1、带电粒子在单一磁场中的运动 1. 如图，边长为 l 的正方形 abcd 内存在匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面（abcd 所在平面）向外。 ab 边中点有一电子源 O，可向磁场内沿垂直于 ab 边的方向发射电子。已知电子的比荷为 k。则从 a、d 两点射出的 电子的速度大小分别为 A 1 4 kBl， 5 4 kBl B 1 4 kBl， 5 4 kBl C 1 2 kBl， 5 4 kBl D 1 2 kBl， 5 4 kBl 2. 如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出。下列说法 正确的是 A粒子带正电 B粒子在b点速率大于
2、在a点速率 C若仅减小磁感应强度，则粒子可能从 b 点右侧射出 D若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短 3. 如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相 同的速率经过 P 点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速度为 1 v，这些粒子在磁场边界的出射点分布在 六分之一圆周上；若粒子射入速度为 2 v，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作 用，则 21 :vv为 A3 2： B21 ： C31 ： D32： 4.如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从 A 点沿直径
3、AOB 方向射入磁场， 经过t时间从 C 点射出磁场，OC 与 OB 成 600角。现将带电粒子的速度变为 3 v ，仍从 A 点沿原方向射入磁场，不 计重力，则粒子在磁场中运动时间变为多少？ 5. 如图所示，在 0xa、oya/2 范围内有垂直于 xy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B.坐标原点 0 处有一 个粒子源，在某时刻发射大量质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在.xy 平面 内，与 y 轴正方向的夹角分布在 090 范围内.己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于 a/2 到 a 之间，从发射粒子 到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中
4、做圆周运动周期的四分之一，求最后离开磁场的粒子从粒子源 射出时的 (1)速度大小； (2)速度方向与 y 轴正方向夹角的正弦. 6.如图所示，一带电量为 2.010-9C 质量为 1.810-16Kg 的粒子，在直线上一点 O 沿 30角方向进入磁感应强度为 B 的 匀强磁场中，经历 1.510-6s 后到达直线上另一点 P （重力不计）求： （1）粒子作圆周运动的周期； （2）磁感应强度 B 的大小； （3）若 OP 距离为 0.1m，则粒子的运动速度多大？ 7. 如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N， MN=L， 粒子打到板上时会
5、被反弹 （碰撞时间极短） ， 反弹前后水平分速度不变， 竖直分速度大小不变、 方向相反 质 量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且 d0）的粒子从 P 点在纸面内垂直于 OP 射出。己知粒子运动轨迹经 过圆心 O，不计重力。求 （1）粒子在磁场中做圆周运动的半径； （2）粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间。 9.如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静 止开始经电压U加速后， 沿平行于x轴的方向射入磁场； 一段时间后， 该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。
6、已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离 为d，不计重力。求 （1）带电粒子的比荷； （2）带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。 答案解析答案解析 1. 如图，边长为 l 的正方形 abcd 内存在匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面（abcd 所在平面）向外。 ab 边中点有一电子源 O，可向磁场内沿垂直于 ab 边的方向发射电子。已知电子的比荷为 k。则从 a、d 两点射出的 电子的速度大小分别为 A 1 4 kBl， 5 4 kBl B 1 4 kBl， 5 4 kBl C 1 2 kBl， 5 4 kBl D
7、 1 2 kBl， 5 4 kBl 【答案】B 【解析】 【作图】（1）以aO的中点O为圆心,以aO为直径（以 2 1 Ao=OO为半径）作半圆,如下左图； （2）连接OD,作OD的中垂线,e为垂足,交Oa的延长线于O; （3）以O为圆心,以OO为半径,画弧,此弧过O、D,见下右图。 左图：从 a 点射出的电子运动轨迹，半径 4 a l R ，代入公式 qB mv R 得 4 klB va; 右图：从 d 点射出的电子运动轨迹，OD=l 2 5 ， 5 1 cosDOO ,半径 4 5 cos 2 d l DOO OD R ，代入公式 qB mv R 得 4 5 d klB v 。所以答案为
