1、灰色系统理论灰色系统理论（GM和关联度分析）和关联度分析）1.本节内容（1）灰色系统理论的产生和发展动态；（2）灰色系统的基本概念；（3）灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别；（4）灰色系统GM（1，1）模型，灰色系统模型的检验，应用举例(G表示gray（灰色），M表示model（模型），GM（1，1）表示1阶的、1个变量的模型)。1.1 灰色系统理论的产生和发展 动态 1982我国学者邓聚龙教授发表第一篇中文论文灰色控制系统标志着灰色系统这一学科诞生。1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究迅速发展。1989海洋出版社出版英文版灰色系统论文集，同年，英文版国际刊物灰色系统杂志正式创刊。目前
2、，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系统理论应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。1.2灰色系统的基本原理 1.2.1灰色系统的基本概念我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统灰色系统。系统信息不完全的情况有以下四种：（1）元素信息不完全。（2）结构信息不完全。（3）边界信息不完全。（4）运行行为信息不完全。1.2.2灰色系统
3、与模糊数学、黑箱方法的区别 区别主要在于对系统内涵与外延处理态度不同；研究对象内涵与外延的性质不同。研究对象内涵与外延的性质不同。灰色系统着重外延明确、内涵不明确的对象，模糊数学着重外延不明确、内涵明确的对象。“黑箱”方法着重系统外部行为数据的处理方法，是扬外延而弃内涵的处理方法，而灰色系是扬外延而弃内涵的处理方法，而灰色系统方法是外延内涵均注重的方法。统方法是外延内涵均注重的方法。1.2.3灰色系统的基本原理 公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息
4、”。公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。1.2.4灰色系统理论的主要内容 灰色系统理论经过10多年的发展，已基本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以灰色关联空间为依托的分析体系、以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（G，M）为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。1.2.5灰色系统的应用范畴 灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面：（1）灰色关联分析。（2）灰色预测：人口预测；初霜预测；灾变预测.等等
5、。（3）灰色决策。（4）灰色预测控制。1.3 灰色关联分析法灰色关联分析法 灰色关联分析是灰色系统理论的一个分支应用灰色关联分析方法对受多种因应用灰色关联分析方法对受多种因素影响的事物和现象从整体观念出发进素影响的事物和现象从整体观念出发进行综合评价是一个被广为接受的方法行综合评价是一个被广为接受的方法 1.3.11.3.1灰色关联分析法的建模过灰色关联分析法的建模过程和机理为程和机理为 利用灰色关联分析进行综合评价的步骤是：1根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据。设n个数据序列形成如下矩阵：mxmxmxxxxxxxXXXnnnn21212121222111,其中 为指标的个数，m ni
6、mxxxXTiiii,2,1,2,12确定参考数据列 参考数据列应该是一个理想的比较标准，可以以各指标的最优值（或最劣值）构成参考数据列，也可根据评价目的选择其它参照值记作 mxxxX0000,2,)1(3对指标数据进行无量纲化 无量纲化后的数据序列形成如下矩阵：mxmxmxxxxxxxXXXnnnn10101010222111,常用的无量纲化方法有均值化法（见（123）式）、初值化法（见（124）式）和 变换等sxx .,2,1,1,0)412(1)312(11mknixkxkxkxmkxkxiiimkiii；或采用内插法使各指标数据取值范围（或数量级）相同例如，某地县级医院病床使用率最高为
