1、 全国高中数学历届全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编联赛与各省市预赛试题汇编 专题专题 18 集合真题汇编与预赛典型例题集合真题汇编与预赛典型例题 1 【2019 年全国联赛】若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则 x 的值为 . 【答案】 【解析】由题意知，x 为负值，. 2 【2018 年全国联赛】设集合 A=1，2，3，99，B=2x|x A，C=x|2xA，则 BC 的元素个数为 【答案】24 【解析】由条件知，. 故 BC 的元素个数为 24. 3【2013 年全国联赛】 设集合.则集合 中所有元素的和为_. 【答案】-5 【解析】
2、 易知，. 当时，； 当时，. 因此，集合. 从而，集合 中所有元素的和为. 4 【2011 年全国联赛】设集合.若 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 ，则集合_. 【答案】 【解析】 显然，在集合 的所有三元子集中每个元素均出现了 3 次.于是， . 从而，集合 的四个元素分别为. 因此，集合. 故答案为: 5 【2019 年全国联赛】设 V 是空间中 2019 个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段， 记 E 为这些线段构成的集合.试求最小的正整数 n，满足条件：若 E 至少有 n 个元素，则 E 一定含有 908 个 二元子集.其中每个二元子集中的两条线段有公共端
3、点，且任意两个二元子集的交为空集. 【答案】 【解析】我们来证明一个更为一般的引理：简单连通图 H 有 n 个顶点，m 条边，则一定可以将其边集划分 为个二元子集，二元子集之间不交且每个二元子集内的边有公共端点。 证明：归纳对 m，m=1，2，3，显然成立. 设结论对 mk 成立，k3， 则 m=k+1 时，考虑所有叶子顶点，若有两片叶子连在同一顶点 B 上，则将 AiB 与 AjB 分为 二元子集，对其余 m-2 条边由归纳假设，可分为个二元子集且两两不相交，结论成立， 否则设分别接在顶点上，若存在度为 2，设 Bi与 Ai，C 相连，将与 BiC 取下，同理由归纳假设结论成立， 否则对任意
4、，将去掉，得图，则在中没有叶子结点，连通，则为 一个环，此时设 B1在环上与 C，D 相连，在 H 中把与 B1C 去掉，图依然连通，由归纳假设同理可证， 引理证毕.故原命题成立. 6 【2015 年全国联赛】 设为四个有理数， 使得. 求的值. 【答案】 【解析】 由条件知为六个互不相同的数，且其中没有两个为相反数. 于是的绝对值互不相等. 不妨设. 则中最小的、次小的两个数分别为. 故 . 结合，只可能. 由此易知 . 经检验，两组解均满足条件. 从而，. 7 【2015 年全国联赛】设，其中，个互不相同的有限集合，满足 对任意，均有.若表示有限集合的元素个数） ，证明：存在 ，使得 属于
5、中的至少 个集合. 【答案】见解析 【解析】 不妨设. 设在中与不相交的集合有 个，重新记为； 设包含的集合有 个，重新记为. 由已知条件，得，即. 于是，得到一个映射. 显然， 为单射.从而，. 设. 在中除去后，在剩下的个集合中，设包含的集合 有个，由于剩下的个集合中，设包含的集合有个，由于剩下的个集合中 每个集合与的交非空，即包含某个，从而， . 不妨设. 则由式知，即在剩下的个集合中，包含的集合至少有个. 又由于，故均包含. 因此，包含的集合个数至少为 . 8 【2014 年全国联赛】设.求最大的整数 ，使得集合 S 有 k 个互不相同的非空子集，具有 性质：对这 k 个子集中任意两个
6、不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的 最大元素均不相同. 【答案】 【解析】 对有限非空实数集 A，用分别表示集合 A 的最小元素与最大元素. 考虑集合 S 的所有包含 1 且至少有两个元素的子集. 注意到， 故. 于是，这样的子集一共个. 显然满足要求. 接下来证明：当时，不存在满足要求的 k 个子集. 用数学归纳法证明：对整数，在集合的任意个不同非空子集中， 存在两个子集，满足，且. 显然，只需对的情形证明上述结论. 当时，将的全部七个非空子集分成三组， 第一组： 3 ， 1，3 ， 2，3 ； 第二组： 2 ， 1，2 ； 第三组： 1 ， 1，2，3. 由抽
