锥 1 BAMD的体积最大时，三棱锥 1 BAMD的外接球的表面积是4 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知两个单位向量a，b的夹角为30，(1)cmam b，0b c ，则m 14 （5 分）已知曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线经过点( 2, 6)，则该双曲线的离心率为 15 （5 分）若一个圆柱的轴截面是面积为 4 的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为 16 （5 分）已知函数 2 2 , (

8、) , x x a f x xxa ，若1a ，则不等式( ) 2f x 的解集为；若存在实数b，使函数( )( )g xf xb有两个零点，则a的取值范围是第 4 页（共 21 页）四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在 222 3163()cSba；5 cos45bCca，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设ABC的面积为S，已知（1）求tan B的值；（2

9、）若42S ，10a ，求b的值 18 （12 分）已知：在四棱锥PABCD中，/ /ADBC， 1 2 ABBCCDAD，G是PB的中点，PAD是等边三角形，平面PAD 平面ABCD （）求证：CD 平面GAC；（）求二面角PAGC的余弦值 19 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且 * 1 2() nn Saa nN，数列 n b满足 1 6b ， * 1 4() nn n bSnN a （）求数列 n a的通项公式；（）记数列 1 n b 的前n项和为 n T，证明： 1 2 n T 20 （12 分）某销售公司在当地A、B两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂

10、一次性购进一种食品，每件 200 元，统一零售价每件 300 元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件 250 元补货，若销售有剩余食品厂以每件 150 回收现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了A，B两家超市往年同期各 50 天的该食品销售记录，得到如下数据：销售件8 9 10 11 第 5 页（共 21 页）数频数 20 40 20 20 以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记X表示这两家超市毎日共销售食品件数，n表示销售公司每日共需购进食品的件数（）求X的分布列；（）以销售食品利润的期望为决策依据，在19n 与20n 之中选其一，

11、应选用哪个？ 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，椭圆C截直线1y 所得的线段的长度为2 2 （）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C交于A，B两点，点D是椭圆C上的点，O是坐标原点，若 OAOBOD，判定四边形OADB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由 22 （12 分）已知函数 2 ( )2()f xxaxlnx aR （1）讨论( )f x的单调性；（2）若( )f x有两个极值点 1 x， 212 ()x xx，当 2 2ae e 时，求 21 ()()f xf x的最大值第 6 页（共 21

12、页） 2020 年山东省高考数学模拟试卷（年山东省高考数学模拟试卷（2 月份）月份）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 1A ，2， |1Bx ax，若BA，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为( ) A 1 1, 2 B 1 1, 2 C 1 0,1, 2 D 1 1,0, 2 【解答】解：BA， 1A ，2的子集有， 1，2， 1，2，当B时，显然有0a ；当 1

13、B 时，11aa ；当2B 时， 1 21 2 aa ；当 2B ，1，不存在a，符合题意，实数a值集合为 1，0， 1 2 ，故选：D 2 （5 分）若1izi （其中i是虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解答】解：1izi ， 11 1 1 ii zi i ，故1zi ，其对应的点是(1,1)，在第一象限，故选：A 3 （5 分）已知函数( )(22)| xx f xln x 的图象大致为( ) A B 第 7 页（共 21 页） C D 【解答】解：()(22 )| (22 )|( ) xxxx f

14、xlnxln xf x ，则( )f x是偶函数，排除D，由( )0f x 得| 0ln x 得| 1x ，即1x 或1x ，即( )f x有两个零点，排除C，当x ，( )f x ，排除A，故选：B 4 （5 分）九章算术衰分中有如下问题： “今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为“今有甲持钱 560，乙持钱 350，丙持钱 180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计 100 钱，要按个人带钱多少的比例交税，问三人各应付多少税？”则下列说法中错误的是( ) A甲付的税钱最多 B乙、丙两人付的税钱超过甲 C