7、90%，最低为60%，我们可以将90%转化10，60%转化为1，其它可以通过内插法确定其转化值如80%转化为多少？可进行如下计算：解之得，即80%转化为7608060901110 x4逐个计算每个被评价对象指标序列（比较序列）与参考序列对应元素的绝对差值 即 （,为被评价对象的个数）5确定 与)()(0kxkximk,1ni,1n)()(minmin011kxkximkni)()(maxmax011kxkximkni6计算关联系数 由（125）式，分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数0000minmin()()maxmax()()()125)()()maxmax()()iiikik
8、iiiikxkx kx kx kkx kx kx kx k（mk,10.5式中 为分辨系数，在（0，1）内取值，若 越小，关联系数间差异越大，区分能力越强。通常 取当用各指标的最优值（或最劣值），构成参考数据列计算关联系数时，也可用改进的更为简便的计算方法：改进后的方法不仅可以省略第三步，使计算简便，而且避免了无量纲化对指标作用的某些负面影响)()(max)()()()(max)()(min)(0000kxkxkxkxkxkxkxkxkiiiiiiiimk,17计算关联序 对各评价对象（比较序列）分别计算其个指标与参考序列对应元素的关联系数的均值，以反映各评价对象与参考序列的关联关系，并称其为
9、关联序，记为：00()()()()x kkx kkii如果为最优值数据列，越大，越好；如果为最劣值数据列，越大，越不好。011()miikrkm8如果各指标在综合评价中所起的作用不同，可对关联系数求加权平均值即 9依据各观察对象的关联序，得出综合评价结果011(),mikikkrWkmmW （k=1,）式中为各指标权重。2.2.灰色关联分析的应用举例灰色关联分析的应用举例 例1：利用灰色关联分析对6位教师工作状况进行综合评价1评价指标包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤2对原始数据经处理后得到以下数值，见下表 编号编号专业专业外语外语教学教学量量科研科研论文论文著作
10、著作出勤出勤1898752927875738397966474688843658669838689576483确定参考数据列：4计算 ，见下表0 9,9,9,9,8,9,9x)()(0kxkxi编号编号专业专业外语外语教学教学量量科研科研论文论文著作著作出勤出勤1101237022124161302032524311146351330061610422515求最值6依据（125）式，取计算，得 011minmin()()min(0,1,0,1,0,0)0nmiikx kx k011maxmax()()max(7,6,5,6,6,5)7nmiikx kx k111111100.5 700.5 7
11、(1)0.778(2)1.0001 0.5 700.5 7(3)0.778(4)0.636(5)0.467(6)0.333(7)，1.000，0.5同理得出其它各值，见下表编号10.7781.0000.7780.6360.4670.3331.00020.636 0.778 0.636 0.467 0.636 0.368 0.778 31.000 0.636 1.000 0.538 0.538 0.412 0.636 40.538 0.778 0.778 0.778 0.412 0.368 0.538 50.778 0.538 0.538 1.000 0.778 0.368 0.778 60.7
12、78 1.000 0.467 0.636 0.538 0.412 0.778(1)i(2)i(3)i(4)i(5)i(6)i(7)i7分别计算每个人各指标关联系数的均值（关联序）：8如果不考虑各指标权重（认为各指标同等重要），六个被评价对象由好到劣依次为1号，5号，3号，6号，2号，4号即 713.07000.1333.0467.0636.0778.0000.1778.001r02030405060.6140.6800.5990.6830.658rrrrr，010503060204rrrrrr灰色系统建模 1 灰色系统理论概述2 灰色GM(1.1)模型3 序列光滑度的理论分析4 灰色GM(1.
