1、 - 1 - 20192019-20202020 学年度上学期省六校协作体高二期初考试学年度上学期省六校协作体高二期初考试 数学试题数学试题 一选择题（每题一选择题（每题 4 4 个选项中，只有一个是符合题目要求的）个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1.设集合 11 | 22 Mxx， 2 |Nx xx，则MN（ ） A. 1 0, ) 2 B. 1 (,1 2 C. 1 1,) 2 D. 1 (,0 2 【答案】A 【解析】 试题分析：由题意得， 1 1 (, ) 2 2 M ，0,1N ， 1 0, ) 2 MN，故选 A. 考点：1.解一元二次不等式；2.集合的交集. 2.袋中装有红
2、球 3 个、白球 2 个、黑球 1 个，从中任取 2 个，则互斥而不对立的两个事件是 （ ） A. 至少有一个白球；至少有一个红球 B. 至少有一个白球；红、黑球各一个 C. 恰有一个白球；一个白球一个黑球 D. 至少有一个白球；都是白球 【答案】B 【解析】 袋中装有红球 3 个、白球 2 个、黑球 1 个,从中任取 2 个, 在 A 中,至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故 A 不成立; 在 B 中,至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生,是互斥而 不对立的两个事件,故 B 成立; 在 C 中,恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能
3、同时发生,不是互斥事件,故 C 不成立; 在 D 中,至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故 D 不成立. 故选 B. 点睛:事件 A 和 B 的交集为空,A 与 B 就是互斥事件,也可以描述为:不可能同时发生的事件,则 事件 A 与事件 B 互斥,从集合的角度即AB ;若 A 交 B 为不可能事件,A 并 B 为必然事件, 那么事件 A 与事件 B 互为对立事件,即事件 A 与事件 B 在一次试验中有且仅有一个发生,其定 义为:其中必有一个发生的两个互斥事件为对立事件. - 2 - 3.若 cos22 2 sin 4 ,则cossin的值为 A. 7 2 B. 1 2
4、C. 1 2 D. 7 2 【答案】C 【解析】 22 cos2cossin2 22 cossin sincos2 sin 4 ， 1 cossin 2 。选 C。 4.已知函数 f x和 g x均为R上的奇函数，且 2h xaf xbg x，(5)6h，则 ( 5)h 的值为（ ） A. 2 B. 8 C. 6 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 代入5x ，和5x ，利用奇函数的性质，两式相加求值. 详解】 5552hafbg,5552hafbg, f x和 g x 都是奇函数， 55 ,55ffgg 即 5552hafbg +可得 554hh 5452hh . 故选 A. 【点睛】
5、本题考查了奇函数的性质求值，属于基础题型. - 3 - 5.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 2a ，3b ，60B ， 则A （ ） A. 30 B. 45 C. 45或135 D. 30或 150 【答案】B 【解析】 分析：利用正弦定理和三角形边角大小关系，即可求得答案 详解： 2a ，3b ，60B ， 60abA，, 又由正弦定理 sinsin ab AB ，得 sin2 sin 2 aB A b 45A 故选 B. 点睛：本题考查了正弦定理和三角形的边角大小关系，考查推理能力与计算能力. 6.已知非零向量ab，的夹角为60，且121bab，则a （ ） A. 1
6、 2 B. 1 C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】 试题分析：由得，解得，故 选 A 考点：向量的数量积 7.若样本 123 1111 n xxxx， ，的平均数是10，方差是2，则对样本 123 2222 n xxxx， ，下列结论正确的是 ( ) A. 平均数为 10，方差为 2 B. 平均数为 11，方差为 3 - 4 - C. 平均数为 11，方差为 2 D. 平均数为 12，方差为 4 【答案】C 【解析】 样本 123 1111 n xxxx， ，的平均数是10，则对样本 123 2222 n xxxx， ，的平均 数为10 1 11 ， 样本 123 1111xxx， ，与
