1、第 1 章 传感与检测技术的理论基础 第 1 章 传感与检测技术的理论基础 1.1 测量概论测量概论 1.2 测量数据的估计和处理测量数据的估计和处理 第 1 章 传感与检测技术的理论基础 1.1 测量概论测量概论 1.1.1 测量测量 测量是以确定被测量的值或获取测量结果为目的的一系列操作。它可由下式表示：uxnnux(1-1)(1-2)式中：x被测量值；u标准量，即测量单位；n比值（纯数），含有测量误差。第 1 章 传感与检测技术的理论基础 1.1.2 测量方法测量方法 实现被测量与标准量比较得出比值的方法，称为测量方法。对于测量方法，从不同角度，有不同的分类方法。根据获得测量值的方法可分
2、为直接测量、间接测量和组合测量；根据测量方式可分为偏差式测量、零位式测量与微差式测量；根据测量条件不同可分为等精度测量与不等精度测量；根据被测量变化快慢可分为静态测量与动态测量；根据测量敏感元件是否与被测介质接触可分为接触式测量与非接触式测量；根据测量系统是否向被测对象施加能量可分为主动式测量与被动式测量等。第 1 章 传感与检测技术的理论基础 1.直接测量、直接测量、间接测量与组合测量间接测量与组合测量被测量与测得值之间关系可用以下式子分别表示：直接测量 y=x式中：y被测量的值；x直接测得值。间接测量 y=f(x)或y=f(x1,x2,xn)(1-4)(1-5)(1-3)第 1 章 传感与
3、检测技术的理论基础 组合测量),(),(),(2121222111mnnmmyyyfxyyyfxyyyfx(1-6)2.偏差式测量、偏差式测量、零位式测量与微差式测量零位式测量与微差式测量 3.等精度测量与不等精度测量等精度测量与不等精度测量 4.静态测量与动态测量静态测量与动态测量 第 1 章 传感与检测技术的理论基础 1.1.3 测量系统测量系统 1.测量系统构成测量系统构成 测量系统应具有对被测对象的特征量进行检测、传输、处理及显示等功能，一个测量系统是传感器、变送器（变换器）和其它变换装置等的有机组合。图1-1表示测量系统组成结构框图。图 1-1 测量系统组成框图 被 测 量被 测 对
4、 象传 感 器变 送 器传 输 通 道信 号 处 理 环 节显 示 装 置第 1 章 传感与检测技术的理论基础 2.开环测量系统与闭环测量系统开环测量系统与闭环测量系统 （1）开环测量系统y=k1k2k3x 相对误差niin121(1-7)(1-8)输入输出关系表示如下：被测对象x传感、变送k1x1放 大k2x2显 示k3y图1-2 开环测量系统框图第 1 章 传感与检测技术的理论基础 （2）闭环测量系统被测对象x传感、变送k1x1x放大k2x2输出、显示k3y反馈xf图 1-3 闭环测量系统框图 系统的输入输出关系为 xkxkkky111(1-10)第 1 章 传感与检测技术的理论基础 1.
5、1.4 测量误差测量误差 测量误差是测得值减去被测量的真值。1.测量误差的表示方法测量误差的表示方法 测量误差的表示方法有多种，含义各异。（1）绝对误差 绝对误差可用下式定义：=x-L式中:绝对误差；x测量值；L真值。(1-11)修正值c=-(1-12)修正后的实际测量值x为 x=x+c(1-13)第 1 章 传感与检测技术的理论基础（2）实际相对误差 实际相对误差的定义由下式给出：%100L(1-14)式中：实际相对误差，一般用百分数给出；绝对误差；L真值。由于被测量的真值L无法知道，实际测量时用测量值x代替真值L进行计算，这个相对误差称为标称相对误差，即%100 x(1-15)第 1 章
6、传感与检测技术的理论基础 （3）引用误差%100测量范围下限测量范围上限式中：引用误差；绝对误差。(1-16)（4）基本误差 （5）附加误差第 1 章 传感与检测技术的理论基础 xxi随机误差(1-17)式中：xi被测量的某一个测量值；x重复性条件下无限多次的测量值的平均值，即 nxxxxn21(n)2.测量误差的性质测量误差的性质 根据测量数据中的误差所呈现的规律及产生的原因可将其分为系统误差、随机误差和粗大误差。（1）随机误差第 1 章 传感与检测技术的理论基础 式中,L为被测量的真值。系统误差=x-L（2）系统误差 （3）粗大误差 在数据处理时，要采用的测量值不应该包含有粗大误差，即所有
