1、图解法分析动力学临界问题图解法分析动力学临界问题 动力学临界问题的产生机制和常规解决方法，笔者已经在动力学临界问题的类型与解题技巧里进 行了详细的举例和分析，这次要介绍的是该文所述三种方法之外的更加直观和迅速的图解法，其精髓是根 据力的多边形定则将物体受力按顺序首尾相接形成力的多边形，然后根据物体间保持相对静止时力允许的 变化范围，确定加速度或者其他条件的允许范围。具体如下： 一、弹力类临界问题一、弹力类临界问题 1、轻绳类临界问题、轻绳类临界问题 轻绳有两类临界问题绷紧和绷断，绷紧要求 FT0，不绷断要求 FTFTm。合起来即 0FTFTm。 【例 1】如图所示，绳 AC、BC 一端拴在竖直
2、杆上，另一端拴着一个质量为 m 的小 球，其中 AC 杆长度为 l.当竖直杆以某一角速度转动时，绳 AC、BC 均处于绷直状态， 此时 AC 绳与竖直方向夹角为 30，BC 绳与竖直方向夹角为 45。试求的取值范围。 已知重力加速度为 g. 【解析】若两绳中均有张力，则小球受力如图所示，将 FT1、FT2合成为一个力 F合， 由平行四边形定则易知 F合方向只能在 CA 和 CB 之间，将 mg、F合按顺序首尾相接，与 二者的合力 ma 形成如图所示三角形，其中 mg 不变，ma 方向水 平指向圆心，则由 F合的方向允许的范围，即可由图轻松求出 ma 允许的范围： 45tan30tanmgmam
3、g 其中 30sin 2l a，代入上式，得： l g l g2 3 32 【例 2】如图所示，物体的质量为 2 kg，两根轻绳 AB 和 AC 的一端连接于竖直 墙上，另一端系于物体上，AC 水平，AB 与水平方向成60角，在物体上另施加 一个方向与水平方向也成60角的拉力 F，若要使两绳都能伸直，求拉力 F 的大 小范围.（重力加速度 g 取 10m/s2） 【解析】小球受力如左图所示，由平行四边形定则易知，绳中张力 FT1、FT2的 合力方向只可能在两绳所夹范围内；则由平衡条件可知，重力 mg 与拉力 F 的合力 方向也就只能在两绳反向延长线所夹范围内。 在重力mg与拉力F和它们的合力F
4、 合的平行四边形中，mg 大小确定，F 的 方向确定，则易由图得知， F 最大时，合力 F合沿 CA 延长线方 向，则有： max 40 3 N sin3 mg F ； F 最小时，合力 F合沿 BA 延长线方 向，则有： min 20 3 N 2sin3 mg F 。 2、支持力类临界问题、支持力类临界问题 两物体挤压在一起（接触）的条件是两者之间的弹力 FN0。 【例 3】如图所示，用一根长为 l1 m 的细线，一端系一质量为 m1 kg 的小球 (可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角37，当小 mg F合 ma mg FT1 FT2 mg FT1 FT2 mg
5、FT1 FT2 mg FT1 FT2 F F合 球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为时，细线的张力为 FT。(g 取 10 m/s2，结果可用根式 表示)若要小球离开锥面，则小球的角速度0至少为多大？ 【解析】小球受力如图所示，将三个力按顺序首尾相接，与三 者的合力 ma 形成如图所示四边形，其中 mg 不变，FT和 FN的方向 不变，ma 方向水平指向圆心。随着角速度增加，sin 2l a 增加， 由图易知 FN最小只能为 0，不能反向。当 FN=0 时，由图易得： mgtan ma=m02lsin 解得：02 g lcos ，即 0 g lcos 5 2 2 rad/s。 【例
6、4】如右图所示，在倾角为的光滑斜面上端固定一劲度系数为 k 的轻质弹簧，弹簧下端连有一质量为 m 的小球，小球被一垂直于斜面的挡 板 A 挡住，此时弹簧没有形变，若手持挡板 A 以加速度 a(agsin)沿斜面匀 加速下滑，求：从挡板开始运动到小球与挡板分离所经历的时间。 【解析】小球受力如图所示，将这四个力按顺序首尾相接，与四者的 合力形成如图所示三角形，其中 mg、FN1、ma 不变，F=kx 和 FN的方向不变，两者之和不变。随着挡板向下运动， F=kx 逐渐增大，则 FN逐渐减小，当 FN=0 时，小球与挡 板分离，有： mamgkxFsin 即小球做匀加速运动发生的位移为 xm(gs
7、ina) k 时 小球与挡板分离。 由运动学公式 x1 2at 2得从挡板开始运动到小球与挡板分离所经历的时间为 t 2m(gsina) ka 二、摩擦力类临界问题二、摩擦力类临界问题 1、滑动摩擦力类临界问题、滑动摩擦力类临界问题 这类问题中，可将弹力和滑动摩擦力合成为一个力，这个力的方向是确定的。 【例 5】水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为(01)。现对木箱施加一拉力 F，使 木箱做匀速直线运动。设 F 的方向与水平地面的夹角为，如图所示，在从 0 逐渐增大到 90的过程中，木箱的速度保持不变，则 AF 先减小后增大BF 一直增大 CF 一直减小DF 先增大后减小 【解析】木