8、D。 2. 如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出。下列说法 正确的是 A粒子带正电 B粒子在b点速率大于在a点速率 C若仅减小磁感应强度，则粒子可能从 b 点右侧射出 D若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短 【答案】C 【解析】根据左手定则，粒子带负电，A 错误；匀速圆周运动，速率不变，B 错误；若仅减小磁感应强度，根据半 径公式 qB mv r ，则粒子做圆周运动的半径增大，所以粒子可能从 b 点右侧射出，C 正确；若仅减小入射速率，根据 半径公式 qB mv r ，则粒子做圆周运动的半径减小，如下图所示，则粒子在磁场中圆周运动的
9、圆心角变大，根据 2 T t ，因为 qB m T 2 不变，圆心角变大，则运动时间变长，所以 D 错误。, 3. 如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相 同的速率经过 P 点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速度为 1 v，这些粒子在磁场边界的出射点分布在 六分之一圆周上；若粒子射入速度为 2 v，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作 用，则 21 :vv为 A3 2： B 21 ： C 31 ： D3 2： 【解析】 如下图， 设磁场的圆形区域的半径为r， 若粒子射入速度为 1 v， 射出的最
10、大圆半径为 1 r， 则 22 60 sin 0 1 r rr， 若粒子射入速度为 2 v，射出的最大圆半径为 2 r，则 2 3 2 120 sin 0 2 r rr，根据圆半径公式 qB mv r ，所以 3 1 2 1 2 1 r r v v 【答案】C 4.如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从 A 点沿直径 AOB 方向射入磁场， 经过t时间从 C 点射出磁场，OC 与 OB 成 600角。现将带电粒子的速度变为 3 v ，仍从 A 点沿原方向射入磁场，不 计重力，则粒子在磁场中运动时间变为多少？ 作图步骤： （1） 从 A 作 AO1 使 AO1 垂
11、直于 AB （2） 连接 AC，作 AC 的垂直平分线，交 AO1 于 O1 （3） 以 O1 为圆心，O1A 为半径作圆弧，如图中 AC 弧 （4） 在 AO1 截取 AO2，使 AO2=1 3 1 AO （5） 以 O2 为圆心，O2A 为半径作圆弧，如图中 AD 弧 （6） 连接 OO2. 【解析】设圆形磁场区域的半径为 R， 粒子以速度v射入时，半径 qB mv r 1 , 根据几何关系知 0 1 60tan R r ，所以Rr3 1 ; 运动时间TT 6 1 360 60 t. 粒子以速度 3 v 射入时，半径 12 3 1 3 r qB v m r =R 3 3 设第 2 次射入时
12、的圆心角为，则 3 2 tan 2 r R ，所以 0 120 则第 2 次射入的粒子在磁场中运动的时间为t2 3 1 360 120 2 TTt 5. 如图所示，在 0xa、oya/2 范围内有垂直于 xy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B.坐标原点 0 处有一 个粒子源，在某时刻发射大量质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在.xy 平面 内，与 y 轴正方向的夹角分布在 090 范围内.己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于 a/2 到 a 之间，从发射粒子 到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一，求最后离开磁场的粒子
13、从粒子源 射出时的 (1)速度大小； (2)速度方向与 y 轴正方向夹角的正弦. 【解答】（1）设粒子的发射速度为 v，粒子做圆周运动的轨道半径为 R，轨迹如图： 根据洛伦兹力提供向心力，有：qvB=m v2/R 解得：R= mv/(qB) 当 0xa 时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆心为 C 的圆弧，圆弧与磁场的边界相切，如图所示，设 该粒子在磁场中运动的时间为 t，依题意，t=T/4，回旋角度为OCA= /2.设最后离开磁场的粒子的发射方向与 y 轴 正方向的夹角为 ， 由几何关系有：Rsin=R- a/2,Rsin=a-Rcos,又 sin2+cos2=1 解得：R=(2-
14、6/2)a,v=(2- 6 2 ) qBa/m,sin= （6- 6)/10 故最后从磁场中离开的粒子的速度为：v=(2- 6 2 ) qBa/m （2） 由第一问可知， 最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的速度方向与 y 轴正方向夹角的正弦为 sin= (6- 6)/10 故答案为： （1）v=(2- 6 2 ) qBa/m （2）sin=( 6- 6)/10 对于以上的题目和解答，我要问三问: 1. 图形是怎样画出来的？ 2. 为什么如图所画的粒子的轨迹是在磁场中运动时间最长？ 3. 从方程 Rsin=R- a/2, Rsin=a-Rcos, 是如何解得结果 R=(2- 6 2 )a,v=(
15、2- 6 2 ) qBa/m,sin= （6- 6)/10 的？ 我试图回答以上问题： 1. 图形是怎样画出来的？ 先从结果解出数据：轨道半径 R=(2- 6 2 )a=0.775a，速度方向与 y 轴夹角：根据 sin= （6- 6)/10=0.3551，查得 0 21 。 作图步骤如下： （1） 作直角坐标系 xoy （2） 在 x 轴上取（a,0）点,y 轴上取（0,a/2）点，以 0a 和 0a/2 为邻边作矩形，画出磁场边界。(作图时取 a=8cm) （3） 从 0 作 OC,使aoc=210，并在 OC 上截取 OC=R=0.775a=6.2cm. （4） 以 C 为圆心，CO 为