7、屉原理，知任意四个非空子集必有两个在同一组中， 取同组中的两个子集分别记为，在排在 前面的记为，则满足结论. 假设结论在时成立.考虑时的情形. 若中至少有个子集不含，对其中的个子集用归纳假设，知存在两个子集满足结 论. 若至多有-1 个子集不含，则至少有+1 个子集含，将其中+1 个子集均去掉，得 到1，2，n的+1 个子集. 由于1，2，n的全体子集可分为组，每组两个子集互补，故由抽屉原理，知在上述+1 个子 集中一定有两个属于同一组，即互为补集. 因此，相应地有两个子集满足，这两个集合显然满足结论. 于是，时结论成立. 综上，. 9 【2013 年全国联赛】一次考试共有道试题， 名学生参加
8、，其中为给定的整数.每道题的得分 规则是：若该题恰有 名学生没有答对，则每名答对该题的学生得 分，未答对的学生得零分.每名学生的总 分为其道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为.求的最大可能值. 【答案】m(n-1) 【解析】 对， 设第 题没有答对者有人.则第 题答对者有人.由得分规则， 知这个人在第 题 均得分. 设 名学生的得分之和为 .则. 因为每一个人在第 道题上至多得分，所以， . 由，知. 则 . 由柯西不等式得. 故 . 另一方面，若有一名学生全部答对，其他名学生全部答错，则 . 综上，的最大值是. 10 【2012 年全国联赛】试证明：集合满足 （1）对每个，若，则一定
9、不是的倍数； （2）对每个表示中的补集） ，且，必存在，使的倍 数. 【答案】 （1）见解析（2）见解析 【解析】 （1）对任意，设.则. 若 是任意一个小于的正整数，则 . 由于中，一个为奇数，它不含质因子 2，另一个为偶数，它含质因子 2的幂的次数最多为 ，因此， 一定不是的倍数. （2）若，且，设，其中，为大于 1的奇数. 则. 下面给出三种证明方法. 方法 1 令. 消去. 由，知方程必有整数解 其中，为方程的特解. 记最小的正整数解为.则. 故，使得的倍数. 方法 2 注意到，由中国剩余定理，知同余方程组 在区间上有解，即存在，使得的倍数. 方法 3 由，总存在，使得. 取，使得.则
10、. 存在，使得. 此时，. 从而的倍数. 1 【2018 年江苏】在 1，2，3，4，1000 中，能写成的形式，且不能被 3 整除的数 有_个。 【答案】501. 【解析】 设，若，则.又 ，因此， 当 且 仅 当. 令， 则 ，因为，从而符合条件的数的个数为 . 故答案为：501 2 【2018 年重庆】设集合恰有一个公共元素为 a，则实数 a=_ 【答案】6 【解析】 因为 a-1a，a+1a，所以公共元素为，解得 b=8， 故答案为：6 3 【2018 年广西】 某含有三个实数的集合既可以表示为， 也可以表示为， 则 的值为_. 【答案】2 【解析】 由题意可知.由集合相等可以得到，从
11、而得到. 因此，且.所以. 4 【2018 年湖南】已知，当时，视为不同的对，则这样的对的 个数有_个. 【答案】27 【解析】 由集合 A、B 都是的子集，. 当时，B有 1 种取法； 当 A 为一元集时，B有 2种取法； 当 A 为二元集时，B有 4种取法； 当 A 为三元集时，B有 8种取法. 故不同的（A，B）对有（个）. 故答案为：27 5 【2018 年广东】设集合，其中，表示不大于 x的最大整数，则 _. 【答案】 【解析】 因为，所以，的值可取-2，-1，0，1. 当时，无解； 当时，； 当时，无解； 当时， 因此，. 6 【2018 年贵州】牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还
12、有他的女儿都是网球选手，这四人中有以下情况： 最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；最佳选手与最差选手年龄相同则这四人中最佳选手是 _ 【答案】牛得亨先生的女儿 【解析】 由题意知，最佳选手和最佳选手的孪生同抱年龄相同；由，最佳选手和最差选手的年龄相同；由，最 佳选手的孪生同胞和最差选手不是间一个人因此，四个人中有三个人的年龄相同由于牛得亨先生的年 龄肯定大于他的儿子和女儿，从而年龄相同的三个人必定是牛得亨先生的儿子、女儿和妹妹由此，牛得 亨先生的儿子和女儿必定是中所指的孪生同胞 因此，牛得亨先生的儿子或女儿是最佳选手，而牛得亨先生的妹妹是最差选手由，最佳选手的孪生同 胞一定是牛得亨先生的儿子