7、的坏值都应当剔除。所以进行误差分析时，要估计的误差只有系统误差和随机误差两类。(1-18)第 1 章 传感与检测技术的理论基础 1.2 测量数据的估计和处理测量数据的估计和处理 1.2.1 随机误差的统计处理随机误差的统计处理 1.正态分布正态分布 设对某一被测量进行多次重复测量，得到一系列的测量值为xi，设被测量的真值为L，则测量列中的随机误差i为 i=xi-L i=1,2,n(1-19)正态分布的概率分布密度f()为 22221)(ef(1-20)第 1 章 传感与检测技术的理论基础 图 1-4 正态分布曲线 f(x)xL L Lf()(a)(b)o0第 1 章 传感与检测技术的理论基础
8、2.随机误差的数字特征随机误差的数字特征 (1)算术平均值算术平均值 对被测量进行等精度的n次测量，得n个测量值x1,x2,xn，它们的算术平均值为 niinxnxxxnx1211)(1(1-21)xxvii式中,vi为xi的残余误差（简称残差）。(1-22)由于被测量的真值为未知，这时可用算术平均值代替Lx第 1 章 传感与检测技术的理论基础 （2）标准偏差 标准差由下式算得:nnLxniinniin1212limlim）（(1-23)111lim1212nvxxnniiniins）（(1-24)第 1 章 传感与检测技术的理论基础 图 1-5 不同的正态分布曲线 yox0.511.5第 1
9、 章 传感与检测技术的理论基础 nsx(1-25)算术平均值的可靠性指标用算术平均值的标准差 来评定，它与标准差的估计值s的关系如下：5101520nsx0图 1-6 x/s 与n的关系曲线x第 1 章 传感与检测技术的理论基础 3.正态分布随机误差的概率计算正态分布随机误差的概率计算 如随机变量符合正态分布，它出现的概率就是正态分布曲线下所包围的面积。因为全部随机变量出现的总的概率为1，所以曲线所包围的面积应等于1，即 121)(222dxedxxfx随机变量落在任意区间（a，b）的概率为 dxebxaPPxbaa22221)(式中,Pa为置信概率。第 1 章 传感与检测技术的理论基础 是正
10、态分布的特征参数，区间通常表示成的倍数，如k。由于随机变量分布对称性的特点，常取对称的区间，即在k区间的概率为 dvekvkPPvkka22221)(式中:k置信系数；k置信区间(误差限)。第 1 章 传感与检测技术的理论基础 表表1-1 正态分布的正态分布的k值及其相值及其相应的概率应的概率 随机变量落在k范围内出现的概率为Pa，则超出的概率称为置信度，又称为显著性水平，用表示：=1-Pa 22Pa0 k k图 1-7 Pa与关系 第 1 章 传感与检测技术的理论基础 4.不等精度直接测量的权与误差不等精度直接测量的权与误差 等精度测量和不等精度测量（1）“权”的概念 权是相比较而存在的。权
11、用符号p表示，有两种计算方法：用各组测量列的测量次数n的比值表示p1 p2 .pm=n1 n2.nm(1-28)用各组测量列的标准差平方的倒数的比值表示(1-29)22221211:1:1:mmppp第 1 章 传感与检测技术的理论基础 miimiiimmmpppxppppxpxpxx11212211（1-30）（2）加权算术平均值 若对同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量列的算术平均值 ，相应各组权分别为 ，则加权平均值可用下式表示：12,mx xxpx12,mp pp（3）加权算术平均值 的标准差pxpxmiimiiixpmvpp112)1(1-31)第 1 章 传感与检测技术的理
12、论基础 1.2.2 系统误差的通用处理方法系统误差的通用处理方法 1.从误差根源上消除系统误差从误差根源上消除系统误差 由于系统误差的特殊性，在处理方法上与随机误差完全不同。主要是如何有效地找出系统误差的根源，并减小或消除。查找误差根源的关键，就是要对测量设备、测量对象和测量系统作全面分析，明确其中有无产生明显系统误差的因素，并采取相应措施予以修正或消除。由于具体条件不同，在分析查找误差根源时，并没有一成不变的方法，这与测量者的经验、水平以及测量技术的发展密切相关。通常，我们可以从以下几个方面进行分析考虑。第 1 章 传感与检测技术的理论基础 所用传感器，测量仪表或组成元件是否准确可靠。比如传
13、感器或仪表灵敏度不足，仪表刻度不准确，变换器、放大器等性能不太优良等都会引起误差，而且是常见的误差。测量方法是否完善，如用电压表测量电压，电压表的内阻对测量结果有影响。传感器仪表安装、调整或放置是否正确合理。例如，未调好仪表水平位置，安装时仪表指针偏心等都会引起误差。传感器或仪表工作场所的环境条件是否符合规定条件。例如，环境、温度、湿度、气压等的变化也会引起误差。测量者操作是否正确。例如，读数时视差、视力疲劳等都会引起系统误差。第 1 章 传感与检测技术的理论基础 2.系统误差的发现与判别系统误差的发现与判别（1）实验对比法（2）残余误差观察法oonnno(a)(b)(c)图 1-8 残余误差