7、样本 123 2222 n xxxx， ，的方差相等， 均为 2；选 C. 8.设l为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，/l，则l B. 若/l，l/，则/ / C. 若l，l/，则/ / D. 若l，l，则/ / 【答案】D 【解析】 分析】 逐个选项一一分析，得出正确选项. 【详解】A.设m ，只有当l m时，才有l，其他情况都不垂直，故 A 不正确； B.当两平面相交时，直线l平行于交线（且不在两平面内）时，直线与两平面平行，故 B 不正 确； C.应推出，故 C 不正确； D.,ll时,能推出/ / ，D 正确. 故选 D. 【点睛】本题考查了线线，线面，和面
8、面的位置关系，属于基础题型. 9.已知函数 2 2 ( )logf xxx，则不等式(1)(2)0f xf的解集为（ ） A. (, 1)(3,) B. (, 3)(1,) C. (), 111)3(, D. ( 1,1)(1,3) 【答案】C - 5 - 【解析】 当0x 时， 2 2 logf xxx，故其在0,内单调递增，又函数定义域为0x x ， 2 2 22 loglogfxxxxxf x ， 故其为偶函数， 综上可得 f x在,0 内单调递减，在0,内单调递增且图象关于 y 轴对称， 120f xf即 12f xf等 价 于 12 31 10 x x x 且1x ， 即 不 等 式
9、 的 解 集 为 3, 11,1 ，故选 C. 点睛：本题主要考查了函数的单调性与奇偶性在解抽象函数不等式中的应用，熟练掌握初等 函数的形式是解题的关键； 根据性质得到 f x为定义域内的偶函数且在,0内单调递减， 在0,内单调递增，故而可将不等式等价转化为在定义内解不等式12x即可. 10.如图，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是 45，在D 点测得塔顶A的仰角是 30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度 为 A. 10 2m B. 20 m C. 20 3m D. 40 m 【答案】D 【解析】 【分析】 设mABx，在BCD中，利用余弦
10、定理列出关于x的方程，即可求解，得到答案 【详解】由题意，设mABx，则m3 mBCxBDx， 在BCD中，由余弦定理，得 222 =2cos120+BDBCCDBC CD - 6 - 化简得 2 20800=0xx-，解得 =40 mx即 AB=40 m 故选 D 【点睛】本题主要考查了三角形的实际应用问题，其中解答解三角形实际问题时需要根据正、 余弦定理结合已知条件灵活转化边角之间的关系，合理使用正、余弦定理列出方程是解答的 关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题 二多选题（每题二多选题（每题 4 4 个选项中，有多个正确选项）个选项中，有多个正确选项） 11.函数( )co
11、s|cos |f xxx,xR是 A. 最小正周期是 B. 区间0,2上的增函数 C. 图象关于点(,0)()kkZ对称 D. 周期函数且图象有无数条对称轴 【答案】D 【解析】 由上图可得 ( )f x 最小正周期为小正周期是2 ， 区间 0,2上的有增有减，图象不关于点 ,0kkZ对称，周期函数且图象有无数条对称轴，故 A、B、C 错误，D 正确，故选 D. 12.如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，线段 11 B D上有两个动点,E F，且 1 2 EF ， 则下列结论中错误的是（ ） - 7 - A. ACAF B. EF 平面ABCD C. 三棱锥ABEF的体积为
12、定值 D. AEF的面积与BEF的面积相等 【答案】AD 【解析】 【分析】 逐一分析选项，得到答案. 【详解】A.因为ACBD，而 11 /BDB D，所以 11 ACB D，即ACEF，若AC AF， 则AC 平面AEF，即可得ACAE，由图像分析显然不成立，故 A 不正确； B.因为/ /,EFBD EF平面ABCD，BD 平面ABCD，所以/ /EF平面ABCD，故 B 正确； C. 11 11111 332212 A BEFBEF VShEFBBACEFBBAC ，所以体积是定 值，故 C 正确； D.设 11 B D的中点是O，点A到直线EF的距离是AO，而点B到直线EF的距离是
13、1 BB，所 以 1 AOBB， 1 11 , 22 AEFBEF SEFAO SEFBB ，所以AEF的面积与BEF的 面积不相等，D 不正确. 故选 AD. 【点睛】本题考查了几何体中的线线，和线面关系，属于在中档题型. 13.设 x表示离x最近的整数，即若 11 22 mxmmZ，则 xm给出下列关 于函数( ) | |f xxx的四个命题( ) A. 函数( )yf x的定义域是R，值域是 1 (0, 2 ； - 8 - B. 函数( )yf x的图像关于直线 2 k x （kZ）对称； C. 函数( )yf x是周期函数，最小正周期是 1； D. 函数( )yf x在2,3上是增函数