13、1)优化模型分析 5 灰色模型的应用1 1 灰色系统概述灰色系统概述1.1 灰色系统理论的产生及发展动态 1.2 灰色系统的研究内容1.3 灰色系统理论在建模中的应用 1.1 灰色系统理论的产生及发展灰色系统理论的产生及发展动态动态定义定义1.11.1 系统是客观世界普遍存在的一种物质运动形式系统是客观世界普遍存在的一种物质运动形式,它和它和运动性一样运动性一样,是物质存在的一种根本属性是物质存在的一种根本属性.定义定义1.21.2 灰色系统是指灰色系统是指“部分信息已知部分信息已知,部分信息未知部分信息未知”的的“小样本小样本”,“,“贫信息贫信息”的不确定性系统的不确定性系统,它通过对它通
14、过对“部分部分”已已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述行为和演化规律的正确把握和描述.灰色系统模型的灰色系统模型的特点：特点：对试验观测数据及其分布没有特殊的要对试验观测数据及其分布没有特殊的要求和限制，是一种十分简便的新理论，具有十分宽广的应用领求和限制，是一种十分简便的新理论，具有十分宽广的应用领域。域。灰色系统理论，是在一般系统理论的基础上产生的，灰色系统理论，是在一般系统理论的基础上产生的，它是系统科学思想发展的必然产物，是社会经济深它是系统科学思想发展的必然产物，是社会经济深入发展
15、对科学刺激和需要的产物。当我们认识与研入发展对科学刺激和需要的产物。当我们认识与研究自然和社会时，要从系统的角度出发，从宏观上究自然和社会时，要从系统的角度出发，从宏观上对其进行深入的剖析和整体把握。在实际中，我们对其进行深入的剖析和整体把握。在实际中，我们首先要对事物进行系统性认识，进而对已有的系统首先要对事物进行系统性认识，进而对已有的系统进行有效控制以及设计一些最优系统来为人民服务。进行有效控制以及设计一些最优系统来为人民服务。对系统进行控制就要通过系统内部和外部的信息和对系统进行控制就要通过系统内部和外部的信息和信息流来加以实施，通过对信息的控制进而达到对信息流来加以实施，通过对信息的
16、控制进而达到对系统本身的控制。系统本身的控制。但是无论是现代控制理论还是经典控制理论，但是无论是现代控制理论还是经典控制理论，它们都要依赖正确而精确的数学模型，否则，它们都要依赖正确而精确的数学模型，否则，一切都很难取得满意的结果。然而，在现实生一切都很难取得满意的结果。然而，在现实生活中，有许多情况不大可能求得精确的数学模活中，有许多情况不大可能求得精确的数学模型，如工业系统、生物系统、经济系统、社会型，如工业系统、生物系统、经济系统、社会系统等。若得不出精确的数学模型，现代控制系统等。若得不出精确的数学模型，现代控制理论的方法和手段就无法施行，因而，现代控理论的方法和手段就无法施行，因而，
17、现代控制理论对一些研究对象也鞭长莫及。制理论对一些研究对象也鞭长莫及。当人们对这些问题进行潜心研究时，当人们对这些问题进行潜心研究时，查查德德于于19651965年首创年首创模糊理论模糊理论，第一次用精确的数，第一次用精确的数学方式来分析和研究模糊量，取得了新的突破，学方式来分析和研究模糊量，取得了新的突破，随后，模糊集合论迅速应用于控制领域，随后，模糊集合论迅速应用于控制领域，收到了良好的效果。模糊控制能够对一些无法构造收到了良好的效果。模糊控制能够对一些无法构造数学模型的系统进行控制，但模糊控制也表现出固数学模型的系统进行控制，但模糊控制也表现出固有的弱点，即信息利用率低，控制粗糙、精度低
18、等有的弱点，即信息利用率低，控制粗糙、精度低等。因而，在要求高精度的情况下，这种控制难以胜。因而，在要求高精度的情况下，这种控制难以胜任，并且它也未能对被控对象的运动规律作深刻的任，并且它也未能对被控对象的运动规律作深刻的阐明，故模糊控制有它的局限性，只适应于一些特阐明，故模糊控制有它的局限性，只适应于一些特有的模糊系统有的模糊系统。经典控制理论经典控制理论、现代控制理论和模糊控制理论、现代控制理论和模糊控制理论都有一个共同点，那就是它们所研究的对象系统必都有一个共同点，那就是它们所研究的对象系统必须是须是白色系统白色系统（信息完全确知的系统），而事实上（信息完全确知的系统），而事实上，无论是
19、自然系统还是社会系统，宏观系统还是微，无论是自然系统还是社会系统，宏观系统还是微观系统，无生命系统还是有生命系统，对我们认识观系统，无生命系统还是有生命系统，对我们认识的主体来说，总是信息的主体来说，总是信息不完全的，艰难说明一个系统的内部参数是完不完全的，艰难说明一个系统的内部参数是完全的。毫无疑问，内部参数不完全的系统具有全的。毫无疑问，内部参数不完全的系统具有极为普遍的意义。就像模糊理论的诞生一样，极为普遍的意义。就像模糊理论的诞生一样，灰色系统理论也应运而生了。灰色系统理论也应运而生了。灰色系统理论是我国学者灰色系统理论是我国学者邓聚龙教授于邓聚龙教授于1919世纪世纪8080年代年代