14、变化规律 第 1 章 传感与检测技术的理论基础 （3）准则检查法 如马利科夫判据将残余误差前后各半分为两组，若“vi前”与“vi后”之差明显不为零，则可能含有线性系统误差。阿贝检验法是检查残余误差是否偏离正态分布，若偏离，则可能存在变化的系统误差。将测量值的残余误差按测量顺序排列,且设A=v21+v22+v2n B=(v1-v2)2+(v2-v3)2+(vn-1-vn)2+(vn-v1)2若 nAB112则可能含有变化的系统误差，但类型不能判定。第 1 章 传感与检测技术的理论基础 3.系统误差的消除系统误差的消除 （1）在测量结果中进行修正 恒值系统误差和变值系统误差 （2）消除系统误差的根
15、源 （3）在测量系统中采用补偿措施 （4）实时反馈修正 第 1 章 传感与检测技术的理论基础 1.2.3 粗大误差粗大误差 1.3准则准则 前面已讲到，通常把等于3的误差称为极限误差，对于正态分布的随机误差，落在3 以外的概率只有0.27%，它在有限次测量中发生的可能性很小。3准则就是如果一组测量数据中某个测量值的残余误差的绝对值|vi|3时，则该测量值为可疑值（坏值），应剔除。3准则又称莱以达准则。3准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则，它应用于测量次数充分多的情况。第 1 章 传感与检测技术的理论基础 2.肖维勒准则肖维勒准则 肖维勒准则是以正态分布为前提的，假设多次重复测量所得的n
16、个测量值中，某个测量值的残余误差|vi|Zc,则剔除此数据。实用中Zcm），显然，用一般的代数方法无法求解，而只有采用最小二乘法来求解。根据最小二乘法原理，在直接测得值有误差的情况下，欲求被测量最可信赖的值，应使残余误差的平方之和为最小，即 最小niiv12第 1 章 传感与检测技术的理论基础 若x1,x2,xm是被测量X1,X2,Xm最可信赖的值，又称最佳估计值，则相应的估计值亦有下列函数关系:mnmnnnmmmmxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222221212121111(1-36)第 1 章 传感与检测技术的理论基础 设l1，l2，ln为带有误差的实际直接测得值，它
17、们与相应的估计值y1,y2,yn之间的偏差即为残余误差，残余误差方程组为 nmnmnnnnnmmmmvxaxaxalylvxaxaxalylvxaxaxalyl)()()(22112222212122211212111111(1-37)第 1 章 传感与检测技术的理论基础 按最小二乘法原理，要得到可信赖的结果x1,x2,xm，上述方程组的残余误差平方和为最小。根据求极值条件，应使 00022212mxvxvxv(1-38)第 1 章 传感与检测技术的理论基础 将上述偏微分方程式整理，最后可写成 22112222211211221111laxaaxaaxaalaxaaxaaxaalaxaaxaa
18、xaammmmmmmmmm(1-39)式(1-39）即为重复性测量的线性函数最小二乘估计的正规方程。式中 nnlnmnmmmnnnnlalalalaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1221111112211111212221121121112121111111第 1 章 传感与检测技术的理论基础 正规方程是一个m元线性方程组，当其系数行列式不为零时，有唯一确定的解，由此可解得欲求被测量的估计值x1,x2,xm,即为符合最小二乘原理的最佳解。线性函数的最小二乘法处理应用矩阵这一工具进行讨论有许多便利之处。将误差方程（式1-37）用下列的矩阵表示：VXAL(1-40)式中，系数矩阵
19、为 nmnnmmaaaaaaaaaA212222111211第 1 章 传感与检测技术的理论基础 被测量估计值矩阵为 mxxxX11直接测得值矩阵为 nlllL21第 1 章 传感与检测技术的理论基础 残余误差矩阵为 nvvvV21残余误差平方和最小这一条件的矩阵形式为 最小nnvvvvvv2121),(第 1 章 传感与检测技术的理论基础 即 VV=最小 或 最小)()(XALXAL将上述线性函数的正规方程式（1-39）用残余误差表示，可改写成 000221122221121221111nnmmmnnnnvavavavavavavavava(1-41)第 1 章 传感与检测技术的理论基础 写