16、半径作圆弧，交 y=a/2 边与 D，交 x=a 边于 A. （5） 从 O 作圆弧的切线 Ov，即为速度方向，它与 y 轴夹角为。 （6） 连接 CD,从 A 作 x=a 的垂线交 CD 于 E,CD 与 x 轴相交于 F，连接 CA，则 CA 与 CD 夹角为。 2. 为什么如图所画的粒子的轨迹是在磁场中运动时间最长？ 作图步骤： （1） 先作坐标及磁场区域，方法如上 （2） 从 0 作 OC，OC1,OC2,使aoc=210，aoc1=150,aoc2=300,并分别在 OC、OC1、OC2上截取 OC=OC1=OC2=R=0.775a=6.2cm. （3） 分别以 C、C1、C2为圆心
17、，R 为半径作圆弧，分别交磁场边界于 A、B、D。 （4） 用量角器测得 OCA=900，OC1B= 1 =480，OC2D= 2 =840. 根据求带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动的时间的公式Tt 360 ，知如上图所画的粒子的轨迹是在磁场中运 动时间最长。 3. 从方程 Rsin=R- a/2 Rsin=a-Rcos 解得结果 R=(2- 6 2 )a, v=(2- 6 2 ) qBa/m, sin= （6- 6)/10 方法如下： 由得 R a R a R 2 1 2 sin 由=得 )cos1 (2 3 a R 且 2 sin1cos 将代入得sin1 3 1 sin- 3 2 两边
18、平方得关于 sin的一元二次方程0 3 1 sin 3 4 sin 9 10 2 用公式法解方程得 sin= （6- 6)/10（加号舍去） 代入式可解得 R=(2- 6 2 )a, 根据求圆周运动半径的公式 qB mv R ,解得 v=(2- 6 2 ) qBa/m。 解的过程是先求sin后求 R，如果企图先求 R，则得到关于 R 的一元 3 次方程，不好解了。 6.如图所示，一带电量为 2.010-9C 质量为 1.810-16Kg 的粒子，在直线上一点 O 沿 30角方向进入磁感应强度为 B 的 匀强磁场中，经历 1.510-6s 后到达直线上另一点 P （重力不计）求： （1）粒子作圆
19、周运动的周期； （2）磁感应强度 B 的大小； （3）若 OP 距离为 0.1m，则粒子的运动速度多大？ 【解析】（1）粒子运动轨迹如图所示： 由几何知识可知，粒子在磁场中转过的圆心角： =360-=360-230=300， 粒子在磁场中的运动时间：t=T 360 则粒子的周期：T=sst 66 108 . 1105 . 1 300 360360 （2）粒子在磁场中做圆周运动的周期：T= qB m2 则磁感应强度：B= qT m2 = T 69 16 108 . 1102 108 . 12 0.314T （3）粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力， 由牛顿第二定律得：qvB=m r v2
20、 由几何知识可知：OP=2rsin30， 解得：v3.49105m/s； 答：（1）粒子做匀速圆周运动的周期为 1.810-6s； （2）磁感应强度 B 的大小为 0.314T； （3）若 OP 的距离为 0.1m，则粒子的运动速度 v 为 3.49105m/s 7. 如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N， MN=L， 粒子打到板上时会被反弹 （碰撞时间极短） ， 反弹前后水平分速度不变， 竖直分速度大小不变、 方向相反 质 量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且 d0
21、）的粒子从 P 点在纸面内垂直于 OP 射出。己知粒子运动轨迹经 过圆心 O，不计重力。求 （1）粒子在磁场中做圆周运动的半径； （2）粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间。 【解析】 （1） 用电脑“画图”做的图 如上图，在三角形 OPQ 中，根据正弦定理， cos 3 )90sin( 3 sin 0 rrr ，得 3 1 tan。 据几何关系，r R R3 2cos ，解得rR 3 4 。 （2）根据 R mv Bqv 2 ，得 m Bq m BqR v 3 4 ， 带电粒子在圆内做匀速直线运动， Bq m v r t 2 32 。 【答案】 （1）r 3 4 ， （2） Bq m 2 3
22、 。 （ m edB U 2 22 ）. 9.如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静 止开始经电压U加速后， 沿平行于x轴的方向射入磁场； 一段时间后， 该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。 已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离 为d，不计重力。求 （1）带电粒子的比荷； （2）带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。 【解析】（1）设带电粒子的质量为 m，电荷量为 q，加速后的速度大小为 v。由动能定理有 2 1 2 qUmv 设粒子在磁场中做匀速圆周运
23、动的半径为r，由洛伦兹力公式和牛领第二定律 2 v qvBm r 由几何关系知 d= 2r 联立式得 22 4qU mB d （2）由几何关系知，带电粒子射入磁场后运动到x轴所经过的路程为 tan30 2 r sr 带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为 s t v 联立式得 2 3 () 423 Bd t U 【解析】另外解法（2）设粒子在磁场中运动时间为t1，则 U Bd qB m Tt 8 2 4 1 4 1 2 1 (将比荷代入) 设粒子在磁场外运动时间为t2，则 U Bd qU md qU md v t 12 3 6 3 26 y 22 2 带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为 21 ttt，代入t1和t2得 2 3 () 423 Bd t U .