15、乙应出的税钱约为 32 D丙付的税钱最少【解答】解：由题意，按比例，甲钱最多，付的税钱最多；丙钱最少，付的税钱最少；可知 A，D正确乙、丙两人共持钱350180530560，故乙、丙两人付的税钱不超过甲，可知B错误乙应出的税钱为 350 10032 560350180 可知C正确故选：B 5 （5 分）若 2 sin(75) 3 ，则cos(302 )( ) A 4 9 B 4 9 C 5 9 D 5 9 【解答】解： 2 sin(75) 3 ，则 2 5 cos(302)cos(1502)12sin(752) 9 ，故选：D 6 （5 分）甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语

16、文老师推荐的一篇文章当它们被第 8 页（共 21 页）问到谁阅读了该篇文章时，甲说： “丙或丁阅读了” ；乙说： “丙阅读了” ；丙说： “甲和丁都没有阅读” ；丁说： “乙阅读了” 假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是( ) A甲 B乙 C丙 D丁【解答】解：当读了该篇文章的学生是甲，则四位同学都错了，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是甲，当读了该篇文章的学生是乙，则丙，丁说的是对的，与题设相符，故读了该篇文章的学生是乙，当读了该篇文章的学生是丙，则甲，乙，丙说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丙，当读了该篇文章的学生是丁，则甲说的

17、是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丁，综合得：读了该篇文章的学生是乙，故选：B 7 （5 分）若a，b，c满足23 a ， 2 log 5b ，32 c 则( ) Acab Bbca Cabc Dcba 【解答】解：23 a ，可得(1,2)a， 2 log 52b ，由32 c 可得(0,1)c cab 故选：A 8 （5 分）已知双曲线 22 22 1( ,0) xy a b ab 的左右焦点分别为 1 F、 2 F，圆 222 xyb与双曲线在第一象限内的交点为M，若 12 | 3|MFMF，则该双曲线的离心率为( ) A2 B3 C2 D3 【解答】解：由双曲线的

19、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）如表是某电器销售公司 2018 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比 95.80% 0.48% 3.82% 0.86% 则下列判断中正确的是( ) A该公司 2018 年度冰箱类电器销售亏损 B该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C该公司 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供

20、D剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低【解答】解：根据表中数据知，该公司 2018 年度冰箱类电器销售净利润所占比为0.48，是亏损的，A正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B错误；该公司 2018 年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C正确；所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D 第 10 页（共 21 页）正确故选：ACD 10 （5 分）已知函数 sin , 4 ( ) cos , 4 x x f x x x

21、，则下列结论正确的是( ) A( )f x不是周期函数 B( )f x奇函数 C( )f x的图象关于直线 4 x 对称 D( )f x在 5 2 x 处取得最大值【解答】解：函数 sin , 4 ( ) cos , 4 x x f x x x 的图象如图所示：根据( )f x的图象可知AC正确，B不正确；当 5 2 x 时，( )0f x 不是最大值，故D错误故选：AC 11 （5 分）设A，B是抛物线 2 yx上的两点，O是坐标原点，下列结论成立的是( ) A若OAOB，则|2OA OB B若OAOB，直线AB过定点(1,0) C若OAOB，O到直线AB的距离不大于 1 D若直线

22、AB过抛物线的焦点F，且 1 | 3 AF ，则| 1BF 【解答】解：对于选项 1 :(A A x， 2 1) x， 2 (B x， 2 2) x，OAOB，0OA OB ， 2 1212 ()0x xx x，第 11 页（共 21 页） 1212 (1)0x xx x， 2 1 1 x x ， 222 1111 222 1111 1111 |(1)(1)1122|2 | OA OBxxxx xxxx ，当且仅当 1 1x 时等号成立，故选项A正确；对于选项B：若OAOB，显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：ykxm，联立方程 2 ykxm yx ，消去y得： 2 0xkx

23、m，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 12 xxk， 12 x xm ， 2222 121212 ()y yx xx xm， OAOB，0OA OB ， 1212 0x xy y， 2 0mm，0m或 1，易知直线AB不过原点，1m，直线AB的方程为：1ykx，恒过定点(0,1)，故选项B错误，原点O到直线AB的距离 2 1 1 d k ， 2 0k ， 2 1 1k ，1d ，故选项C正确；对于选项D：直线AB过抛物线的焦点 1 (0, ) 4 F，设直线AB的方程为： 1 4 ykx，联立方程 2 1 4 ykx xy ，消去y得： 2 1 0 4 x