20、成矩阵形式为 021212221212111nnmmmnnvvvaaaaaaaaa即 AV=0(1-42)第 1 章 传感与检测技术的理论基础 由式（1-40）有 LAAAXLAXAAXALA)()(0)(1（1-43）式（1-43）即为最小二乘估计的矩阵解。第 1 章 传感与检测技术的理论基础 3.用经验公式拟合实验数据用经验公式拟合实验数据回归分析回归分析 在工程实践和科学实验中，经常遇到对于一批实验数据，需要把它们进一步整理成曲线图或经验公式。用经验公式拟合实验数据，工程上把这种方法称为回归分析。回归分析就是应用数理统计的方法，对实验数据进行分析和处理，从而得出反映变量间相互关系的经验公
21、式，也称回归方程。当经验公式为线性函数时，例如 y=b0+b1x1+b2x2+bnxn(1-44)称这种回归分析为线性回归分析，它在工程中应用价值较高。第 1 章 传感与检测技术的理论基础 在线性回归分析中，当独立变量只有一个时，即函数关系为 y=b0+bx 这种回归称为一元线性回归，这就是工程上和科研中常遇到的直线拟合问题。设 有 n 对 测 量 数 据(xi,yi)，用 一 元 线 性 回 归 方 程 拟合，则根据测量数据值，实际上只要求出方程中系数b0、b的最佳估计值，一元线性回归方程也就确定了。求取一元线性回归方程中系数b0、b的值，最常用的方法是利用最小二乘法原理，即应使各测量数据点
22、与回归直线的偏差平方和为最小，见图1-10。第 1 章 传感与检测技术的理论基础 图 1-10 用最小二乘法求回归直线 v1v3y4v5yxnxx5x4x3x2x1ynbxby024noy2y1y3y5第 1 章 传感与检测技术的理论基础 误差方程组为 nnnnnvbxbyyyvbxbyyyvbxbyyy)()()(0220222110111(1-46)式中：分别为在x1,x2,xn点上y的估计值。nyyy,21第 1 章 传感与检测技术的理论基础 用最小二乘法求系数b0、b同上，这里不再叙述。在求经验公式时，有时用图解法分析显得更方便、直观，将测量数据值（xi,yi）绘制在坐标纸上(称之为散
23、点图)，把这些测量点直接连接起来，根据曲线（包括直线）的形状、特征以及变化趋势，可以设法给出它们的数学模型（即经验公式）。这不仅可把一条形象化的曲线与各种分析方法联系起来，而且还在相当程度上扩展了原有曲线的应用范围。第 1 章 传感与检测技术的理论基础 1.2.5 测量不确定度测量不确定度 测量的目的是确定被测量的值或获取测量结果，测量结果的完整表述应包括估计值、测量单位及测量不确定度。众所周知，没有测量单位的数据不能表征被测量的大小，没有测量不确定度的测量结果不能评定测量的质量，从而失去或削弱了测量结果的可用性和可比性。不确定度这个术语虽然在测量领域已广泛使用，但表示方法各不相同。为此，早在
24、1978年国际计量大会(CIPM)责成国际计量局(BIPM)协同各国的国家计量标准局制定一个表述不确定度的指导文件。1993年，以国际标准化组织(ISO)等7个国际组织的名义制定了一个指导性的文件，即测量不确定度表示指南（GUM）。第 1 章 传感与检测技术的理论基础 测量不确定度可用标准差u(即前面的)表示，用标准差表示的测量不确定度称为标准不确定度。一般测量不确定度包括若干个分量，将这些分量合成后的不确定度称为合成标准不确定度，用uc表示。对正态分布而言，合成标准不确定度的置信概率只有68%。在一些重要的测量中，要求给出较高的置信概率，需采用扩展不确定度U，它是合成不确定度的倍数，即U=k
25、uc。测量不确定度是一个与测量结果联系在一起的参数。在测量结果的完整表示中，应有测量值的估计值y和测量不确定度U，即yU。第 1 章 传感与检测技术的理论基础 评定不确定度实际上是对测量结果的质量进行评定。不确定度按其评定方法可分为A类评定和B类评定。A类评定是用统计方法进行评定。即对某被测量进行等精度的独立的多次重复测量，得到一系列的测得值。A类评定通常以算术平均值x作为被测量的估计值，以x的标准差x作为测量结果的A类标准不确定度uA。B类评定用非统计分析方法，它不是由一系列的测得值确定，而是利用影响测得值分布变化的有关信息和资料进行分析，并对测量值进行概率分布估计和分布假设的科学评定，得到B类标准不确定度uB。B类评定在不确定度评定中占有重要地位，因为有时不确定度无法用统计方法来评定，或者可用统计法，但不经济可行,所以B类评定在实际工作中应用很多。
