1、1.3.3函数的最大函数的最大(小小)值与导数值与导数第一章导数及其应用第一章导数及其应用栏目栏目导引导引第一章导数及其应用第一章导数及其应用学习导航学习导航学习目标学习目标重点难点重点难点重点重点:利用导数求函数的最值利用导数求函数的最值.难点难点:函数最值与导数的关系函数最值与导数的关系.栏目栏目导引导引第一章导数及其应用第一章导数及其应用新知初探新知初探 思维启动思维启动函数函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上的最值上的最值 如果在区间如果在区间a,b上函数上函数yf(x)的图象是的图象是一条连续不断的曲线一条连续不断的曲线,则该函数在则该函数在a,b上一定上一定能够取得能够取得_和和_
2、,并且函数的最并且函数的最值必在值必在_或或_处取得处取得.最大值最大值最小值最小值极值点极值点端点端点做一做做一做函数函数yx33x2,x2,2的最大值为的最大值为_,最小值为最小值为_.答案答案:020栏目栏目导引导引第一章导数及其应用第一章导数及其应用题型一求已知函数的最值题型一求已知函数的最值 求函数求函数f(x)x42x23在在3,2上上的最值的最值.【解解】法一法一:f(x)4x34x,令令f(x)4x(x1)(x1)0,得得x1,x0,x1.当当x变化时变化时,f(x)及及 f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:x3(3,1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2f(x)00
3、0f(x)60 极大值极大值4 极极小小值值3 极极大大值值4 5当当 x3时时,f(x)取最小值取最小值60;当当 x1或或 x1时时,f(x)取最大值取最大值4.栏目栏目导引导引第一章导数及其应用第一章导数及其应用法二法二:f(x)x42x23,f(x)4x34x,令令f(x)0,即即4x34x0.解得解得:x1或或x0或或x1.又又f(3)60,f(1)4,f(0)3,f(1)4,f(2)5.所以所以 当当x3时时,f(x)有最小值有最小值60.当当x1时时,f(x)有最大值有最大值4.栏目栏目导引导引第一章导数及其应用第一章导数及其应用【点评点评】求函数求函数yf(x)在在a,b上的最
4、大值与上的最大值与最小值的步骤如下最小值的步骤如下:(1)求函数求函数yf(x)在在(a,b)内的极值内的极值;(2)将函数将函数yf(x)在各极值点与端点处的函数在各极值点与端点处的函数值值f(a),f(b)比较比较,其中最大的一个是最大值其中最大的一个是最大值,最最小的一个是最小值小的一个是最小值,得出函数得出函数f(x)在在a,b上的上的最值最值.当然当然,也可以采用列表法也可以采用列表法,只需将区间的只需将区间的端点值放在求函数极值表格的两端即可端点值放在求函数极值表格的两端即可.栏目栏目导引导引第一章导数及其应用第一章导数及其应用变式训练变式训练1.已知已知f(x)x32x24x5,
5、求函数在求函数在3,1上的最大值和最小值上的最大值和最小值.栏目栏目导引导引第一章导数及其应用第一章导数及其应用题型二已知函数的最值求参数的值题型二已知函数的最值求参数的值 若若 f(x)ax36ax2b(a0),x1,2的最大值为的最大值为3,最小值是最小值是29,求求a、b的值的值.【解解】f(x)3ax212ax3a(x24x).令令 f(x)0,得得x0,x4,x1,2,x0.a0,f(x),f(x)随随x变化情况如下表变化情况如下表:x(1,0)0(0,2)f(x)0f(x)最大值最大值3栏目栏目导引导引第一章导数及其应用第一章导数及其应用当当x0时时,f(x)取最大值取最大值,b3