20、初创立并发展的理论，它把一般系初创立并发展的理论，它把一般系统论，信息论和控制论的观点和方法延伸到社统论，信息论和控制论的观点和方法延伸到社会，经济，生态等抽象系统，结合运用数学方会，经济，生态等抽象系统，结合运用数学方法发展的一套解决灰色系统的理论和方法，法发展的一套解决灰色系统的理论和方法，2020多年来，灰色系统理论引起了国内外学者的广多年来，灰色系统理论引起了国内外学者的广泛关注。灰色系统理论已成功应用到工业，农泛关注。灰色系统理论已成功应用到工业，农业，社会，经济等众多领域，解决了生产，生业，社会，经济等众多领域，解决了生产，生活和科学研究中的大量实际问题。活和科学研究中的大量实际问
21、题。1.2 灰色系统理论研究的内灰色系统理论研究的内容容 灰色系统理论经过20年的发展，已基本建立起一门新兴的结构体系，其研究内容主要包括：灰色系统建模理论、灰色系统控制理论、灰色关联分析方法、灰色预测方法、灰色规划方法、灰色决策方法等。今天我们主要介绍灰色系统建模理论及灰色数列预测。灰色数列预测是指利用动态GM模型，对系统的时间序列进行数量大小的预测，即对系统的主行为特征量或某项指标，发展变化到未来特定时刻出现的数值进行预测。1.3 灰色系统理论在建模中的灰色系统理论在建模中的应用应用 灰色系统理论在建模中被广泛用来处理数据。与插值拟合相比，利用灰色模型处理数据不仅对数据没有很强的限制，而且
22、精度更高，计算更简便。2 2 灰色灰色GM(1.1)模型模型2.1 灰色生成 2.2 GM（1.1）模型建模机理2.3 GM(1.1)模型的精度检验 2.1 灰色生成 将原始数据列中的数据,按某种要求作数据处理称为生成.客观世界尽管复杂,表述其行为的数据可能是杂乱无章的,然而它必然是有序的,都存在着某种内在规律,不过这些规律被纷繁复杂的现象所掩盖,人们很难直接从原始数据中找到某种内在的规律.对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去发现内在规律.常用的灰色系统生成方式有:累加生成,累减生成,均值生成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍.2.1.1 累加生成 累加生成：即通过数列间各时刻数
23、据的依个累加以得到新的数据与数列。累加前的数列称原始数列，累加后的数列称为生成数列。累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法，它在灰色系统理论中占有极其重要地位，通过累加生成可以看出灰量积累过程的发展态势，使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化。累加生成是对原始数据列中各时刻的数据依次累加，从而生成新的序列的一种手段。(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)(1),(2),(),(1),(2),(),:xxxxxnxxxxxnxx 令令为为原原始始序序列列,记记生生成成数数为为如如果果与与之之间间满满足足如如下下关关系系(1)(0)1()();1,2,(2
24、1)kixkxikn ,1()AGO AccumulatingGenerationOperator 一一次次累累加加生生成成则则称称为为记记为为:r次次累累加加生生成成有有下下述述关关系系()(1)1()()(22)krrixkxi (22),1:rr从从式式 又又有有次次到到 次次的的累累加加为为1()(1)(1)(1)(1)1()()()(1)()krrrrrixkxixkxkxk ()(1)(2)111()()()kkirrriijxkxixj 累累加加生生成成在在灰灰色色系系统统理理论论中中有有着着非非常常重重要要的的地地位位,它它能能使使任任意意非非负负数数列列,摆摆动动的的或或非非
25、摆摆动动的的,转转化化为为非非减减的的的的,递递增增的的数数列列.2.1.2 累减生成 累减生成，即对数列求相邻两数据的差，累减生成是累加生成的逆运算，常简记为IAGO(Inverse Accumulated Generating Operation),累减生成可将累加生成还原为非生成数列，在建模过程中用来获得增量信息,其运算符号为.()()(),:rrixrxi 令令为为 次次生生成成数数列列 对对作作 次次累累减减生生成成记记为为其其基基本本关关系系式式为为(0)()()(1)()(0)()(0)()(2)()(1)()(1)()()()(1)()(1)()()()()()(1)()()(