14、 【答案】BC 【解析】 【分析】 逐一分析选项，得到答案. 【详解】A.由题意可知函数的定义域是R， 1 1 , 2 2 xxxm ，所以函数的值域是 1 0, 2 ，故 A 不正确； B.易判断 C 是正确的，那么令0m ，当 11 22 x时，可得 f xxxx，此区间 的对称轴是0x ，利用图像以及周期1T ，可得对称轴间的距离时半个周期，那么对称轴 方程是 2 k xkZ C. 11111f xxxxmxmxxf x ,所以 f x时周期 函数，并且周期时 1.故 C 正确； D. 2.12.12.12.1 20.1f,2.92.92.92.930.1f ， 2.12.9, 2.12
15、.9ff，可知函数不是单调递增函数，所以 D 正确. 故选 BC. 【点睛】本题考查了函数新定义，抽象函数的周期，单调以及值域问题，解决新定义问题， 需明确定义的含义，如果感觉抽象可以先列举一些特殊的数值，便于类比和归纳，本题属于 难题. 三填空题三填空题. . 14.已知:( 1,2),(3,)OAOBm ， 若O A O B ， 则m _;若OA OB ， 则m _ 【答案】 (1). 3 2 (2). 6 【解析】 - 9 - 【分析】 根据公式可知，OA OB 时， 1212 0x xy y ； / /OAOB时，1221 0x yx y. 【详解】由已知OA OB ，可知1 3 20
16、m ，可知 3 2 m ； 由 / /OAOB可知，1 2 3m ，可知6m. 故填： 3 ; 6 2 . 【点睛】本题考查了向量平行和垂直的坐标表示. 15.已知函数 2 ( )2 3sincos2cosf xxxx，若 0, 2 x ，则 f x的最小值为_， x _ 【答案】 (1). 2 (2). 0 【解析】 【分析】 根据二倍角公式和辅助角公式化简，然后再根据定义域求函数的最小值. 【详解】( )3sin2cos212sin 21 6 f xxxx 当0, 2 x 时， 5 2, 66 6 x ， 1 sin 2,1 62 x ，即当 1 sin 2 62 x 时，函数取得最小值
17、1 212 2 此时2 66 x ，解得0x . 故填：-2；0 【点睛】本题考查了三角函数的化简，和给定区间求函数的最小值的问题，属于基础题型. 16.设ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， 6 A 若 7 12 C ，则 b a _，若 2 ,2 3 3 Bb ，则BC边上的中线长_ 【答案】 (1). 2 (2). 7 - 10 - 【解析】 【分析】 首先求角B,再根据正弦定理 sin sin bB aA 求比值； 第二问， 首先根据余弦定理求腰长， 在ABD 内，根据余弦定理求中线长. 【 详 解 】 4 ABCBAC ， 根 据 正 弦 定 理 可 知 sin
18、 sin 4 2 sin sin 6 bB aA ； 由已知可知 6 C ，那么设acx，根据余弦定理可知， 2 22 2 322cos120xx， 解得2x ， 设BC边的中点为点D，那么 2 2,1, 3 ABBDB， 根据余弦定理， 222 2cos120ADABBDABBD，代入可得 2 7AD ， 解得7AD . 故填：2, 7. 【点睛】本题重点考查了正弦定理和余弦定理，属于基础题型. 17.若奇函数 f x定义域为R， 当 12 xx时， 12 12 0 f xf x xx ， 则 f x是单调递_ 函数，若对任意的xR，不等式(cos2sin )(sin)0fxxfxa恒成立，
19、则a的最大值 是_ 【答案】 (1). 减 (2). 3 【解析】 【分析】 因为 12 xx，所以不妨设 12 xx，根据单调函数的定义，即可得到结果； 利用函数是奇函数，变形为cos2sinsinfxxf ax，再利用函数是单调递减函数， 可变形为cos2sinsinxxax恒成立，再利用参变分离转化为cos22sinaxx恒成 立，转化为函数求最值. - 11 - 【详解】因为 12 xx，所以不妨设 12 xx， 根据已知 12 12 0 f xf x xx ，可知 12 0f xf x，即 12 f xf x 所以 f x是单调递减函数； 不等式可变形为cos2sinsinfxxf
20、ax恒成立，根据函数是单调递减函数， 所以cos2sinsinxxax ，即cos22sinaxx， 即mincos22sinaxx ， 设cos22sinyxx，变形为 2 2 13 2sin2sin12 sin 22 yxxx sin1,1x ，当sin1x 时，函数取得最小值3， 3a ，即a的最大值是-3. 故填：减；-3. 【点睛】本题重点考查到了单调函数的定义，以及利用函数的单调和奇偶性解抽象不等式， 对于恒成立问题，一般可以参变分离转化为求函数的最值问题，本题属于中档题型. 四解答题。四解答题。 18.【2018 年天津市河西区高三三模】已知函数 2 2coscos 21 3 f
21、 xxx （1）求函数 f x的最小正周期和对称轴方程； （2）讨论函数 f x在 4 4 ，上的单调性 【答案】 （1） 最小正周期， 对称轴方程为 62 k x ，kZ； （2） f x在区间 4 6 ， 上单调递增；在区间 64 ， 上单调递减 【解析】 分析： （1）利用二倍角公式、两角和的余弦公式化简函数表达式，再利用周期公式和整体思 想进行求解； （2）利用整体思想和三角函数的单调性进行求解 - 12 - 详解： （1） 2 2coscos 21 3 f xxx 13 cos2cos2sin2sin 2 226 xxxx ， 因为2，所以最小正周期 2 T ， 令2= 62 xk
