1、 1 有理数专题详解有理数专题详解 专题 01 有理数专题详解 1 1.1 正数和负数 . 5 知识框架 . 5 一、基础知识点 . 5 知识点 1 负数的产生 5 知识点 2 相反意义的量的表示方式 5 知识点 3 正数、负数及 0 的意义 6 二、典型题型 . 7 题型 1 平均数与正负数 7 题型 2 用正负数表示误差范围 8 题型 3 正负数规律探究 8 1.2 有理数 . 10 1.2.1 有理数 10 知识框架 . 10 一、基础知识点 . 10 知识点 1 有理数及相关概念 10 知识点 2 小数分类补充 11 知识点 3 有理数的分类 11 知识点 4 常用数学概念的含义 12
2、 二、典型题型 . 12 题型 1 数集问题 13 题型 2 规律探究 14 1.2.2 数轴 16 知识框架 . 16 一、基础知识点 . 16 知识点 1 数轴的概念 16 知识点 2 数轴的读数与画法 16 知识点 3 数轴上的点与有理数之间的关系（数形结合） 17 2 知识点 4 数轴与数的大小 18 二、典型题型 . 18 题型 1 利用数轴求两点间距离 18 题型 2 数轴上点的运动 19 1.2.3 相反数 21 知识框架 . 21 一、基础知识点 . 21 知识点 1 相反数的概念 21 知识点 2 相反数的意义 21 知识点 3 多重符号的化简 22 二、典型题型 . 23
3、题型 1 相反数的性质与求法 23 题型 2 相反数与数轴相结合 24 1.2.4 绝对值 25 知识框架 . 25 一、基础知识点 . 25 知识点 1 绝对值的意义 25 知识点 2 绝对值的性质 25 知识点 3 绝对值与数的大小 26 二、典型题型 . 27 题型 1 由数求绝对值，由绝对值求数 27 题型 2 比较有理数大小的方法 28 题型 3 含有字母的绝对值的化简求值 29 题型 4 绝对值非负性的应用 30 三、难点题型 . 31 题型 1 求绝对值的值 31 题型 2 含字母绝对值的化简（复杂） 32 题型 3 借助数轴解绝对值问题 33 1.3 有理数的加减法 . 35
4、知识框架 . 35 3 一、基础知识点 . 35 知识点 1 有理数的加法 35 知识点 2 有理数的加法运算律 36 知识点 3 运用运算律简化计算 36 知识点 4 有理数减法的意义 36 知识点 5 有理数的加减混合运算 37 二、典型题型 . 38 题型 1 有理数加法的应用 38 题型 2 加法运算定律的应用 38 题型 3 有理数减法的应用 39 题型 4 运用作差法比较有理数的大小 40 三、难点题型 . 40 题型 1 有理数与数轴、相反数、绝对值等知识的综合 40 题型 2 定义新运算 41 1.4 有理数的乘除法 . 42 知识框架 . 42 一、基础知识点 . 42 知识
5、点 1 有理数的乘法法则 42 知识点 2 有理数乘法的运算律 42 知识点 3 倒数的概念 43 知识点 4 有理数的除法法则 44 知识点 5 有理数四则混合运算 45 知识点 6 正负数的表示方法 46 二、典型题型 . 48 题型 1 有理数乘除法与绝对值的综合应用 48 三、难点题型 . 49 题型 1 1 赋值问题 49 题型 2 定义新运算 49 1.5 有理数的乘方 . 51 知识框架 . 51 4 一、基础知识点 . 51 知识点 1 乘方的意义 51 知识点 2 乘方运算法则 52 知识点 3 科学记数法的概念 53 知识点 4 近似数与准确数 54 知识点 5 理解精确度
6、 55 二、典型题型 . 55 题型 1 有理数的混合运算 55 题型 2 乘方的简便计算 56 题型 3 确定末位数字 57 题型 4 由近似数估算准确数的取值范围 58 三、难点题型 . 58 题型 1 乘方在实际问题中的应用 58 题型 2 实际问题中的近似数 . 59 5 1.1 正数和负数正数和负数 知识框架知识框架 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 负数的产生负数的产生 1） 负数：规定一种意义的量为正数，与之意义相反的量规定为负数。 知识点知识点 2 相反意义的量的表示方式相反意义的量的表示方式 1）用正负号表示相反意义量，一般用（+）表示增多等情况，用（-）表示减
