1、 汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 1 道县、东安、江华、蓝山、宁远道县、东安、江华、蓝山、宁远 2020 届高三届高三 12 月联考试题月联考试题 理科数学理科数学 一一、选择题、选择题：本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.设集合|0 1 x Mx x ，|02Nxx，则MN （ ） A.|01xx B.|02xx C.|01xx D.|02xx 2.设为第三象限角， 3 sin 5 ，则sin2（ ） A. 7 25 B. 7 25
2、C. 24 25 D. 24 25 3.某几何体的三视图如图所示，则该三视图的体积为（ ） A. 4 3 B. 3 C.2 D. 8 3 4.以下说法错误的是（ ） A.命题“若 2 320xx，则1x ”的逆否命题为“若1x ，则 2 320xx” B.“1x ”是“ 2 320xx”的充分不必要条件 C.若pq为假命题，则p、q均为假命题 D.若命题p：x R， 2 10xx ，则p：x R， 2 1 0xx 5.若复数 22 1 ai i （aR）是纯虚数，则复数22ai在复平面内对应的点位于（ ） 汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 2 A.第一象限 B.第二象限 C.第三
3、象限 D.第四象限 6.湖面上飘着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个半径为6cm，深2cm的空穴，则取出该球 前，球面上的点到冰面的最大距离为（ ） A.8cm B.10cm C.18cm D.20cm 7.已知函数 3sin 2cos 2| 2 f xxx 的图像关于直线0x 对称，则（ ） A. f x的最小正周期为，且在0, 2 上为减函数 B. f x的最小正周期为，且在0, 2 上为增函数 C. f x的最小正周期为 2 ，且在0, 4 上为减函数 D. f x的最小正周期为 2 ，且在0, 4 上为增函数 8.定义在R上的偶函数 f x满足 2f xf x，且当0,1x时
4、， f xx，则函数 3 logyf xx的零点个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.6 9.设x，y满足约束条件 0 4312 x y x xy ，则 224 1 xy x 的取值范围是（ ） A.4,12 B.4,11 C.2,6 D.1,5 10.若函数 2 12 12 axxx f x xx 在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A., 1 B. 1 , 4 C. 1 , 2 D. 1 , 2 11.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且3b ，2c ，O为ABC的外心， 则AO BC （ ） 汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 3 A.13 2 B.
5、 5 2 C. 5 2 D.6 12.已知 fx是函数 2 ln()xxb f x x 的导函数，若存在 1 ,2 2 x ，使得 f xx fx ，则实 数b的取值范围是（ ） A. , 2 B. 3 , 2 C. 9 , 4 D.,3 二、填空题二、填空题：本题共本题共 4小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分. 13.已知等差数列 n a， n b的前n项和分别为 n S， n T，若 21 2 n n Sn Tn ，则 8 8 a b _. 14.观察分析下表中的数据： 多面体 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E） 三棱柱 5 6 9 四棱柱 6 8 12 五棱锥 6 6
6、10 猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式为_. 15.已知函数 4 f xx x ， 2xg xa，若 1 1 ,1 2 x ， 2 2,3x，使得 12 f xg x，则实数 a的取值范围是_. 16.以双曲线C： 22 22 1 xy ab （0a ，0b ）的右焦点,0F c为圆心，a为半径的圆与C的一条渐近线 交于A，B两点，若 2 3 ABc，则双曲线C的离心率为_. 三、解答题三、解答题：共共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题题为必考题，每个每个 试题考生都必须作答试题考生都必须作答.第第 2
7、2、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答. （一一）必考题必考题：共共 60 分分. 汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 4 17.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若1a ，2b ， 1 cos 4 C . （1）求ABC的周长； （2）求cos AC的值. 18.已知数列 n a的各项均为正数，其前n项和为 n S，且 11 2 24 nn aS， * nN. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 2 n nn ba ，求数列 n b的前n项和 n T. 19.如图，在梯形ABCD中，ABCD，1ADDCCB，60ABC，四边形AC
8、FE为矩形，平 面ACFE 平面ABCD，1CF . （1）证明：BC 平面ACFE； （2）设点M在线段EF上运动，平面MAB与平面FCB所成锐二面角为，求cos的取值范围. 20.如图，分别过椭圆E： 22 22 1 xy ab （0ab）的左、右焦点 1 F、 2 F的动直线 1 l， 2 l相交于点P，与 椭圆E分别交于A、B和C、D四点， 直线OA、OB、OC、OD的斜率 1 k，2k，3k，4k满足 1243 kkkk. 已知当 1 l与x轴重合时，2 3AB ， 4 3 3 CD . 汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 5 （1）求椭圆E的方程； （2）是否存在定点M
9、、N，使得PMPN为定值?若存在，求出点M、N的坐标及定值；若不存在， 请说明理由. 21.已知函数 ln30f xxaxa. （1）讨论函数 f x的零点个数； （2）若1,2a ，函数 2 3 2 2 x g xxmfx 在区间,3a有最值，求实数m的取值范围. （二二）选考题选考题：共共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23题中任选一题作答题中任选一题作答，如果多做如果多做，则按所做的第一则按所做的第一 题计分题计分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知曲线C： 3cos 2sin x y （为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立 极坐标系，直线