22、，所以对称轴方程为 62 k x ，kZ （2）令222 262 kxk ，得 36 kxk ，kZ， 设 4 4 A ， 36 B xkxkkZ ， 易知 4 6 AB ， 所以，当 4 4 x ，时， f x在区间 4 6 ，上单调递增；在区间 64 ，上单调递减 【名师点睛】本题考查二倍角公式、两角和公式、辅助角公式、三角函数的图象和性质等知 识，意在考查学生的转化能力和基本计算能力 19.某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出 60 名学生，将其成绩(均为整数)分成六段40,50)，50,60)，90,100后画出如下部分频 率分布直方图观察图形给
23、出的信息，回答下列问题： (1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分； (3)从成绩是40,50)和90,100的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率 【答案】 （1）0.3，直方图见解析； （2）及格率 75%，平均分为 71 分； （3） 1 2 。 - 13 - 【解析】 试题分析； （）根据频率分布直方图，用 1 减去成绩落在其它区间上的频率，即得成绩落在 7080，） 上的频率，从而补全频率分步直方图 （） 先根据频率分布直方图，用 1 减去成绩落在40 5050 60，）， ，） 上的频率，即可得到这 次考试的及
24、格率 () 成绩在40 50，） 的学生人数为6人，在90100， ） 的学生人数为 3 人 用A 表示“从成绩在40 50，）和90100， ）的学生中任选两人，他们的成绩在同一分数段”， 1 A表示“所选两人成绩落在40 50，）内”， 2 A表示“所选两人成绩落在90100， ）内”，则 1 A 和 2 A是互斥事件，由互斥事件的概率可得他们在同一分数段的概率. 试题解析： （）成绩落在70，80）上的频率是 03，频率分布直方图如下图 () 估计这次考试的及格率（60 分及以上为及 格） 为：1- -0.0110- -0.01510=75 平均分：450.1+550.15+650.15
25、+750.3 +850.25+950.05=71 () 成绩在40，50）的学生人数为 0.0101060=6 在90，100）的学生人数为 0.0051060=3 用 A 表示“从成绩在40，50）和90，100的学生中任选两人，他们的成绩在同一分数 - 14 - 段”， 1 A表示“所选两人成绩落在40， 50） 内”， 2 A表示“所选两人成绩落在90， 100内”， 则 1 A和 2 A是互斥事件，且 12 AAA, 从而 12 P AP AP A, 因为 1 A中的基本事件个数为 15， 2 A中的基本事件个数为 3，全部基本事件总数为 36， 所以 所求的概率为 1531 362
26、P A . 20.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且 3cos2 sin aA cC . （1）求角A的大小； （2）若5bc，且ABC的面积为3，求a的值. 【答案】() 2 3 ；() 21. 【解析】 【分析】 （）由题意结合正弦定理边化角，整理计算可得sin1 6 A ，则 2 3 A . （）由三角形面积公式可得：4bc ，结合余弦定理计算可得 2 21a ，则21a . 【详解】 （）由正弦定理得， ， ，即 ， （）由：可得 - 15 - ， ， 由余弦定理得：， . 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题 中若出现边的
27、一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、 余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围 21.汽车的普及给人们的出行带来了诸多方便，但汽车超速行驶也造成了诸多隐患.为了解某 一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的 200 辆汽车的时速，所得数 据均在区间40,80中，其频率分布直方图如图所示. （1）求被抽测的 200 辆汽车的平均时速. （2）该路段路况良好，但属于事故高发路段，交警部门对此路段过往车辆限速60/km h.对 于超速行驶，交警部门对超速车辆有相应处罚：记分（扣除驾驶员驾照分数）和罚款.罚款 情况如下： 超速情况