7、少量。 2）注意： a.相反意义的量是成对出现的； b.相反意义的量必须是同类量； c.用正负表示时，一定要说明数量和单位； 3）在实际生活生产中，并没有出现常见的意义相反的量，而是把其中某一个量规定为 “0”作为基准数，比基准（零）大的为正，比基准（零）小的为负。 例例 1. 小明的姐姐在银行工作， 她把存入 3万元记作+3万元， 那么支取2 万元应记作_， 4 万元表示_。 【答案】2 万元 支取 4 万元 例例 2.下列说法中正确的是（ ） A.上升与下降具有相反意义的量 B.前进 20m 具有相反意义的量 C.向南 50m 与向北 40m 是相反意义的量 D.收入 20 元于下降 2m
8、 具有相反意义的量 6 【答案】A.错误，无数量 B.错误，相反意义的量是成对出现的 C.正确 D.错误，收入和下降不是同类意义量 知识点知识点 3 正数、负数及正数、负数及 0 的意义的意义 1）正数：大于零的数，如 3， 2 1 ， 等，其中（+）可以省略 2）负数：小于零的数，如-1，- 4 3 ，30%等，其中（）不可以省略 3）0：正数和负数的分界线，既不是正数，也不是负数。 （0 并非表示没有） 注：不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义 如：+（）3，（）3 （+）-肯定 （）-否定 0a0 0 0a ， 负 数 ， 正 数 ， aa 例例 1. 下列说法中，正确的
9、有哪些： 0 是自然数；0 既不是正数，也不是负数；0 可以表示海平面的高度；正数 比 0 大，负数比 0 小，0 是正数和负数的分界线；0 只表示什么都没有；0 是非正数。 【答案】正确，0 是自然数 正确，数分为正数、负数和 0，其中 0 既不是正数也不是负数 正确，通常以 0 作为正负数的分界线，0 可以表示海平面高度 正确，正负数的定义就是与 0 作比较 错误，如 0并非表示没有温度 正确，非正数包括负数和 0 例例 2. 下列说法中正确的有： 0表示没有温度；0 是最小的正数；0 是偶数，也是自然数；不带负号的数 都是正数；带负号的数不一定是负数。 【答案】错误，0表示温度为水结冰的
10、临界点温度，并非没有温度 错误，0 不是正数 7 正确，0 是自然数，也是偶数 ，都错误，判断正负，不能仅仅根据符号判定，而需要与 0 比较大小。 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 平均数与正负数平均数与正负数 性质：性质：某一个量规定为“0”作为基准数，比基准（零）大的为正，比基准（零）小的为负 解题技巧：解题技巧：求一组数的平均数，可以用正负数的思想解决。首先目测选取这组数中较为居 中的数为基准数“0”；然后将实际数与基准数进行比较，用正负数表示这组数据，超出记为 正， 不足记为负； 接着求出这组数据正负数的平均值； 最后用正负数的平均值与基准数比较， 得出这组数的实际平均值。 例例
11、 1.下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京早的时数） ： 城市 时差 城市 时差 纽约 -13 东京 1 巴黎 -7 芝加哥 -14 如果现在北京时间是 7:00，那么现在纽约时间是几点？ 【答案】13 表示比北京时间晚 13 个小时 北京 时间为 7:00 纽约时间为前一天 18:00 例例 2.实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每相邻两个可视观测点的相对高 度，然后用这些相对高度计算出山的高度。下表是某次测量数据的一部分（A-C 表示观测点 A 相对观测点 C 的高度，例如，下表第一列表示 A 比 C 高 90 米） 。 A-C C-D E-D F-E G
12、-F B-G 90 米 80 米 -60 米 50 米 -70 米 40 米 根据这些观测的数据，观测点 A 相对观测点 B 的高度时多少米？ 【答案】设 A 的高度为 0 则 C 的高度为90 D 为170 E 为230 8 F 为180 G 为250 B 为210 AB=210 题型题型 2 用正负数表示误差范围用正负数表示误差范围 性质：性质：a b 表示取值范围为：ab 至 a+b 之间 解题技巧：解题技巧：首先根据 a b 的实际意义，先求出物体允许的误差范围；在将数据与这个误差范 围比较，若在这个范围内，则为合格，反之为不合格。 例例 1. 一商品的标准价格是 120 元，但随着季