26、1)(25)()()(1)rrrrrrrriririrxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxk (0)(1)(),(0)0,;(0)1(0)11.ikkikki 式式中中为为 次次累累减减 即即无无累累减减为为1 1次次累累减减,即即与与 时时刻刻两两个个零零次次累累减减量量求求差差,为为 次次累累减减,即即与与 时时刻刻两两个个次次累累减减量量求求差差(25):从从式式还还可可得得到到以以下下关关系系(1)()(0)()(0)()()()1(1)(1)11(1)()()(1)()(1)(26)()()()rrrrrkkrriirxkxkxkxkxkxixixk (2)()(1)()(1)
27、()(1)(1)1(2)(2)11(2)()()(1)()(1)(27)()()()rrrrrkkrriirxkxkxkxkxkxixixk :同同理理可可得得()()()()()(28)irr ixkxk()()(0)()()(29)rrxkxk(29),.,.:1,rrr 从从式式可可以以看看出出 对对 次次生生成成数数列列作作 次次累累减减即即还还原原为为非非生生成成数数列列事事实实上上 累累加加中中包包含含着着累累减减 累累减减中中包包含含着着累累加加比比如如时时 有有1(1)(0)(0)(0)11(1)(0)()()()()(1)()(210)kkiixkxixixkxkxk(0)(
28、1)(1)()()(1)xkxkxk进进一一步步有有(1)()()()()(1)(211)rrrxkxkxk.上上述述关关系系式式经经常常被被用用在在从从生生成成数数列列求求还还原原数数列列中中2.1.3 均值生成.均均值值生生成成分分为为邻邻均均值值生生成成与与非非邻邻均均值值生生成成两两种种,(1),(2),(),(),()0.5()0.5(1),()Xxxx nkz kz kx kx kz k 所所谓谓就就是是对对于于等等时时距距的的数数列列,用用相相邻邻数数据据的的平平均均值值构构造造新新的的数数据据.即即若若有有原原始始数数列列记记 点点的的生生成成值值为为且且则则称称为为邻邻均均值
29、值生生成成数数,显显然然,这这种种生生成成是是相相邻邻值值的的等等邻邻均均值值生生成成权权生生成成.,(1),(2),(),(1),(),(),(),()0.5(1)0.5(1),()Xxxkx kx nkkz kz kx kx kz k 所所谓谓就就是是对对于于非非等等时时距距的的数数列列,或或虽虽为为等等时时距距数数列列,但但剔剔除除异异常常值值之之后后出出现现空空穴穴的的数数列列,用用空空穴穴两两边边的的数数据据求求平平均均值值构构造造新新的的数数据据以以填填补补空空穴穴,即即若若有有原原始始数数据据这这里里为为空空穴穴 记记 点点的的生生成成值值为为且且则则称称为为非非邻邻均均值值生生
30、成成数数,显显然然,这这种种生生成成是是空空穴穴前前后后信信息息的的非非邻邻均均值值生生成成等等权权生生成成.2.1.4 级比生成 级级比比生生成成是是一一种种常常用用的的填填补补序序列列端端点点空空穴穴的的方方法法.对对数数列列端端点点值值的的生生成成,我我们们无无法法采采用用均均值值生生成成填填补补空空缺缺,只只能能采采用用级级比比生生级级比比生生成成.成成是是级级比比级级比比生生(k(k成成在在建建模模中中可可以以获获得得较较好好的的灰灰)与与光光滑滑比比(k)(k)生生成成指指数数律律.的的总总称称.(0)(0)(0)(0)(1),(2),(),(),(),XxxxnKk 设设序序列列
31、为为原原始始序序列列称称为为级级比比为为光光滑滑比比 其其表表达达式式为为(0)(0)(0)(1)()()/(1)()()/(1)(212)kxkxkkxkxk (0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(1),(2),(1),(),(1)(1),()(),(1)()Xxxnnxnxnxxn设设为为端端点点是是空空穴穴的的序序列列 若若用用右右邻邻的的级级比比生生成成用用的的左左邻邻级级比比生生成成则则称称和和为为级级比比生生成成2.2 GM(1.1)模型建模机理,(1.1)GM灰灰色色系系统统是是对对离离散散序序列列建建立立的的微微分分方方程程是是一一阶阶微微分分方方程程模模型型,其其形形式