24、kx，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，不妨设点A在y轴右侧， 12 xxk， 12 1 4 x x ， 1 11 | 43 AFy， 1 1 12 y ， 1 3 6 x， 2 1 1 3 4 2 x x ， 2 3 4 y， 2 1 |1 4 BFy，故选项D正确，故选：ACD 12 （5 分）如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将ABM沿直线AM翻折成 1 AB M，第 12 页（共 21 页）连结 1 B D，N为 1 B D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是( ) A存在某个位置，使得CNAB B翻折过程中，CN的长是定值 C若ABBM，

25、则 1 AMB D D若1ABBM，当三棱锥 1 BAMD的体积最大时，三棱锥 1 BAMD的外接球的表面积是4 【解答】解：对于A：如图 1，取AD中点E，连接EC交MD与F，则 1 / /NEAB， 1 / /NFMB，如果 1 CNAB，可得到ENNF，又ENCN，且三线NE，NF，NC共面共点，不可能，故A错误对于B：如图 1，可得由 1 NECMAB （定值）， 1 1 2 NEAB（定值），AMEC（定值），由余弦定理可得 222 2cosMCNEECNE ECNEC， NC是定值，故B正确对于C：如图 2，取AM中点O，连接 1 BO，DO，由题意得AM 面

26、 1 ODB，即可得ODAM，从而ADMD，由题意不成立，可得C错误对于D：当平面 1 B AM 平面AMD时，三棱锥 1 BAMD的体积最大，由题意得AD中点H就是三棱锥 1 BAMD的外接球的球心，球半径为 1，表面积是4，故D正确故选：BD 第 13 页（共 21 页）三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知两个单位向量a，b的夹角为30，(1)cmam b，0b c ，则m 42 3 【解答】解：根据题意，(1)cmam b，且0b c ，则 2 (1) (1)0b cb mam bma bm

27、b，又由a，b是单位向量且其夹角为30，则有 3 (1)0 2 m m，解可得42 3m ；故答案为：42 3 14 （5 分）已知曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线经过点( 2, 6)，则该双曲线的离心率为 2 【解答】解：曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线经过点( 2, 6)，可得 6 2 b a ，所以 22 3ba，可得2ca，所以该双曲线的离心率为：2e 故答案为：2 15（5分）若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为 8 【解答】解：如图，第 14 页（共 21 页）圆柱的轴截面是

28、面积为 4 的正方形，则正方形的边长为 2，正方形的对角线即圆柱外接球的直径为2 2，半径为2 该圆柱的外接球的表面积为 2 4( 2)8 故答案为：8 16 （5 分）已知函数 2 2 , ( ) , x x a f x xxa ，若1a ，则不等式( ) 2f x 的解集为 (，2 ；若存在实数b，使函数( )( )g xf xb有两个零点，则a的取值范围是【解答】解：当1a 时， 2 2 ,1 ( ) ,1 x x f x xx ，则令( ) 2f x ，即有22 x 或 2 2x ，解得1x 或12x ，故( ) 2f x 的解集为(，2；由函数( )( )g xf xb只

29、有一个零点时， 2 2xx时，2x 或4x ，当2a 时， 2 2 ,2 ( ) ,2 x x f x xx ，此时( )( )g xf xb只有一个零点；当2a 时，( )g x有 2 个零点；同理当4a 时， 2 2 ,4 ( ) ,4 x x f x xx ，( )( )g xf xb只有一个零点；当4a 时，有 2 个零点，故可得a的取值范围是(，2)(4，)，故答案为：(，2；(，2)(4，) 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 第 15 页（共 21

30、页） 17 （10 分）在 222 3163()cSba；5 cos45bCca，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设ABC的面积为S，已知（1）求tan B的值；（2）若42S ，10a ，求b的值【解答】解：选 222 3163()cSba，（1） 222 3163()cSba， 222 3()16cabs即 1 32cos16sin 2 acBacB，所以3cos4sinBB即 3 tan 4 B ；（2）由（1）可得 3 sin 5 B ， 4 cos 5 B ， 113 sin10342