13、节的变化，商品的价格可以浮动10%。 10%的含义是什么？ 请你计算该商品的最高价格和最低价格 【答案】10%表示商品价格上加波动为 10%，即商品价格范围为：120 （110%）至 120 （1+10%） 最低价格为：120 （110%）=108 元 最高价格为：120 （1+10%）=132 元 例例 2. 下面几个数表示的是四个足球的质量与标准质量偏差的克数，其中质量较好的是： A.+10 B.-20 C.-5 D.+15 【答案】C 正数表示比标准质量中，负数表示比标准质量轻，其中5 表示的偏差为 5，是最小 偏差。 题型题型 3 正负数规律探究正负数规律探究 解题技巧：解题技巧：规律
14、探究题分两步寻找规律。首先寻找数字间的规律；然后再寻找正负号间的规 律；最后将正负号和数字结合起来，得到最终结果。 例例 1.观察下面排列的一列，请写出后面的数。 （1）1， ，3， ，5， ， ， 9 （2） ， ， ， ， 【答案】 （1）符号规律为负正间或出现，数字规律为整数分数间或出现，且依次增大 故后面的数字分别为： （2）符号规律为正负间或出现，数字规律为分子从 1 开始依次增加，分母比分子大 1 故后面的数字分别为： 例例 2. 观察这一串数字： 4 1 , 4 2 , 4 3 , 4 4 , 4 3 , 4 2 , 4 1 , 3 1 , 3 2 , 3 3 , 3 2 , 3
15、 1 , 2 1 , 2 2 , 2 1 , 1 1 等，试问 11 7 是第几个数？ 【答案】符号规律为正负间或出现 数字规律为：分母从 1 开始，分子也从 1 开始逐渐增大，依次至与分母一样大， 然后在依次降至 1 为止 分母为 1 的数有 1 个；分母为 2 的有 3 个；分母为 3 的有 5 个；分母为 4 的有 7 个；分母为 5 的有 9 个；分母为 6 的有 11 个；分母为 7 的有 13 个；分母为 8 的有 15 个； 分母为 9 的有 17 个；分母为 10 的有 19 个。 共计为：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100 个 故第 100 个数为 后续
16、数依次为： 在第 107 个位置 10 1.2 有理数有理数 1.2.1 有理数有理数 知识框架知识框架 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 有理数及相关概念有理数及相关概念 正整数正整数：像 1， 2， 3， 4 等这样的数叫作正整数 负整数：负整数：像1， 2， 3 等这样的数叫作负整数 正分数正分数：像 ，0.24， 1.64 等这样的数叫作正分数 负分数负分数：像 ，3.56， 0.78 等这样的数叫作负分数 整数整数：正整数、0、负整数统称为整数 分数分数：正分数、负分数统称为分数 有理数有理数：整数和分数统称为有理数 例例 1. 下列说法中，错误的有： -2 7 4 是
17、负分数；1.5 不是整数；非负有理数不包括 0；正整数、负整数统称为有理 数；0 是最小的有理数；3.14 不是有理数 【答案】-2 7 4 既是分数又是负数，正确 1.5 时分数不是正数，正确 非负有理数包括正有理数和 0，错误 正数、负数和 0 统称为有理数，错误 负数比 0 小，错误 11 3.14 为分数，是有理数，错误 例例 2. 下列说法中，正确的是： 正有理数和负有理数统称为有理数 正整数和负整数统称为整数 整数和分数统称为有理数 非正数就是指 0、负整数和所有分数 【答案】A 错误，有理数还包含 0； B 正确，有理数包含正数和分数； C 错误，漏掉了 0 D 错误，非正数指
18、0 和负数 知识点知识点 2 小数分类补充小数分类补充 1）小数 2）有限小数可以转化为分数，故我们将这类小数划分为分数类。如 0.3= 无限循环小数也可以转化为分数，故我们也将这类小数划分为分数类。如 0. = 无限不循环小数不可以转化为分数，故不是分数，也不是有理数。如 知识点知识点 3 有理数的分类有理数的分类 1）分类： 按整数、分数分类 负分数 正分数 分数 负整数 正整数 整数 有理数 0 按数的正负性分 负分数 负整数 负有理数 负整数 正整数 正有理数 有理数 0 注：无论怎么分类，一共有 5 类，不可重复，也不可遗漏 拓展：无理数，如 12 例例 1. 将下列各数填在相应位置