32、式为为:(2(1.1)13)dGMxaxudt:由由导导数数定定义义知知0()()limtdxx ttx tdtt 1,t 当当很很小小时时并并且且取取很很小小的的 单单位位时时 则则近近似似地地有有(1)()xx tx tt 写写成成离离散散形形式式为为(1)(1)()(1)xx kx kx kt (1),(1)(),(1)()(1),().(1),():xxx kttx kx kx kx kx kx kxx kx kt 这这表表示示是是的的一一次次累累减减生生成成 因因此此是是和和二二元元组组合合等等效效值值 则则称称与与的的二二元元组组合合为为偶偶对对,记记为为 于于是是我我们们可可以以
33、定定义义一一个个从从 到到的的一一个个映映射射:(1),()(214)dxFx kx kdt()(),().dxR ttxdtdxR tdtdxaxudt 若若定定义义是是 时时刻刻背背景景的的就就是是对对应应的的 的的值值那那么么 每每一一个个都都有有一一个个偶偶对对背背景景值值与与之之对对应应现现在在考考虑虑一一阶阶微微程程值值分分方方,1,()(),dxx udtdxdtxx tx tt 它它是是与与的的线线性性组组合合.那那么么,作作这这种种线线性性组组合合时时,所所对对应应的的背背景景值值究究竟竟取取偶偶对对是是的的哪哪一一个个呢呢?如如果果认认为为在在的的很很短短时时间间内内 变变
34、量量之之间间不不会会出出现现突突变变量量 那那么么可可取取偶偶对对的的平平均均值值作作为为背背景景值值1()()(1)(215)2z tx kx k,(1.1)GM基基于于上上述述机机理理 下下面面介介绍绍的的具具体体模模型型及及计计算算式式,设设非非负负原原始始序序列列 (0)(0)(0)(0)(1),(2),()Xxxxn(0),X对对作作一一次次累累加加 得得到到生生成成数数列列为为 (1)(1)(1)(1)(1),(2),()Xxxxn(1)0,()()kixkx i 其其中中(0)()(1.1)xkGM于于是是的的白白化化形形式式的的微微分分方方程程为为(1)(1)(216)dxax
35、udt,a u其其中中为为待待定定参参数数,将将(2-16)(2-16)式式离离散散化化,即即得得(1)(1)(1)(1)(1)(2 17)xkazx ku (1)(1)(1)(1)(1),(1)(1),(1)(1)xkxkdxzkkdt其其中中为为在在时时刻刻的的累累减减生生成成序序列列为为在在时时刻刻的的背背景景值值.因因为为(1)(1)(1)(1)(0)(1)(1)()(1)(218)xkxkxkxk(1)(1)(1)1(1)(1)()(219)2zkxkxk(218),(219)将将式式代代入入(2-17)(2-17)式式,得得(0)(1)(1)1(1)()(1)(220)2xkaxk
36、xku(220)将将式式展展开开得得(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)1(1)(2)12(2)1(2)(3)1(3)(221)2()1(1)()12xxxxxxxnxnxn(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)1(1)(2)12(2)1(2)(3)1(3),2()1(1)()12xxxxxxYBxnxnxn 令令,(221)Tau 为为待待辨辨识识参参数数向向量量 则则可可写写成成(222)YB 参参数数向向量量 可可用用最最小小二二乘乘法法求求取取,即即1 ,()(223)TTTa uB BB Y (216),把把求求取取的的参参数数代代入入式式 并并求求
37、出出其其离离散散解解为为(1)(1)(1)(1)(224)akuuxkxeaa 还还原原到到原原始始数数据据得得(0)(1)(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(225)aakxkxkxkuexea(224),(225)(1.1),(1.1).GMGM式式称称为为模模型型的的时时间间相相应应函函数数模模型型 它它是是模模型型灰灰色色预预测测的的具具体体计计算算公公式式2.3 GM(1.1)模型的精度检验模模型型选选定定之之后后,一一定定要要经经过过检检验验才才能能判判定定其其是是否否合合理理,只只有有通通过过检检验验的的模模型型才才能能用用来来作作预预测测,灰灰色色模模型型的的精精度度检检