10、l：2cossin6. （1）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程； （2）在曲线C上取一点P，使点P到直线l的距离最大，求最大距离及此时P点的坐标. 23.选修 4-5；不等式选讲 已知函数 2f xxxa，0a . （1）当1a 时，求不等式 4f x 的解集； （2）若 4f x 恒成立，求实数a的取值范围. 高三理科数学参考答案高三理科数学参考答案 一、选择题一、选择题（本大题共本大题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B C B C A C A D B C 汇聚名校
11、名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 6 二、填空题二、填空题（本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分） 13. 31 17 14.FVE2 15.,1 16. 3 5 5 三、三、解答题解答题（本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70分分） 17.解：（1） 222 2cos4cababC2c 故ABC的周长为 5. （2） 1 cos 4 C 且C为ABC的内角 15 sin 4 C 由正弦定理 sinsin ac AC 得 15 sin 8 A 7 cos 8 A 11 coscoscossinsin 16 ACACAC 18.解：（1）依题知 2
12、1 2 nnn Saa 2 111 1 2 aaa，又0 n a 1 1a 2 111 1 2 nnn Saa ，2n 由得 22 11 1 2 nnnnn aaaaa 22 11nnnn aaaa ，且 1 0 nn aa ，则 1 1 nn aa n a是等差数列，111 n ann （2） 11 22 nn nn ban ， 23n 1111 123 2222 n Tn ， 2341 11111 123 22222 n n Tn ， 汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 7 两式相减得 1231 111111 222222 nn n Tn ， 1 1 112 22 1 22 1
13、 2 n nn n Tnn . 19 解： （1） 证明： 在梯形ABCD中， 因为ABCD，1ADDCCB，60ABC， 所以2AB ， 所以 222 2cos603ACABBCAB BC， 所以 222 ABACBC，所以BCAC 因为平面ACFE 平面ABCD，平面ACFE平面ABCDAC， 因为BC 平面ABCD，所以BC 平面ACFE （2）由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系， 令 03FM，则0,0,0C， 3,0,0A，0,1,0B，,0,1M， 3,1,0AB ，, 1,1BM， 设 1 , ,nx y z为平面MAB的一个法向
14、量， 由 1 1 0 0 nAB n BM 得 30 0 xy xyz ，取1x ，则 1 1, 3, 3n， 2 1,0,0n 是平面FCB的一个法向量 12 2 12 2 4 11 cos 1 3313 n n nn 03，当0时，cos有最小值 7 7 ，当3时，cos有最大值 1 2 7 1 cos, 72 汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 8 20.解：（1）当 1 l与x轴重合时， 1234 0kkkk，即 34 kk ， 2 l垂直于x轴，得22 3ABa， 2 24 3 3 b CD a ， 得3a ，2b ，椭圆E的方程为 22 1 32 xy . （2）焦点
15、1 F， 2 F坐标分别为1,0，1,0， 当直线 1 l或 2 l斜率不存在时，P点坐标为1,0或1,0， 当直线 1 l， 2 l斜率存在时，设斜率分别为 1 m， 2 m，设 11 ,A x y， 22 ,B xy， 由 22 1 1, 32 1 , xy ymx 得 2222 111 236360mxm xm， 2 1 12 2 1 6 23 m xx m ， 2 1 12 2 1 36 23 m x x m ， 1212 121 1212 11yyxx kkm xxxx 2 1211 11 22 1211 24 22 22 xxmm mm x xmm ， 同理 2 34 2 2 4
16、2 m kk m ， 1234 kkkk， 12 22 12 44 22 mm mm ，即 1221 20mmmm， 由题意知 12 mm， 12 20m m 设,P x y，则20 11 yy xx ，即 2 2 1 2 y x（1x ）， 汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 9 又当直线 1 l或 2 l斜率不存在时，P点坐标为1,0或1,0也满足此方程， 点,P x y在椭圆 2 2 1 2 y x上， 存在点0, 1M和点0,1N，使得PMPN为定值，定值为2 2. 21、解（1）0x ， 1 fxa x ， 若0a ， 0fx， f x在0,上单调递增， 且 33 0f
17、eae ，0x 时， f x ， 此时， f x存在唯一零点；若0a ， 1 0 ax fx x ， 1 x a 1 0,x a ， f x， 1 ,x a ， f x， max 1 ln4f xfa a 当ln40a，即 4 ae时， f x无零点；当ln40a，即 4 ae时， f x有一个零点； 当ln40a，即 4 0ae时， f x有两个零点. 综上：0a 或 4 ae时， f x有一个零点； 4 0ae时， f x有两个零点. 4 ae时， f x无零点. （2） 32 2 m g xxa xx ， 2 321gxxma x g x在,3a上有最值， g x连在,3a上不单调， 而
18、 010 g ， 30 0 g g a 恒成立. 又1,2a，由 119 05 2 g amam a ， 32 3032660 3 gmam ，故 3219 32 m . 22.解：（1）l的直角坐标方程为260xy 汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 10 曲线C的普通方程为 22 1 34 xy （2）设 3cos ,2sinP，则 4sin6 3 5 d 当sin1 3 时，d最大 3 ,1 2 P ， max 2 5d 23.解：（1）当1x 时，解得12x 当01x时，解得01x 当0x时，解得 2 0 3 x 不等式的解集为 2 |2 3 xx （2）当xa时， 32f xxa； 当0xa时， 2f xxa ； 当0x时， 32f xxa ； 所以 f x的最小值为a，4a