19、 -50，+10，1， 5 1 ，+102， 51.2，-3.06，0，2 . 0 ，+1 13 1 ， （+2） ，2，3.12 正整数有： 分数有： 正分数有： 非正数有： 无理数有： 【答案】 正整数有：+10，1，+102 分数有： 1 5 ，51.2，-3.06，0.2，+1 1 13 ，3.12 正分数有：51.2， 0.2，+1 1 13 ，3.12 非正数有：-50， 1 5 ，-3.06，0 无理数有： （+2） ，2 知识点知识点 4 常用数学概念的含义常用数学概念的含义 1）正整数：既是正数，又是整数 2）负整数：既是负数，又是整数 3）正分数：既是整数，又是分数 4）负
20、分数：既是负数，又是分数 5）非正数：负数和 0 6）非负数：正数和 0 7）非正整数：负整数和 0 8）非负整数：正整数和 0 例例 1.下列结论错误的是： A.负分数都是负有理数 B.分数中除了正分数就是负分数 C.有理数中除了分数就是小数 D.有限小数是分数，也是有理数 【答案】C 有限小数和无限循环小数为分数，无限不循环小数不是有理数 例例 2. 在有理数中，是整数而不是正数的数统称为： 是负数而不是分数的数统称为： 【答案】非正整数 13 负整数 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 数集问题数集问题 性质：性质：有理数的分类 注：注：数集关系中有包含关系时，数的分类不可重复 解题
21、技巧：解题技巧：此类题型是有理数分类题型的拓展，一般用框图表示数据分类的集合关系，多会 出现有重合甚至包含逻辑的框图。此时，先填写有重合和被包含部分的框图，再填写单一框 图部分的数据。 例例 1. 如下图所示，大圆覆盖的区域表示有理数的范围，中圆覆盖的区域表示整数的范围， 小圆覆盖的区域表示正整数的范围，把下列各数填入它所属于的集合的圆内：15，-5， ，0.1，-5.32，-80，123，2.333 【答案】 例例 2.请将以下数据按要求填入对应框图中：7，3.5，0，3， 2，2.5，8， 14 【答案】 题型题型 2 规律探究规律探究 解题技巧：解题技巧：该类题型比较灵活，需视具体情况而
22、定。在有理数的规律探究题型中，往往需要 寻找两部分规律： （1）数字之间的规律； （2）正负号的规律 例例 1.有一列数：， ，求第 7 个数。 【答案】符号规律为负正间或出现 数字规律为：分子从 1 开始依次增大；分母为 故第 7 个数为： 例例 2.有一列数： ，求第 5 个数和第 6 个数。 【答案】符号规律为正负间或出现 数字规律：分母为 n （n+1） ，分子为 1 故第 5 个数为： 第 6 个数为： 15 例例 3. 如下表所示，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子 中所填整数之和都相等，则第 2019 个格子中的数为： 3 a b c -1 2 . 【
23、答案】任意三个相邻格子中所填整数之和相等 3+a+b=a+b+c a+b+c=b+c+（1） ，依次类推得： 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 . 发现规律：该组数为 3，1， 2 循环出现 2019 3=673 因此第 2019 个数为第 673 组最后一个数，为 2 16 1.2.2 数轴数轴 知识框架知识框架 一、基础知识点一、基础知识点 知识知识点点 1 数轴的概念数轴的概念 1）数轴数轴：用一条直线上的点表示数，这条直线叫作数轴 2）三要素三要素：原点参考点，正负数分界点； 方向一般选取向右为正方向； 单位长度同一条数轴上的单位长度应当一致 例例 1.画数轴需要三个条件，即 、
24、 方向和 长度。 （三要素） 【答案】数轴三要素：原点、正方向和单位长度 知识点知识点 2 数轴的读数与画法数轴的读数与画法 1）数轴的读数数轴的读数：在原点的左边，则为正数，在数轴的右边，则为负数。 2）画数轴步骤画数轴步骤：a.直线 b.确定原点 c.选正方向（通常从原点向右或向上定位正方向） d.选取单位长度（选取适当长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个 点，依次表示 1，2，3，；从原点向左，用类似方法依次表示1，2，3，） e.标 数（用实心点标数） 例例 1. .下图是几位同学所画数轴，其中正确的是： 【答案】错误，无原点； 17 错误，无正方向； 错误，负半轴