38、验验一一般般有有三三种种方方法法:相相对对误误差差大大小小检检验验法法,关关联联度度检检验验法法和和后后验验差差检检验验法法.下下面面对对这这三三种种方方法法做做个个简简单单介介绍绍.2.3.1 相对误差检验法(1)(1)(0)(1.1),GMXXX设设按按建建模模法法已已求求出出并并将将做做一一次次累累减减转转化化为为即即(0)(0)(0)(0)(1),(2),()(231)Xxxxn计计算算残残差差得得(0)(0)(1),(2),()(232)Eeee nXX(0)(0),()()(),1,2,e kxkxk kn其其中中计计算算相相对对误误差差得得(0)()()100%,1,2,(233
39、)()e krel kknxk计计算算平平均均相相对对误误差差得得11(),(234)nkrelrel kn 2.3.2 后验差检验法(0)(0)2212(1.1)(231),(232),GMXXESS 设设按按建建模模法法所所求求出出的的如如所所示示 残残差差如如所所示示 原原始始序序列列及及残残差差序序列列 的的方方差差分分别别为为和和则则2(0)21122211()1()(235)nknkSxkxnSe ken (0)1111,(),()nnkkxxk ee knn其其中中计计算算后后验验差差比比为为21/(236)CSS计计算算小小误误差差概概率率为为 1()0.6745(237)pP
40、 e keS1212,.CpCCSSSSC指指标标 和和 是是后后验验差差检检验验的的两两个个重重要要指指标标.指指标标 越越小小越越好好越越小小表表示示大大而而越越小小大大表表示示原原始始数数据据方方差差大大,即即原原始始数数据据离离散散程程度度大大.小小表表示示残残方方差差小小,即即残残差差离离散散程程度度小小.小小就就表表明明尽尽管管原原始始数数据据很很离离散散,而而模模型型所所得得计计算算值值与与实实际际值值之之差差并并不不太太离离散散.1,0.6745,.ppC p指指标标 越越大大越越好好越越大大 表表明明残残差差与与残残差差平平均均值值之之差差小小于于给给定定值值的的点点较较多多
41、 即即拟拟合合值值(或或预预测测值值)分分布布比比较较均均匀匀.按按两两个个指指标标 可可综综合合评评定定预预测测模模型型的的精精度度 模模型型的的精精度度由由后后验验差差和和小小误误差差概概率率共共同同刻刻划划.一一般般地地,将将模模型型的的精精度度分分为为四四级级,见见表表2 2-1 1模型精度等级 均方差比值C小误差概率p1级（好）C=0.350.95=p2级（合格）0.35C=0.50.80=p0.953级（勉强）0.5C=0.650.70=p0.804级（不合格）0.65CP0.702 1 表表精精度度检检验验等等级级参参照照表表 ,Max pC 模模型型的的精精度度级级别别的的级级
42、别别于于是是的的级级别别2.3.3 关联度检验法灰灰关关联联分分析析实实质质上上就就是是比比较较数数据据到到曲曲线线几几何何形形状状的的接接近近程程度度,一一般般来来说说,几几何何形形状状越越接接近近,变变化化趋趋势势也也就就越越接接近近,关关联联度度就就越越大大.因因而而在在进进行行关关联联分分析析时时,必必须须先先确确定定参参考考数数列列,然然后后比比较较其其它它数数列列同同参参考考数数列列的的接接近近程程度度,这这样样才才能能对对其其它它数数列列进进行行比比较较,进进而而做做出出判判断断.000001(1),(2),(),(1),(2),(),1,2,:iiiiXXXXnXXXX nim
43、XX 设设为为参参考考序序列列为为其其它它序序列列 则则与与的的关关联联系系数数为为0000min()()maxmax()()()()maxmax()()iijijijiiijXjXjXjXjXjXjXjXj ,1,2,jn 其其中中从从关关联联系系数数的的计计算算来来看看,我我们们得得到到比比较较数数列列与与参参考考数数列列在在各各点点的的关关联联系系数数值值,结结果果较较多多,信信息息过过于于分分散散,不不便便于于比比较较,因因而而有有必必要要将将每每一一比比较较数数列列各各个个时时刻刻的的关关联联系系数数集集中中体体现现在在一一个个值值上上,这这一一数数值值就就是是灰灰关关邓邓氏氏灰灰联
44、联度度.色色关关联联度度为为11(239)niijjn (0)(0)(0)(0)0000(0)(0)(0)(0)(1),(2),(),(1),(2),(),1,2,.(1(,2,),.1,2,),iiiiXxxxnmXxxxnimmimmii i ii i设设原原始始数数据据序序列列为为参参考考序序列列 用用 种种灰灰色色如如果果r r在在所所有有关关联联度度中中建建模模方方法法所所得得模模型型值值分分别别为为求求出出该该个个序序列列与与参参考考序序列列的的邓邓最最大大 则则第第 种种灰灰色色建建模模方方法法为为所所建建模模型型中中最最好好关关联联度度的的模模型型氏氏3 3 序列光滑度的理论分