28、10%以内 10%20% 20%50% 50%以上 罚款情况 0 元 100 元 150 元 可以并处吊销驾照 求被抽测的 200 辆汽车中超速在 10%20%的车辆数. 该路段车流量比较大，按以前统计该路段每天来往车辆约 2000 辆.试预估每天的罚款总数. 【答案】(1) 57/km h (2) 20 辆；44000 辆 【解析】 - 16 - 【分析】 （1）根据频率分布直方图的平均数的计算公式计算； （2）首先计算超速在 10%20%的速度 在66/72/km hkm h之间，根据频率分布直方图可求得这个区间的面积，即频率，200频 率=频数，即超速在 10%20%的车辆数；根据可知罚
29、款 100 元的频率 1 p，速度在 72/80/km hkm h之间的频率 2 p，最后罚款总额为 12 2000100150pp. 【详解】 （1）平均时速45 0.2 55 0.5 65 0.275 0.157/km h （2）超速在 10%20%的速度在66/72/km hkm h之间 速度在66/70/km hkm h之间的车辆数为200 0.2=40辆 速度在66/70/km hkm h之间的车辆数为 2 4016 5 辆 速度在70/80/km hkm h之间的车辆数为200 0.120辆 所以速度在70/72/km hkm h之间的车辆数为 1 204 5 辆 故超速 10%2
30、0%的车辆约16420辆 设任意一辆车的罚款数为X，被抽测的 200 辆汽车中均没有超速 50%以上， 故 12 ()10015022 1025 E X 元 所以预计罚款总数约为2000 2244000元 【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求解平均数，以及根据频率分布直方图计算频率和 频数，以及期望，需记住频率分布直方图中每组数据对应的长方形的面积表示这组的频率， 频数/样本容量=频率. 22.ABC的内角、 、ABC的对边分别为abc、 、，已知sinsin 2 AC abA （1）求B； （2）若ABC为锐角三角形，且3b ，求ABC面积的取值范围 【答案】(1) 60B ； (2) 3
31、 3 3 , 24 【解析】 【分析】 （1）根据正弦定理边角互化，将等式化简为sinsin 2 AC B ，再利用ABC,以及 - 17 - 二倍角公式化解求角B的值； （2）根据正弦定理， sinsinsin abc ABC ，表示 , a c，再利用面积公式 1 sin 2 SacB，利用 两角和的正弦公式和降幂公式化简，最后根据角的范围求取值范围. 【详解】 （1）由题设及正弦定理得sinsinsinsin 2 AC ABA 因为sin0A，所以sinsin 2 AC B 由180ABC，可得sincos 22 ACB ， 故cos2sincos 222 BBB 因为cos0 2 B
32、，故 1 sin 22 B ，因此60B （2）根据正弦定理 3 2 sinsinsin3 2 acb ACB ，可得2sin,2sinaA cC 因ABC，所以sinsinsin 3 CABA , 这样 113 sin2sin2sin3sinsin 22323 SacBAAAA , 而 13 3sinsin3sinsincos 322 SAAAAA 2 3333 sinsincossin 2 22426 AAAA ABC是锐角三角形，所以 62 A , 5 2, 66 6 A 1 sin 2,1 62 A , 333 3 sin 2,3 42624 A . 【点睛】本题重点考查了正弦定理边角
33、互化解三角形，以及利用边角互化把边转化为角，转 - 18 - 化为三角函数给定区间求取值范围的问题，本题的易错点是忽略锐角三角形的条件，或是只 写出0 2 A ，这样即便函数化简正确，取值范围也错了. 23.已知函数 sin0,0f xxb的图象两相邻对称轴之间的距离是 2 ，若将 f x的图象先向右平移 6 个单位，再向上平移3个单位，所得函数 g x为奇函 数 （1）求 f x的解析式； （2）若对任意0, 3 x ， 2 220fxm f xm恒成立，求实数m的取值范围 【答案】(1) ( )sin 23 3 f xx ；(2) 1 3 3 , 2 【解析】 【分析】 （1）根据对称轴间
34、的距离是半个周期， 21 22 ，求得，再求平移后的函数解析式， 利用奇函数过原点，可求得其他系数； （2）首先求 f x的范围，再利用参变分离转化为 1 ( ) 1 ( ) 1 mf x f x 恒成立，转化为求 最值的问题. 【详解】解： （1） 2 2 2 ，2 sin 2)(f xxb 又( )sin 23 6 g xxb 为奇函数，且0， 则,3 3 b ， 故( )sin 23 3 f xx （2）由于0, 3 x ， 故3( )13f x ，13( ) 13f x ， - 19 - 2 220fxm f xm恒成立， 整理可得 1 ( ) 1 ( ) 1 mf x f x 由13( ) 13f x ， 得： 1 3 314 3 ( ) 1 2( ) 13 f x f x ， 故 1 3 3 2 m ，即m取值范围是 1 3 3 , 2 【点睛】本题重点考查了利用函数的性质和求函数的解析式，以及函数平移变换，对于恒成 立一般利用参变分离转化为求函数的最值，本题属于中档题型. - 20 -