25、从右往左应该依次为1、2、3 等 正确 错误，表示同一个单位长度的线段不一样长 例例 2. 如下图所示，在数轴上的点 M 表示的数可能是： A.1.5 B.-1.5 C.-2.4 D.2.4 【答案】点 M 在3 与2 之间，表示2 点几，选择 C 知识点知识点 3 数轴上的点与有理数之间的关系（数形结合）数轴上的点与有理数之间的关系（数形结合） 1）数轴上的点并不是都是有理数 2）正方向可以不按照常规方向选取 3）a0，与原点的距离是 a，在数轴上可以是a（存在多解的情况） 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向 例例 1. 下列说法中正确的是： A.规定了原点、正方向的直线是数轴
26、B.数轴上原点及原点右边的点表示的数是非负数 C.有理数如- 100 1 在数轴上无法表示出来 D.任何一个有理数都可以再数轴上找到它对应的唯一点 【答案】A 错误，还有单位长度； B 错误，若正方向向左，则原点左边的数为正数； C 错误，任何一个有理数和无理数都能在数轴上表示出来； D 正确 例 2. 数轴上点 A 到原点的距离是 2， 点 B 到原点的距离是 3， 则 A， B 两点的距离是多少？ 【答案】点 A 到原点的距离是 2，则 A 为 2 或2； 点 B 到原点的距离是 3，则 B 为 3 或3 18 则有 4 种情况： a=2，b=3，A，B 两点间的距离为 1； a=2，b=
27、3，A，B 两点间的距离为 5； a=2，b=3，A，B 两点间的距离为 5； a=2，b=3，A，B 两点间的距离为 1； 综上得：点 A 与点 B 之间的距离为 1 或 5. 知识点知识点 4 数轴与数的大小数轴与数的大小 1）正方向上，离原点越远，数越大 2）负方向上，离原点越近，数越大（负数数字越大，结果反而越小） 注：数轴从负方向向正方向，数值逐渐增大。 例例 1. 下表是四个城市今年二月份某天的气温，请画出数轴，并依据数轴判断气温最低的城 市是哪个。 城市 吐鲁番 乌鲁木齐 喀什 阿勒泰 气温 -8 -16 5 -25 【答案】将温度表示在数轴上得： 因为数轴上的数，从左到右依次增
28、大，25 最小，即阿泰勒温度最低 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 利用数轴求两点间距离利用数轴求两点间距离 注：注：距离没有方向性，所以到某点的距离为 a 的点一般有两个 解题技巧：解题技巧：根据题干要求，先找出参考点位置；某点到参考点的距离为 a，意味着这个点可 以在参考点左边距离为 a 的位置，也可在参考点右边距离为 a 的位置。因此，此类题型一般 有多解情况，请注意。最后根据画出的数轴，读出两点之间的距离。 例例 1.如图，数轴上标出的所以点中，相邻两点间的距离都相等，已知点 A 表示16，点 G 表示 8. 19 （1）表示原点的点是： ，点 C 表示的数是： （2）若数轴上有
29、两点 M，N，点 M 到点 E 的距离为 4，点 N 到点 E 的距离是 3，求点 M， N 之间的距离。 （3）点 P 为数轴上一点，且表示的数是整数，点 P 到 A 点的距离与 P 到 G 点的距离之 和为 24，则这样的 P 点有 个。 【答案】16 与 8 之间共有 24 个单位长度，点 A 与点 G 之间共有 6 段 每段的距离为 24 6=4 A：16；B：12；C：8；D：4；E：0；F：4；G：8 （1）原点是：E，点 C 表示8 （2）点 M 到点 E 的距离为 4，则 M 为 4 或4； 点 N 到点 E 的距离为 3，则 N 为 3 或3 则有 4 种情况： a=4，b=
30、3，M，N 两点间的距离为 1； a=4，b=3，M，N 两点间的距离为 7； a=4，b=3，M，N 两点间的距离为 7； a=4，b=3，M，N 两点间的距离为 1； 综上得：点 M 与点 N 之间的距离为 1 或 7 （3）AG 之间的距离恰好是 24，因此点 P 在 AG 之间或 A，G 上皆可 这样的 P 点个数有：24+1=25 个 题型题型 2 数轴上点的运动数轴上点的运动 性质：性质：数轴数形结合的应用 注：注：若题干中有说明运动的方向，则结果为唯一确定值；若未说明运动的方向，则也会存 在向左右两边运动的多解情况。 20 解题技巧：解题技巧： 此类题型考察的是数轴数形结合的应用