45、序列光滑度的理论分析析3.1 序列的光滑性 3.2 提高数据序列光滑度的方法3.3 基于函数sinx变换的改进GM(1.1)模型 3.1 序列的光滑性*(1),(2),(),:(1),(2),(),()0.5()0.5(1),1,2,;,(1),:3.1Xxxx nZXZzzz nz kz kz kkn Xx nX 设设序序列列是是 的的均均值值生生成成序序列列其其中中是是某某一一可可导导函函数数的的代代表表序序列列 我我们们将将删删去去后后所所得得的的序序列列仍仍记记为为定定若若满满足足义义11*11(1),()();(2)max()()max()()kik nk nkx kx ix kx
46、kx kz k 当当 充充分分大大时时,(1),(2).X则则称称 为为光光滑滑序序列列称称为为序序列列光光滑滑条条件件(0)(0)(0)(0)(0)(0)1(1)(0)1(0)(1),(2),(),()()(),2,3,(1)(.)3 2.kiXxxxnxkxkkknxkxiX 定定义义设设序序列列称称为为序序的的光光滑滑比比列列,()1()(,().,.ikx kkx ikXXk k-1k-1=1=1光光滑滑比比从从另另一一个个侧侧面面反反映映了了序序列列的的光光滑滑性性 即即用用序序列列中中第第 个个数数据据与与前前个个数数据据的的和和的的比比值值来来考考察察序序列列 中中数数序序列列中
47、中的的数数据据变变化化越越平平稳稳 其其光光滑滑比比据据变变化化是是否否平平缓缓 显显越越小小然然 (0)1(0)1(0)(0)(1()0)00()()()(),(),1,2,(),1,2,0,.1),.,3 3kixkkxixkxk knxk knkkxkk 设设为为非非负负数数据据序序列列当当时时 如如果果光光滑滑定定义义光光滑滑为为比比称称离离散散序序列列则则(1)():(1)1;()2,3,1;(2)()0,;2,3,;(33.4)0.5.kX kkknkknX 若若序序列列满满足足则则定定义义准准光光称称滑滑序序列列为为 (0)1(0)1(0)()001()()().()(),(),
48、1,2,(1(),1,2.1.,),3kixk kxkkkxixkxk knnxk 设设为为光光滑滑离离散散序序列列的的充充是是 的的递递减减函函数数则则称称要要条条件件是是定定理理光光滑滑离离为为:光光滑滑散散序序列列比比3.2 提高数据序列光滑度的方法3.2.1 基于函数lnx变换提高数据序列的光滑度(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)11(0)(0)11(1)()(1)1,ln()(2)()(1),ln()()ln()()kkiixkxxkxkxexkxkxixi 若若为为递递增增序序列列,且且则则是是光光滑滑离离散散序序列列;若若为为递递增增序序列列,且且则则002()()(),
49、ln()()xkxk由由知知 变变换换序序列列具具有有比比原原始始序序列列更更好好的的光光滑滑度度(0)(0)1(0)(0)111(0)(0)11(3)()(1)1,1,ln()ln()ln()ln()TkkTiixkxTxkxkxixi 若若为为递递增增序序列列,且且则则1003()()(),ln()ln()Txkxk由由知知 变变换换序序列列 具具有有比比原原始始序序列列更更好好的的光光滑滑度度(0)(0)1(0)(0)(0)1111(0)(0)(0)11111(0)(0)(0)11111(0)(0)(0)111(4)()(1),1,ln()ln()()ln()ln()()ln()()()
50、ln()()()TkkkTiiiTTkkkTTiiixkxe Txkxkxkxixixixkxkxkxixixi若若为为递递增增序序列列,且且则则(0)(0)(0)(0)(0)1(0)(0)(0)(0)1111(0)(0)(0)(0)1111(1)()(1)1,()(0)(2)()(1)1,1,0()ln()ln()()()ln()ln()()aaTkkkkaTiiiixkxxkaxkxTaxkxkxkxkxixixixi 若若为为递递增增序序列列,且且则则 是是光光滑滑离离散散序序列列;若若为为递递增增序序列列,且且则则对对于于有有1 1002()()(),()ln()aTxkxk由由知知