31、225 SacBcc，即14c ，由余弦定理可得， 2 4100196 52 10 14 b ，整理可得，6 2b 故答案为： 18 （12 分）已知：在四棱锥PABCD中，/ /ADBC， 1 2 ABBCCDAD，G是PB的中点，PAD是等边三角形，平面PAD 平面ABCD （）求证：CD 平面GAC；（）求二面角PAGC的余弦值【解答】（）证明：取AD的中点为O，连结OP，OC，OB，设OB交AC于H，连结GH 第 16 页（共 21 页） / /ADBC， 1 2 ABBCCDAD，四边形ABCO与四边形OBCD均为菱形 OBAC，/ /OBCD，则CDAC， PAD为

32、等边三角形，O为AD的中点， POAD，平面PAD 平面ABCD且平面PAD平面ABCDAD PO 平面PAD且POAD， PO平面ABCD， CD 平面ABCD， POCD， H，G分别为OB，PB的中点，/ /GHPO， GHCD 又GHACH，AC，GH 平面GAC， CD平面GAC；（）解：取BC的中点为E，以O为空间坐标原点，分别以OE，OD，OP的方向为x轴、 y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz 设4AD ，则(0P，0，2 3)，(0A，2，0)，( 3C，1，0)，(0D，2，0)， 3 ( 2 G， 1 2 ，3) (0AP ，2，2 3)，

33、 3 ( 2 AG ， 3 2 ，3) 设平面PAG的一法向量(nx，y，) z 由 0 0 n AP n AG ，得 22 30 33 30 22 yz xyz ，即 3yz xz 令1z ，则(1n ，3，1) 由（）可知，平面AGC的一个法向量(3,1,0)CD 二面角PAGC的平面角的余弦值 |2 315 cos 5| |2 5 n CD nCD 第 17 页（共 21 页） 19 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且 * 1 2() nn Saa nN，数列 n b满足 1 6b ， * 1 4() nn n bSnN a （）求数列 n a的通项公式；（）记数列

34、1 n b 的前n项和为 n T，证明： 1 2 n T 【解答】解：（）当2n时， 1 111 2 2 nn nn Saa Saa ， 1 2(2) nn aan 11 1 1 4ba a ， 1 1a 数列 n a是首项为 1，公差为 2 的等差数列， 1 2n n a （），由（）可得21 n n S 1 * 11 11(21)(21) 423() 22 nn n nn nn n bSnN a 1 11 1211 (21)(21)2121 n nnnn n b 数列 1 n b 的前n项和为 01121 111111111 2121212121212212 n nnn T 20 （1

35、2 分）某销售公司在当地A、B两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件 200 元，统一零售价每件 300 元，两家超市之间调配食品不计费用，第 18 页（共 21 页）若进货不足食品厂以每件 250 元补货，若销售有剩余食品厂以每件 150 回收现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了A，B两家超市往年同期各 50 天的该食品销售记录，得到如下数据：销售件数 8 9 10 11 频数 20 40 20 20 以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记X表示这两家超市毎日共销售食品件数，n表示销售公司每日共需购进食品的件数（）求X的分

36、布列；（）以销售食品利润的期望为决策依据，在19n 与20n 之中选其一，应选用哪个？【解答】解：（）由已知一家超市销售食品件数 8，9，10，11 的概率分别为 1 2 1 1 , 5 5 5 5 ， X取值为 16，17，18，19，20，21， 111 (16) 5525 P X ， 124 (17)2 5525 P X ， 22116 (18)2 555525 P X ， 12116 (19)22 555525 P X ， 11215 (20)2 555525 P X ， 112 (21)2 5525 P X ， 111 (22) 5525 P X ， X的分布列为： X 16

