1、1 1、矩阵的特征值与特征向量及、矩阵的特征值与特征向量及方阵的相似方阵的相似一、主一、主 要要 内内 容容第五章第五章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量定义定义.,的特征向量的特征向量的对应于特征值的对应于特征值称为称为量量非零向非零向的特征值的特征值称为方阵称为方阵这样的数这样的数那么那么成立成立使关系式使关系式维非零列向量维非零列向量和和如果数如果数阶矩阵阶矩阵是是设设 AxAxAxxnnA.)(.0的的特特征征多多项项式式称称为为方方阵阵的的特特征征方方程程称称为为方方阵阵AEAfAEA 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量.)2(;)1(,)(.212211212
2、1AaaaaAnAnnnnnnij 则有则有的特征值为的特征值为若若个特征值个特征值有有阶方阵阶方阵.1;1,)3(.)(,)(.)()();()2(;)1(,)(11010特征值特征值的的是是的特征值的特征值是是可逆时可逆时当当其中其中的特征值的特征值是是为任意自然数为任意自然数的特征值的特征值是是的特征值的特征值也是也是则则的特征值的特征值是是设设AAAAAaAaEaAaaaAkAAaAmmmmkkTijnn 有关特征值的一些结论有关特征值的一些结论定理定理.,21212121征征向向量量是是线线性性无无关关的的即即属属于于不不同同特特征征值值的的特特线线性性无无关关则则各各不不相相等等如
3、如果果向向量量依依次次是是与与之之对对应应的的特特征征个个特特征征值值的的是是方方阵阵设设ppppppmAmmmm 定理定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量有关特征向量的一些结论有关特征向量的一些结论定义定义.,.,11的相似变换矩阵的相似变换矩阵变成变成称为把称为把可逆矩阵可逆矩阵进行相似变换进行相似变换称为对称为对进行运算进行运算对对相似相似与与或说矩阵或说矩阵的相似矩阵的相似矩阵是是则称则称使使若有可逆矩阵若有可逆矩阵阶矩阵阶矩阵都是都是设设BAPAAPPABAABBAPPPnBA
4、矩阵之间的相似具有矩阵之间的相似具有(1)(1)自反性；自反性；(2)(2)对称性；对称性；(3)(3)传递性传递性相似矩阵相似矩阵.,)2(2121个特征值个特征值的的是是则则相似相似与对角矩阵与对角矩阵若若nAAnn 若与相似，则与的特征多项式若与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同相同，从而与的特征值亦相同ABAABB)1(有关相似矩阵的性质有关相似矩阵的性质.)()(,.)()(,)3(111111PPAPPAAPPPPBPAPBPAPPBAkkkk 则则有有为为对对角角阵阵使使若若有有可可逆逆阵阵特特别别地地则则若若(4)(4)能对角化的充分必要条件是有个线能对角化的充分
5、必要条件是有个线性无关的特征向量性无关的特征向量AAn(5)(5)有有 个互异的特征值，则个互异的特征值，则 与对角阵相似与对角阵相似AAn.)1(实实数数实实对对称称矩矩阵阵的的特特征征值值为为.)2(量量必必正正交交特特征征值值的的特特征征向向实实对对称称矩矩阵阵的的属属于于不不同同.,)3(个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量的的必必有有则则对对应应重重特特征征值值的的是是实实对对称称矩矩阵阵若若rrA .,.)4(1对对角角阵阵个个特特征征值值为为对对角角元元素素的的的的以以是是其其中中使使得得则则必必有有正正交交阵阵称称阵阵阶阶实实对对为为即即若若实实对对称称矩矩阵阵必必可可对对
6、角角化化nAAPPPnA 实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的相似矩阵第三步第三步将每一个特征值代入相应的线性方程组，将每一个特征值代入相应的线性方程组，求出基础解系，即得该特征值的特征向量求出基础解系，即得该特征值的特征向量第一步第一步计算的特征多项式；计算的特征多项式；A第二步第二步求出特征多项式的全部根，即得的全部求出特征多项式的全部根，即得的全部特征值；特征值；A三、特征值与特征向量的求法三、特征值与特征向量的求法.3242024233和特征向量和特征向量的全部特征值的全部特征值阶实矩阵阶实矩阵计算计算 A例3例332422423)(AEf.)1()8(2 解解第一步计算的特征多项式第一步
7、计算的特征多项式A.,)(的的全全部部特特征征值值即即的的全全部部根根求求出出特特征征多多项项式式第第二二步步Af.,1,8,0)(321全部特征值全部特征值的的为为解之得解之得令令Af .0)(,811的的一一个个基基础础解解系系求求相相应应线线性性方方程程组组对对 xAE 第三步求出的全部特征向量第三步求出的全部特征向量A ,0524,0282,0425321321321xxxxxxxxx.2121 个基础解系个基础解系化简求得此方程组的一化简求得此方程组的一).0(81111数数为实为实的全部特征向量为的全部特征向量为属于属于 kk .021,101:,0424,022,0424:0)(