31、。 先画出数轴， 根据题干要求标出参考点； 再根据题干要求进行相应的运动，确定最终位置并解答题目。需注意点为：若运动过程中未 指出运动方向，则会存在多解情况。 例例 1. 点 P 从数轴（向右为正方向）上的1 出发，分别按照下列条件移动两次后到达终点， 说出点 P 在终点时所表示的数。 （1）先向右移动 3 个单位长度，再向右移动 2 个单位长度； （2）先向右移动 2 个单位长度，再向左移动 3 个单位长度。 【答案】 （1）P 为1，向右移动 3 个单位长度，变为 2；在向右移动 2 个单位长度，变为 4 （2）P 为1，向右移动 2 个单位长度，变为 1；在向左移动 3 个单位长度，变为
32、2 例例 2. 数轴上点 A 对应的数是-1，一只小虫从点 A 出发，沿着数轴以每秒钟 4 个单位的速度 爬行至点 B，再立即沿原路返回至点 A，共用 9 秒钟。 （1）小虫爬行的路程是多少个单位长度？ （2）点 B 对应的数是多少？ 【答案】 （1）路程为：9 4=36 个单位长度 （2）因为总路程 36 为往返距离，所以 A 与 B 点间的距离为 18 当点 B 在点 A 左侧时，B 为19； 当点 B 在点 A 右侧是，B 为 17 21 1.2.3 相反数相反数 知识框架知识框架 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 相反数的概念相反数的概念 相反数相反数：像 2 和2、5
33、和5、3 和3 这样，只有符号不同的两个数互为相反数（注： 0 的相反数是 0） 注：相反数是成对出现的 知识点知识点 2 相反数的意义相反数的意义 1）代数意义代数意义：只有符号不同的两个数，一个是另一个的相反数，0 的相反数是 0 2）几何意义：几何意义： 在数轴上原点的两旁， 离原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数。 例例 1.在数轴上描出表示 5、2、5、+2 这四个数的点。 观察上图并填空： 数轴上与原点的距离是 2 的点有 个，这些点表示的数 是 ；与原点的距离是 5 的点有 个，这些点表示的数是 。从上面 问题可以看出，一般地，如果 a 是一个正数，那么数轴上与原点的距离是
34、a 的点有两个，即 一个表示 a，另一个是 ，它们分别在原点的左边和右边，我们说，这两点关于原点对 称。 【答案】数轴如下 数轴上与原点距离是 2 的点有 2 个，这些点表示的数是： 2 与原点距离是 5 的点有 2 个，这些点表示的数是： 5 另一个是a 22 例例 2.2017 的相反数是： A.2017 B.-2017 C. 2017 1 D.- 2017 1 【答案】A 相反数为仅两个数符号不同的数，故为 2017 例例 3.下列说法中正确的是： A.正数和负数互为相反数 B.任何一个数的相反数都与它本身不同 C.任何一个数都有它的相反数 D.数轴上原点两侧的两个点表示的数互为相反数
35、【答案】C 正数和负数必须距离原点的距离相等的点表示的数才是相反数，A 错误 0 的相反数是自己本身，B 错误 任何一个数都有相反数，C 正确 数轴上原点两侧，且与原点距离相等的点表示的数才为相反数，D 错误 知识点知识点 3 多重符号的化简多重符号的化简 1）“-”表示否 “+”表示是 2）看“-”的个数，奇数个为负，偶数个为正。“+”个数不影响结果。 3）a.负负得正 b.负正得负 c.正正得正 例 1. 化简下列各数： a.-（-12） b.-（+5） c.+（-6） d.+（+3） e.-（-3） f.-+（-a） 【答案】 （12）=12 （+5）=5 +（6）=6 +（+3）=3
36、（3）=3 （a）=a 23 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 相反数的性质与求法相反数的性质与求法 性质：性质：a.除 0 外，一组相反数一定是一正一负 b.一个数的相反数就是在这个数前面加一个负号（负号的意义就是表示相反量） c.一组相反数的和为 0 解题技巧：解题技巧： （1）此类题型多为利用相反数的性质求解含字母数的相反数。利用性质 b，直接 在这个数前面添加“”号，在利用多重符号化简的方法化简即可。 （2）已知两个含有字母的数为相反数，利用性质 c，将两个数相加和为 0，表示 成方程的形式，直接解方程即可。 例例 1.若-a 不是负数，则 a： A.是正数 B.不是负数 C.是
