1、2020届届郑州市郑州市高中毕业年级第一次质量预测高中毕业年级第一次质量预测 理科数学试题卷理科数学试题卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写 清楚。 2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。 3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。满分 150 分，考试用时 120 分钟。 一、一、选择题（本大题共选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的
2、四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）项是符合题目要求的） 1. 设集合2|xNxA， 2 1xyyB，则BA的子集个数为 A.2 B.4 C.8 D.16 答案：B 2. 复数 i i z 1 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：D 3. 郑州市某一景区为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年 1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图. 根据该折线图，下列结论错误的是 A.月接待游客逐月增加 B.年接持游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D.各年1月至
3、6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 答案：A 4. 定义在R上的函数2) 3 1 ()( | mx xf为偶函數，) 2 1 (log2fa ，) 2 1 ( 3 1 fb ， )(mfc ，则 A.bac B.bca C.cba D.cab 答案：C 5. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如 图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机 投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是 A. 5 16 B. 5 18 C.10 D. 5 32 答案：B 6
4、. 已知向量a与b夹角为 3 ，且1|a，3|2|ba，则 |b A.3 B.2 C.1 D. 2 3 答案：C 7. 宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日 自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的a，b 分别为3，1，则输出的n等于 .5 B.4 C.3 D.2 答案：B 8. 函数xxf x x cos 12 12 )( 的图象大致是 答案：C 9. 第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志 愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多 少种 A.
5、60 B.90 C.120 D.150 答案：D 10. 已知抛物线xy2 2 的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M， N两点，若MFPF3，则|MN= A. 3 16 B. 3 8 C.2 D. 3 38 答案：B 11. 已知三棱锥ABCP 内接于球O，PA平面ABC，ABC为等边三角形，且边长为 3，球O的表面积为16，则直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为 A. 7 15 B. 5 15 C. 2 15 D. 10 15 答案：D 12. 1),1(log 1|,12| )( 2 xx xx xf,2 4 15 4 5 )( 23 mxxxg，若mxgfy)(有
6、9个零点，则m 的取值范围是 A.) 1 , 0( B.) 3 , 0( C.) 3 5 , 1 ( D.)3 , 3 5 ( 答案：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分. 13. 曲线12 2 xxey x 在点) 1 , 0(处的切线方程为_. 答案：10;xy 14. 若 n S是等差数列 n a的前n项和，若0 1 a， 12 3aa ，则 5 10 S S _. 答案：4; 15. 已知双曲线)0, 0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C 的右顶点为A，以A为圆心，6为半径做圆，圆A与双曲线C的一条渐近线相交于M，
7、N两点 ，若ONOM 2 3 （O为坐标原点），则双曲线C的离心率为_. 答案：; 5 30 16. 已知数列 n a满足：对任意 * Nn均有22 1 ppaa nn （p为常数，0p且 1p），若30,11, 6 , 2, 6,18, 5432 aaaa，则 1 a的所有可能取值的集合是_. 答案：.66, 2, 0 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每 个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17. （12分） 已知ABC外接圆半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，设 Cca
8、BARsin)()sin(sin2 22 . （1）求角B； （）若b=12，c=8，求sinA的值 【解析】(I) 22 2 (sinsin)()sin.RABacC 22 22 (sinsin)()sin2 ,RRABacCR 即： 222 .acbac 3 分 222 1 cos. 22 acb B ac 因为0,B所以 3 B 6 分 (II)若12,8bc，由正弦定理， sinsin bc BC , 3 sin 3 C , 由bc，故C为锐角， 6 cos. 3 C 9 分 36133 23 sinsin()sin(). 323236 ABCC 12 分 N O M B C A 18
9、. （12分） 已知三棱锥 M-ABC 中，MA=MB=MC=AC= 22 ，AB=BC=2，O 为 AC 的中点，点 N 在 校 BC 上，且BCBN 3 2 . （1）证明：BO平面 AMC； （2）求二面角 N-AM-C 的正弦值. 【解析】（I）如图所示：连接OM， 在ABC中： 2,2 2ABBCAC ，则 90 ,2ABCBO ，OBAC.2 分 在MAC中： 2 2MAMCAC ，O为AC的中点，则OMAC，且 6.OM 4 分 在MOB中： 2,6,2 2BOOMMB ，满足： 222 BOOMMB 根据勾股定理逆定理得到OBOM ,AC OM相交于O ， 故OB 平面AMC.