8、,122321321321232 基础解系基础解系求解得此方程组的一个求解得此方程组的一个的一个基础解系的一个基础解系求相应线性方程组求相应线性方程组同理对同理对xxxxxxxxxxAE.,1 32332232是不全为零的实数是不全为零的实数的全部特征向量为的全部特征向量为的属于的属于于是于是kkkkA .,0,;321332211是是不不全全为为零零的的实实数数为为实实数数里里这这的的全全部部特特征征向向量量为为从从而而kkkkkkA 四、已知的特征值，求与相关矩阵的特征值四、已知的特征值，求与相关矩阵的特征值.,121量量的的特特征征值值与与特特征征向向求求的的特特征征向向量量为为于于属属
9、的的全全部部特特征征值值为为阶阶方方阵阵设设APPAniin 例例4 4解解.1式式它它们们有有相相同同的的特特征征多多项项只只需需证证明明有有相相同同的的特特征征值值与与首首先先证证明明APPA APPEfAPP1)(1 APPPP11 AAPAEP 1),(fAEA .,121的的全全部部特特征征值值就就是是APPn .1的的特特征征向向量量属属于于其其次次求求 iAPP,iiiA iiAPPE)(1 又又,0)(iiAE即即 iiAPPPP)(11 ,)(1 iiPAEP iiPAPPE11)(),()(111 iiiPPAPP 即即 iiPPAEP11)(,0)(1 iiAEP.11的
10、的特特征征向向量量属属于于是是故故 iiAPPP 五、求方阵的特征多项式五、求方阵的特征多项式.,)2(;)1(:,)(,10111的的特特征征多多项项式式求求非非奇奇异异时时当当的的特特征征多多项项式式求求求求其其特特征征多多项项式式为为阶阶方方阵阵是是设设AAAaaaAEfnATnnnA 例例5 5解解AEfTAT )()1(.有相同的特征多项式有相同的特征多项式与与AAT)(AET AE ),(fA A则则的的全全部部特特征征值值是是设设,)2(21An )1()1)(1(21 n ,111211的全部特征值的全部特征值是是An 的特征多项式为的特征多项式为故故A1 AEfA1)(1 .
11、1001101aaaaannn AA的行列式的行列式用特征根计算方阵用特征根计算方阵1.5;,5,2,1,13,323321EABAABA 求求设设个特征值为个特征值为它的它的阶矩阵阶矩阵是是设设 例6例6解解.21AAAn来计算来计算要关系要关系的行列式与特征值的重的行列式与特征值的重利用利用 ,5)(23xxxf 令令,321的的全全部部特特征征值值是是因因为为A 六、关于特征值的其它问题六、关于特征值的其它问题故故部特征值部特征值的全的全是是所以所以.5)()31)(23BAAAfifi )(AfB )()()(321 fff.288)12)(6)(4(.5EA 下下面面求求方法一方法一
12、,5)(EAAg 令令),(),(),()(321 gggAg的所有特征值为的所有特征值为所以所以,2,1,1321 的的所所有有特特征征值值为为因因为为A)(5AgEA .72)2()1()1(ggg方法二方法二,2,1,1321 的所有特征值为的所有特征值为因为因为A.22)1(1 A故故.724/28852 ABEA),5(5223EAAAAB 又又,52EAAB ,288 B但但),2)(1)(1()(AEfA所所以以方法三方法三,2,1,1321 的所有特征值为的所有特征值为因为因为A.725)1(53 AEEA,72)25)(15)(15()5(5 fAEA的的可可逆逆性性来来讨讨
13、论论的的特特征征值值用用方方阵阵AkEA,2.,0,;,0,可可逆逆的的特特征征值值时时不不是是当当不不可可逆逆的的特特征征值值时时是是当当AkEAkEAkAkEAkEAk?,1,)2(?8,)1(,2是是否否可可逆逆且且的的特特征征值值是是设设是是否否可可逆逆若若阶阶方方阵阵为为设设EAAAEEAnA 例例7 7解解,1,121 的特征值为的特征值为A,)1(2EA.8可可逆逆从从而而AE ,8的特征值的特征值不是不是故故Ak .,1,均可逆均可逆对对一般地一般地AkEk 于于是是的的特特征征值值不不是是所所以以因因为为,1,1)2(A .均为可逆矩阵均为可逆矩阵故故EA .0)1(,01
14、AEAE,)1()(EAAEAEn 又又;0 EA,)1()(EAEAAEn ,0 EA七、判断方阵可否对角化七、判断方阵可否对角化.),(0,)2(?)1(.00221100不可对角化不可对角化证明证明且至少有一且至少有一如果如果可对角化可对角化在什么条件下在什么条件下阶下三角阵阶下三角阵是是设设AjiaaaaAnAjinn 例8例8A解解(1)可对角化的充分条件是有个互异的可对角化的充分条件是有个互异的特征值下面求出的所有特征值特征值下面求出的所有特征值AAAn,02211 aaaAnnAEfA )(,0)()(2211 aaann 即即).()(2211aaann ).1(niaAiii 的的所所有有特特征征值值得得.,),2,1,(可对角化可对角化时时即当即当时时当当Aaanjijijjiiji ,0)(fA令令.)2(用用反反证证法法.)1(),(,211的特征值的特征值是是使使则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵可对角化可对角化若若AnidiagAPPPAin 所所以以可可知知由由,)1(11aaiii .111111111EaaaaAPP ,11111111EaPPaPEaPA .,)(00000对角化对角化不可不可故故矛盾矛盾这与至少有一个这与至少有一个Ajiaji