37、17 18 19 20 21 22 P 1 25 4 25 6 25 6 25 5 25 2 25 1 25 （）当19n 时，记 1 Y为A，B销售该食品利润，则 1 Y的分布列为： 1 Y 1450 1600 1750 1900 1950 2000 2050 第 19 页（共 21 页） P 1 25 4 25 6 25 6 25 5 25 2 25 1 25 1 1466521 ( )14501600175019001950200020501822 25252525252525 E Y，当20n 时，记 2 Y为A，B销售该食品利润，则 2 Y的分布列为： 2 Y 1400 1550

38、1700 1850 2000 2050 2100 P 1 25 4 25 6 25 6 25 5 25 2 25 1 25 2 1466521 ()14001550170018502000205021001804 25252525252525 E Y ， 12 ( )()E YE Y，故应选19n 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，椭圆C截直线1y 所得的线段的长度为2 2 （）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C交于A，B两点，点D是椭圆C上的点，O是坐标原点，若 OAOBOD，判定四边形OADB的面积是否为定值？若为定值，求出

39、定值；如果不是，请说明理由【解答】解：（）由 2 2 c a ， 22 21 1 ab ， 222 abc解得2a ，2bc 得椭圆C的方程为 22 1 42 xy （）当直线l的斜率不存在时，直线AB的方程为1x 或1x ，此时四边形OADB的面积为6 当直线l的斜率存在时，设直线l方程是ykxm，联立椭圆方程 22 24 ykxm xy 消y可得 222 (21)4240kxkmxm 22222 (4)4(21)(24)8(42)0kmkmkm，则 22 42mk，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 12 2 4 12 km xx k ， 2 12 2 2

40、4 12 m x x k 第 20 页（共 21 页） 1212 2 2 ()2 12 m yyk xxm k 22 2 2 2 2 42 |1 12 km ABk k 点O到直线AB的距离 2 | 1 m d k 由OAOBOD，得 2 4 12 D km x k ， 2 2 12 D m y k 因为点D在曲线C上，所以有 22 22 42 ()2()4 1212 kmm kk 整理得 22 122km 由题意四边形OADB为平行四边形，所以四边形OADB的面积为 22 222 22 2 2 22 2 42 142 1212 1 OAPB mmkm SAB dkkm kk k 平行四边形

41、由 22 122km得6 OADB S，故四边形OADB的面积是定值，其定值为6 22 （12 分）已知函数 2 ( )2()f xxaxlnx aR （1）讨论( )f x的单调性；（2）若( )f x有两个极值点 1 x， 212 ()x xx，当 2 2ae e 时，求 21 ()()f xf x的最大值【解答】解：（1） 2 ( )2f xxaxlnx，0x ， 2 222 ( )2 xax fxxa xx ， 11 22xx xx ，当且仅当1x 时取等号， 4a 时，( ) 0fx恒成立，故( )f x在(0,)上单调递增，当4a 时，此时 2 160a，令( )0fx，解

42、得 2 1 16 4 aa x ， 2 2 16 4 aa x ，当 1 0xx 或 2 xx时，( )0fx，函数( )f x单调递增，当 12 xxx时，( )0fx，函数( )f x单调递减，综上所述：当4a时，( )f x在(0,)上单调递增，当4a 时，( )f x在 2 16 (0,) 4 aa ， 2 16 ( 4 aa ，)上单调递增，在 2 16 ( 4 aa ，第 21 页（共 21 页） 2 16 ) 4 aa 上单调递减；（2）由（1）可得 2 220xax的两个根为 1 x， 2 x， 12 2 a xx， 12 1x x ， 2 2 1 2 a x x

43、， 2 2ae e ， 2 2 11 xe xe ， 2 xe，其中 12 01xx ， 2222222222 2122211122112121212122222 2 111222 111 ()( )222()()()2()22()()2 2 xxxa f xf xxaxlnxxaxlnxxaxxaxlnxxxxa xxlnxxlnlnxxxlnxx xxxxxx ，令 2 2 xx，x e， 1 ( )2h xlnxx x ，x e， 22 222 2121(1) ( )10 xxx h x xxxx 恒成立， ( )h x在e，)上单调递减， ( )maxh xh（e） 11 22lneee ee 故 21 ()()f xf x的最大值为 1 2e e

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