10、6 分 （）因为,OB OC OM两两垂直，建立空间直角坐标系 如图所示 因为2 2MAMBMCAC,2ABBC 则 (0,2,0), ( 2,0,0), (0, 2,0),(0,0, 6)ABCM 8 分 由 2 3 BNBC所以， 2 2 2 (,0) 33 N 设平面 MAN的法向量为( , , )mx y z，则 N O A C B M 2 5 225 2 (,0) ( , , )0, 3333 (0, 2, 6) ( , , )260 AN nx y zxy AM nx y zyz 令3y ，得( 5 3, 3, 1)m 10 分 因为BO 平面AMC，所以( 2,0,0)OB 为平
11、面AMC的法向量， 所以( 5 3, 3, 1)m 与( 2,0,0)OB 所成角的余弦为 5 65 3 cos, 79 279 m OB 所以二面角的正弦值为 2 5 322 79 |sin,|1 () 797979 m OB .12 分 19. （12分） 已知椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b x a y E的离心率为 2 2 ，且过点 )0 , 1 (C. （1）求椭圆 E 的方程； （2）若过点 )0 , 1( 的任意直线与椭圆 E 相交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，求证， 恒有 |2|CMAB . 【解析】（I）由题意知1b， 2 2 c a .1 分 又因为
12、 222 abc解得，2a . 3 分 所以椭圆方程为 2 2 1 2 y x. 4 分 （） 设过点 1 (,0) 3 直线为 1 3 xty，设 11 ,A x y， 22 ,B x y 由 2 2 1 3 1 2 xty x y 得 22 9 1812160ttyy，且 . 则 12 2 12 2 12 , 9 18 6 16 , 9 18 y y y t y t t 分 又因为 11 1,CAxy， 22 1,CBxy， 2 121212121212 4441 6 (1) (1)1 3339 C A C Bxxy yt yt yy yty ytyy 2 22 1641216 10 9
13、183 9 189 tt t tt ，10 分 所以CACB. 因为线段AB的中点为M，所以| 2|ABCM.12 分 20. （12） 水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处 理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A级水） 达到环保标准（简称达标）的概率为p（0p1）.经化验检测，若确认达标便可直接排放 ；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放. 某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化 验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的 化验结果必不达
14、标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本 达标，则原水池的污水直接排放 现有以下四种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验； 方案四：四个样本混在一起化验. 化验次数的期望值越小，则方案越“优“. （1）若 3 22 p，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率； （2）若 3 22 p，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优“？ 若“方案三”比“方案四“更“优”，求p的取值范围. 【解析】(I)该混合样本达标的概率是 2 2 28 () 39 ，2 分 所以根据对立事件原理，不达标的
15、概率为 81 1 99 .4 分 (II)（i）方案一：逐个检测，检测次数为 4. 方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为 1，概率为 8 9 ；若不达标则 检测次数为 3，概率为 1 9 .故方案二的检测次数记为 2，2的可能取值为 2,4,6. 其分布列如下， 2 2 4 6 p 64 81 16 81 1 81 可求得方案二的期望为 2 6416119822 ()246 818181819 E 方案四：混在一起检测，记检测次数为 4，4可取 1,5. 其分布列如下， 4 1 5 p 64 81 17 81 可求得方案四的期望为 4 6417149 ()15 81818
16、1 E . 比较可得 42 ()()4EE，故选择方案四最“优”9 分 (ii)方案三：设化验次数为 3 ， 3 可取 2,5. 3 2 5 p 3 p 3 1p 333 3 ()25(1)5 3Eppp； 方案四：设化验次数为 4 ， 4 可取1,5 4 1 5 p 4 p 4 1p 444 4 ()5(1)54Eppp； 由题意得 34 34 3 ()()5354 4 EEppp. 故当 3 0 4 p时，方案三比方案四更“优”12 分 21. （12分） 已知函数 x e xxxf x ln)(. （1）求)(xf的最大值； （2）若1) 1 ()(bxe x xxf x 恒成立，求实数
17、b的取值范围. 【解析】(I)( )ln x e f xxx x ，定义域(0,) ， 22 1(1)(1)() ( )1 xx exxxe fx xxx ， 由1 x exx ，( )f x在(0,1增，在(1,)减， max ( )(1)1f xfe 4 分(II) 1 ( )()e1 x f xxbx x ee lne1 xx x xxxbx xx lne10 x xxxbx eln1 x xxx b x min eln1 (), x xxx b x 6 分 令 eln1 ( ) x xxx x x ， 2 ln ( ) x x ex x x 令 2 ( )ln x h xx ex，(
18、)h x在(0,)单调递增，0, ( )xh x，(1)0he ( )h x在(0,1)存在零点 0 x，即 0 2 000 ()ln0 x h xx ex 000 1 ln 2 0 000 00 ln1 ln0(ln)() xxx x x exx ee xx 9 分 由于 x yxe在(0,)单调递增，故 00 0 1 lnln,xx x 即 0 0 1 x e x ( )x在 0 (0,)x减，在 0 (,)x 增， 0 00000 min 00 eln111 ( )2 x xxxxx x xx 所以2b.12 分 （二）选考题：共（二）选考题：共10分，请考生在第分，请考生在第22，23
19、题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第题记题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第题记 分分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程（10分） 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点P) 2 3 , 1 (，其参数方程 sin3 cos y ax （ 为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线E的极坐标方程； （2）若直线l交E于点A，B，且OAOB，求证： 22 | 1 | 1 OBOA 为定值，并求出这个定值. 【解析】(I)将点 3 (1, ) 2 P代入曲线 E 的方程， 得 1cos, 3 3sin, 2 a 解得 2 4a ，2 分 所以曲线E的
20、普通方程为 22 1 43 xy , 极坐标方程为 222 11 ( cossin)1 43 .5 分 ()不妨设点,A B的极坐标分别为 1212 ()()00, 2 AB ， 则 2222 11 2222 22 11 (cossin)1, 43 11 (cos ()sin ()1, 4232 即 22 2 1 22 2 2 111 cossin, 43 111 sincos, 43 8 分 22 12 11117 4312 ,即 22 117 |12OAOB 10 分 23. 选修4-5不等式选讲（10分） 已知函数mxxxf| 12| 1|)(. （1）求不等式mxf)(的解集； （2）若恰好存在4个不同的整数n，使得0)(nf，求m的取值范围. 【解析】(I)由 f xm，得， 不等式两边同时平方，得 22 1)(21)xx( ，3 分 即3 (2)0x x，解得20x . 所以不等式 f xm的解集为 | 20xx 5 分 ()设 g(x)|x1|2x1| 1 2, 2 1 ( )3 ,1, 2 2,1, xx g xxx xx 8 分 0( )f ng nm 因为( 2)(0)0gg，( 3)1, ( 4)2, (1)3.ggg 又恰好存在 4 个不同的整数 n，使得 0f n ， 所以21.m 故m的取值范围为1,2). 10 分