37、负数 D.不是正数 【答案】a 不是负数 a 为正数或 0 a 的相反数 a 为负数或 0，选 D 例例 2.求 a-b 的相反数 【答案】ab 的相反数即在这个式子前面添 即（ab）=a+b 例例 3.已知 2a-1 与 7- 2 1 a 互为相反数，则 a 的值是： 【答案】（2a1）与（7 2 1 a）互为相反数 （2a1）+（7 2 1 a）=0 解得：a=4 例例 4.如果 a，b 都是有理数，在什么条件下：a+b 与 a-b 互为相反数 【答案】（a+b）与（ab）互为相反数 （a+b）+（ab）=0 化简得：2a=0，a=0 因此成立的条件为：a=0，b 为任意有理数 24 题型
38、题型 2 相反数与数轴相结合相反数与数轴相结合 性质：性质：相反数几何意义为数轴上原点两旁，与原点距离相等的点所表示的数。 解题技巧：解题技巧：利用相反数的几何意义，先在数轴上表示出互为相反数的两个点，在根据题干要 求，利用数轴分析求解题目。 例例 1.有理数 x，y 在数轴上的对应点如图所示： 试把 x，y，0，-x，-y 这五个数按从大到小的顺序排列 【答案】数轴如下： 根据数轴性质，数轴上的数从左到右依次增大 yx0xy 例例 2. 已知数轴上点 A 和点 B 分别表示互为相反数的两个数 a 和 b（ab） ，且 A，B 两点间 的距离是 6，则 a 和 b 分别是多少？ 【答案】数轴如
39、下： 如图，因为 ab，且 ab 互为相反数 所以 A 点在原点右侧，B 点在原点左侧，且两点到原点距离相等 因为 A、B 两点的距离为 6 所以 B 到原点的距离与 A 到原点的距离都为 3 所以 a=3，b=3 25 1.2.4 绝对值绝对值 知识框架知识框架 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 绝对值的意义绝对值的意义 绝对值绝对值：数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值，记作a 例例 1. 求下列各的绝对值 -2.1 +（-3） - 3 2 【答案】 例例 2.下图中两点距离原点的距离以及对应的绝对值分别是多少，发现了什么规律？ 【答案】，1 距离原点的距离是
40、 1；=4，4 距离原点的距离是 4 规律：绝对值越大，距离原点的距离越远 26 例例 3.若a=-a，则数 a 在数轴上的对应点一定在： A.原点左侧 B.原点或原点左侧 C.原点右侧 D.原点或原点右侧 【答案】因为=a 所以 a 为负数或为 0 所以选 B 知识点知识点 2 绝对值的性质绝对值的性质 1）绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性a0，即： 0, 0, 0 0, aa a aa a 2）互为相反数的两个数绝对值相等 例例 1. 下列说法中正确的是： A.a一定是正数 B.a不是正数 C.-a是负数 D.a不是负数 【答案】一个数的绝对值一定是大于或等于 0 的数 A 错误，
41、还可能为 0 B 错误，为正数或 0 C 错误，有可能为 0 D 正确，绝对值一定为正数或 0，不可能为负数 知识点知识点 3 绝对值与数的大小绝对值与数的大小 1）正数大于 0，0 大于负数。 2）理解：绝对值是指距离原点的距离 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。 例例 1. 排序： 5 4 ， 3 2 ， 4 5 ，0，2. 【答案】正数0负数；负数的绝对值越大，反而越小 因为，所以 27 所以0 2 例例 2. （1）若 a0，则 a+b=+（a+b） （2）.若 a0，b0，bb； 当 ab=0 时，a=b； 当 aba+c；a+c0 【答案】因为，所以 b+c
42、0，错误 因为 bc，所以 a+ba+c，正确 因为，所以 a+c0，错误 41 因为 a0，b0，所以 a+b0，正确 例例 2. 若3x与42 y互为相反数，求 x+y 的值。 【答案】因为3x与24y互为相反数 所以 x+3=0 且 2y4=0 解得：x=3，y=2 x+y=1 题型题型 2 定义新运算定义新运算 解题技巧：解题技巧：该类题型会定义一种我们未学习过的运算规则，我们只需要照定义的运算规则， 将题干写成有理数之间的运算即可。然后在直接按照有理数的运算法则求解最终答案。 例例 1.将 4 个数 a，b，c，d 排成 2 行 2 列，两边各加一条竖线后记作，定义 。计算。 【答案