8、箱受力如图，将支持力 FN和滑动摩擦力 Ff 合成为一个力 F合，由 Nf FF可知，tan。 由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如 右图所示闭合三角形，其中重力 mg 保持不变，F合的方向始 终与竖直方向成角。 则由右图可知，当从 0 逐渐增大到 90的过程中，F 先减小后增大。 【例 6】如图所示，在倾角为的固定粗糙斜面上，一个质量为 m 的物体在拉力 F 的作用下沿斜面向 上做匀加速直线运动，已知物体与斜面间的动摩擦因数为，为使物体加速度大小为 a，试求力 F 的最小值 及其对应的方向。 mg FT FN mg FN FT ma mg F FN1 FN ma mg F FN1
9、 FN F F合 mg FN F mg Ff F合 F a mg F F合 ma FN mg Ff F合 F mg F F合 ma + 【解析】 物体受力如图， 将支持力 FN和滑动摩擦力 Ff合成为一个力 F合， 由 Nf FF可知，tan。 将三个力按顺序首尾相接，与三者的合力形成如图所示四边形，其中 mg、ma 不变，F合的方向不变。 当 F 取不同方向时，F 的大小也不同，当 F 与 F合垂直时，F 取最小值。 由几何关系，得：cos)sin( min mamgF，解得： 2 min 1 )sincos( mamg F 2、静摩擦力类临界问题、静摩擦力类临界问题 静摩擦力允许在一定范围
10、内变化：-FfmFfFfm， Nf FF 0m ，将弹力和静摩擦力合成为一个力，这 个力的方向也就允许在一定范围内变化。 【例 7】如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角 速度转动，盘面上离转轴距离 2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。 物体与盘面间的动摩擦因数为 3 2 (设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)， 盘面与水平 面的夹角为 30，g 取 10 m/s2。则的最大值是 A 5 rad/sB 3 rad/sC1.0 rad/sD5 rad/s 【解析】垂直圆盘向下看，物体受力如图所示，静摩擦力 Ff和重力沿圆盘向下的分力 mgsin30的合 力即向心力 ma
11、。将这两个力按顺序首尾相接，与它们的合力 ma 形成闭合三角形， 其中 mgsin30保持不变、 ma 大小不变， 静摩擦力 30cos f mgF。 由图易知，当小物体转到最低点时，静摩擦最大，为 30cos30sin 2 fm mgrmmgF，解得 rad/s0 . 1。故选 C。 【例 8】如图所示，在倾角为的固定粗糙斜面上，一个质量为 m 的物体被水 平力 F 推着静止于斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为，且tan ，求力 F 的取值范围。 【解析】物体受力如图所示，将静摩擦力 Ff和弹 力 FN合成为一个力 F合，则 F合的方向允许在 FN两侧 最大偏角为的范围内，其中tan。将这三
12、个力 按顺序首尾相接，形成如图所示三角形，图中虚线即为 F合的方向允许的变化范围。 由图可知：)tan()tan(mgFmg 即：mgFmg sincos cossin sincos cossin 【例 9】如图所示，半径为 R 的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴 旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心 O 的对称轴 OO重合转台 以一定角速度匀速旋转，一质量为 m 的小物块落入陶罐内，经过一段 时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和 O 点的连线与 OO之间的夹角为45重力加速度大小为 g，小物块与罐壁的摩擦 因数为，且cot （1）若=0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求0； （2）
13、试求保持物块与陶罐相对静止时，角速度允许的范围 【解析】物块受力如图所示，将静摩擦力 Ff和弹力 FN合成为一个力 F合，则 F合的方向允许在 FN两 侧最大偏角为的范围内， 其中tan。 将这两个力按顺序 首尾相接，与它们的合力 ma 形成闭合三角形，图中虚线即为 F合的方向允许的变化范围，其中红线代表摩擦力为零的情况。 （1）由图易知：tansin 2 0 mgRmma FN mg Ff FN mg Ff F合 F F F合 mg mgsin30 Ff ma mgsin30 Ff ma F合 mg Ff FN F合 mg ma 解得： 0= cosR g 。 （2）由图易知：)tan(sin)tan( 2 mgRmmg 解得： )sin(cossin )cos(sin )sin(cossin )cos(sin R g R g 。