13、，而最佳选手无疑是牛得亨先生的女儿 故答案为：牛得亨先生的女儿 7 【2018 年山东】 集合满足， 若 中的元素个数不是 中的元素， 中 的元素个数不是 中的元素，则满足条件的所有不同的集合 的个数为_ 【答案】186 【解析】 设 中元素个数为，则 中元素个数为， 依题意 ，此时满足题设要求的 的个数为 其中，当时，不满足题意，故 所以 的个数为 8 【2018 年河北】已知集合且 A=B，那么_. 【答案】2 【解析】 由 B 中有三个元素知，故 A 中，即有，又 若，则.此时. 若，则，或，或，不满足互异性，舍去. 故，所以. 9 【2018 年四川】 设集合， 若 的非空子集满足，
14、就称有序集合对 的“隔离集合对”，则集合 的“隔离集合对”的个数为_.（用具体数字作答） 【答案】6050 【解析】 设元子集，则的补集的非空子集.所以，“隔离集合对”的个数为 . 故答案为：6050. 10 【2018 年福建】设集合 M=m|mZ，且|m|2018，M的子集 S 满足：对 S 中任意 3 个元素 a，b，c（不 必不同） ，都有 a+b+c0.求集合 S 的元素个数的最大值. 【答案】20 【解析】 集合 S 的元素个数的最大值为 2018. 令 S=s|1s2018，sZ，显然集合 S符合要求，且|S|=2018. 另一方面，设 S 是满足题设条件的集合，显然（否则 0+
15、0+0=0）.设 S 中的所有正整数构成集合 A，S 中的所有负整数构成集合 B. 若，则；若，则. 下面考虑 A、B非空的情形. 对于集合 X， Y，记. 由题设可知， （否则， 设 x0(A+B)(S)， 则存在 aA， bB， cS， 使得 a+b=x0， c=x0.于是，存在 aS，bS，使得 a+b+c=0）.且 A+Bx|xZ，且|x|2017(事实上，A中元素2018，B 中元素1，于是 A+B 中元素2017；同理，A+B中元素1027.）. 设集合 A 中元素为 a1，a2，ak，集合 B中元素为 b1，b2，bl，且 a1a2ak，b1b2bl. a1+b1a2+b1a3+
16、b1ak+bl ak+b2 ak+bl. A+B 中至少有 k+l1个元素，即|A+B|k+l1=|S|1. 结合，且，可得， 4037=|M|A+B|+|S|=|A+B|+|S|S|1+|S|. |S|2019. 若|S|=2019，则|A+B|+|S|=4037=|M|. (A+B)(S)=M. 又由，知 2018S，2018S. 对于 k=1，2，3，1009，k与 2018k 中至少有一个不属于 S，k与2018+k 中也至少有一个不属于 S.因此，|A|1009，|B|1009. 2019=|S|=|A|+|5|1009+1009=2018，矛盾. 因此，. 综上可得，. 综上所述，
17、集合 S的元素个数的最大值为 2018. 11 【2018 年湖南】已知集合. (1)若，求实数 m 的取值范围: (2)若，求实数 m 的取值范围. 【答案】 （1）； （2） 【解析】 (1)集合，AB=B， AB， ，解得62， 实数 m 的取值范围是6,2. (2)集合， 当 AB=时，或者 m+9 2， 解得 m 3 或 m 11， AB时，11m3， 实数 m 的取值范围是(11,3). 12 【2018 年广东】已知正整数 n都可以唯一表示为 的形式， 其中 m为非负整数，） ，.试求中的数列严 格单调递增或严格单调递减的所有正整数 n的和. 【答案】 【解析】 设 A 和 B分
18、别表示中数列严格单调递增和递减的所有正整数构成的集合.符号 S（M）表示数集 M 中所有 数的和，并将满足式的正整数记为. 把集合 A 分成如下两个不交子集. 我们有. 对任意，令，则的双射. 由此得，从而. 又对任意，令， 则 g是 B到的双射，其中. 因为 所以 B中共有个元素，因此 . 又令表示 A中最高位数的正整数全体，A中其余的数和零所构成的集合记为， 则. 对任意，令 则 是 B到的双射，其中. 所以. 最后对任意，令. 则到 B的双射，其中. 所以 . 于是， 解之得. 由于 A和 B中都含有 1，2，8，因此所求正整数的和等于. 13 【2018 年山东】证明对所有的正整数，存在一个集合 ，满足如下条件： （1） 由都小于个正整数组成； （2）对 的任意两个不同的非空子集，集合 中所有元素之和不等于集合 中所有元素之和 【答案】见解析 【解析】 当时，取，则 满足条件 其次，当时，令 下面证明这样的 满足条件 事实上，设的两个不同的非空子集， 令表示集合 的所有元素之和，要证明的目标是 不妨设，注意到，对任意均有 所以，当都不属于时，均有 进一步，由于， 所以当中恰有一个属于时，例如，将有，此时； 类似地讨论中有两个或 3个同时属于时，均可得出 综上所述，当时满足条件的 都存在