43、】=（26）+（）=2623 例例 2.定义一种运算，规定 ab=。计算 23。 【答案】 42 1.4 有理数的乘除法有理数的乘除法 知识框架知识框架 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 有理数的乘法法则有理数的乘法法则 1）规律：几个非零数相乘，值为绝对值相乘，符号由负号个数确定（奇数个为负， 偶数个为正） 任何数乘 0，积为 0 例例 1. 计算：（-2） 3 4 （-1） 1.2 （-1 5 4 ） （-2.5） （- 9 5 ） （-3） （-1） 2 （-6） 0 （-7） 【答案】 （1）原式=24 （2）原式=3 （3）原式=0 知识点知识点 2 有理数乘法的运算律
44、有理数乘法的运算律 1）正数乘法运算定律可推广到有理数中： 交换律：a b=b a 结合律：a b c=a （b c） 43 分配率：a （b+c）=a b+a c 注：运用运算律时，因数作为一个整体，符号要与因数一同变换 2）运用运算律的一些技巧（先当作正数计算出有理数的数值，最后在判断符号） 运用结合律，将能约分的先结合计算。如：10 5 1 3 1 小数与分数相乘，一般先将小数化为分数。如：1.27 3 带分数应先化为假分数的形式。如： 3 2 7 5 1 几个分数相乘，先约分，在相乘。如； 5 4 4 3 3 2 2 1 一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。 如：12 （
45、4 1 3 1 2 1 ） 例例 1. 计算： ) 2 1 1() 3 1 ( ) 5 1 1( 5 4 1.25 （-4） （-25） （-8） ) 15 14 3 4 8( 4 3 ) 4 1 (25 2 1 )25( 4 3 25 【答案】 （1）原式= （2）原式= （3）原式=10 100=1000 （4）原式=61=4 （5）原式=25 （）=25 知识点知识点 3 倒数的概念倒数的概念 44 1）倒数：乘积是 1 的两个数互为倒数，0 无倒数。即 a b=1（a，b0） 注：注：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0 无倒数。 2）相反数：仅符号不同的两个数互为相反数，0 的相反
46、数为 0.即 a+b=0 例例 1. -1 3 1 的倒数是 ，-3.2 的倒数是 。 【答案】，倒数为 3.2，倒数为 例例 2. 4 1 1的倒数与 4 的相反数的商是多少？ 【答案】，倒数为 知识点知识点 4 有理数的除法法则有理数的除法法则 1）有理数除法法则；除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数 符号的判定看负号的数量，奇为负，偶为正 2）有理数乘除法运算步骤：绝对值运算数值 根据奇偶判断符号 例例 1.计算 -2+ 3 1 （-2） （-0.4）0.02 （-5） ) 24 1 () 6 1 2 1 4 1 ( 14 3 ) 7 2 ( 14 5 【答案】 （1）原式=2+（
47、 ） 45 =2 （2）原式= =100 （3）原式=（） （24） = （24） （24）+ （24） =6+124 =2 （4）原式= （ ） = 知识点知识点 5 有理数四则混合运算有理数四则混合运算 正数四则混合运算法则可推广到有理数中，先算括号里的，再算乘除，最后加减，同级 之间从左往右依次计算。 例例 1.计算 ) 3 1 2 1 13 1 () 78 1 ( （-28 8 7 +14 9 7 ）7 45. 118) 18 3 6 5 9 7 ( 6+3.95 6 【答案】 （1）原式=（） （） =（） （） 46 = （2）原式=（-28 7 8 +14 7 9 ） =28 14 =4 +2 =2 （3）原式= 18 18+ =1415+3+15 =17 知识点知识点 6 正负数的表示方法正负数的表示方法 有理数 a、b 例例 1.下列说法中正确的是： A.若 a+b0，则 ab0 B.若 a+b0，则 ab0，且 ab0，b0 D.若 a+b0，则 a0，b0，求式子 z z