6、.又又f(2)8a24a316a3,f(1)7a3f(2),当当x2时时,f(x)取最小值取最小值,16a329,a2,a2,b3.【点评点评】根据函数的最值求解待定系数的取根据函数的最值求解待定系数的取值或参数的取值范围是函数最值应用的常见值或参数的取值范围是函数最值应用的常见题型之一题型之一,因为参数会对函数的最值有影响因为参数会对函数的最值有影响,所所以解决此类问题常需要分类讨论以解决此类问题常需要分类讨论,并结合不等并结合不等式的知识进行求解式的知识进行求解.栏目栏目导引导引第一章导数及其应用第一章导数及其应用变式训练变式训练栏目栏目导引导引第一章导数及其应用第一章导数及其应用题型三与
7、最值有关的恒成立问题题型三与最值有关的恒成立问题 已 知 函 数已 知 函 数 f(x)x3 a x2 b x c(a,b,cR).(1)若函数若函数f(x)在在x1和和x3处取得极值处取得极值,试试求求a,b的值的值;(2)在在(1)的条件下的条件下,当当x2,6时时,f(x)2c恒成恒成立立,求求c的取值范围的取值范围.【思路点拨思路点拨】【解解】(1)f(x)3x22axb,函数函数f(x)在在x1和和x3处取得极值处取得极值,1,3是方程是方程3x22axb0的两根的两根.栏目栏目导引导引第一章导数及其应用第一章导数及其应用(2)由由(1)知知f(x)x33x29xc,f(x)3x26
8、x9.当当x变化时变化时,f(x)、f(x)随随x的变化如下表的变化如下表:x(,1)1(1,3)3(3,)f(x)00f(x)极大极大值值c5极小值极小值c27而而 f(2)c2,f(6)c54,当当x2,6时时,f(x)的最大值为的最大值为c54,要使要使f(x)2c 恒成立恒成立,只要只要 c5454.栏目栏目导引导引第一章导数及其应用第一章导数及其应用【名师点评名师点评】解决恒成立问题常用的方法是解决恒成立问题常用的方法是转化为求函数的转化为求函数的最值最值问题问题.通过通过分离参数分离参数,要使要使mf(x)恒成立恒成立,只要只要m大于大于f(x)的最大值即的最大值即可可;同理同理,
9、要使要使mf(x)恒成立恒成立,只需只需m0)在在 x1处取得极值处取得极值3c,其中其中 a,b,c为常数为常数.若对任意若对任意x0,不等式不等式f(x)2c2恒成立恒成立,求求c的取值范围的取值范围.栏目栏目导引导引第一章导数及其应用第一章导数及其应用所以所以f(x)48x3lnx(x0),令令f(x)0,解得解得x1.当当0 x1时时,f(x)1时时,f(x)0,此时此时f(x)为增函数为增函数.所以所以 f(x)在在x1处取得极小值处取得极小值f(1)3c,并且此极小值也是最小值并且此极小值也是最小值.栏目栏目导引导引第一章导数及其应用第一章导数及其应用函数的极值与最值的区别和联系函
10、数的极值与最值的区别和联系区别区别联系联系极极值值是在局部对函数是在局部对函数值的比较值的比较,表示函表示函数在某一点附近数在某一点附近的局部性质的局部性质极值可能极值可能有多个有多个,也也可能没有可能没有只能在只能在区间内区间内取得取得如果连续函如果连续函数在开区间数在开区间(a,b)内存在内存在最大最大(小小)值值,那么它也一那么它也一定是这个开定是这个开区间内的极区间内的极大大(小小)值值最最值值是在整个区间上是在整个区间上对函数值的比较对函数值的比较,考查函数在整个考查函数在整个区间上的情况区间上的情况最大最大(小小)值最多只值最多只有一个有一个可在区可在区间的端间的端点处取点处取得得失误防范失误防范(1)在开区间上连续的函数不一定有最值在开区间上连续的函数不一定有最值.例如例如ylog2x在在(0,2)是是连续的连续的.但在该区间上但在该区间上,ylog2x既没有最大值既没有最大值,也没有最小值也没有最小值.(2)有极值的不一定有最值有极值的不一定有最值,有最值的也未必有极值有最值的也未必有极值;极值有可能成极值有可能成为最值为最值,最值只要不在端点处取必定是极值最值只要不在端点处取必定是极值.
