1、4 4 函数项级数函数项级数 和函数的性质和函数的性质一、连续性一、连续性定理定理4.14.1(函数列的极限函数的连续性函数列的极限函数的连续性)定理定理4.24.2(函数项级数的和函数的连续性函数项级数的和函数的连续性)设设函函数数列列(),1 2()nnfx n,.IfxI ，在在 上上连连续续，且且在在 上上一一致致收收敛敛(),().f xf xI于于则则在在 上上连连续续设设级级数数1()(),(),nnInuxIS xuxC 在在 上上一一致致收收敛敛于于且且若若则则I.().()IIS xCC 表表示示 上上的的连连续续函函数数的的集集合合连续性连续性定理定理4.14.1的证明的
2、证明：由于由于定理得证定理得证.0()()f xf x 0 xI，000()()()()()()nnnnf xfxfxfxfxf x ()(),nfxf x又又因因为为一一致致收收敛敛到到0,Ns.t.nNxI 有有0033()(),()()nnfxf xfxf x 成成立立，0,(),nInNfxCxx 取取定定一一个个由由则则当当时时 有有03()()nnfxfx，0()().f xf x 例例1 1(1)(1)证明：证明：(2)(2)解：解：02cos(),()(,).nnxS xS xn 设设证证明明在在上上连连续续220coscos(,)nnxnxnn 由由于于在在上上一一致致收收敛
3、敛，且且(,)()(,).S x 在在上上连连续续，所所以以在在上上连连续续2103()cos,lim()nnxnxS xn xS x 已已知知求求3()nnxux 因因为为,所所以以2|x|当当时时，23(),nnux 12()2,nnux 在在上上一一致致收收敛敛，2()2,S x于于是是在在上上连连续续，1013134()lim()().nnxnS xS 例例2.2.（内闭一致收敛）内闭一致收敛）证明：证明：内闭一致收敛内闭一致收敛10(1)()().nxnS xne,证证明明在在上上连连续续10()()nxnS xne,虽虽然然在在上上不不一一致致收收敛敛，),在在上上连连续续。0)(
4、),S x 但但任任取取，它它在在上上一一致致收收敛敛。因因此此()S x 由由于于 的的任任意意性性，因因此此在在(0).,上上连连续续).,()(,CxSM任意性任意性由由.),()ln()()2(2上连续上连续在在证明：证明：nnnxxS证明：证明：虽然虽然上不一致收敛，上不一致收敛，在在),()ln()(2 nnnxxS上一致收敛，上一致收敛，但在但在MM,上连续，上连续，在在因此因此)(MM,xS 二、逐项积分二、逐项积分定理定理4.34.3极限与积分交换极限与积分交换证明：证明：由定理由定理4.14.1知，知，于是有，于是有，一致收敛函数列的积分性质一致收敛函数列的积分性质1 2(
5、),()(),uninnfxC a b n,.fxf x 设设，且且(),lim()d()d.bbnaanf xR a bfxxf xx 则则，且且(),.f xC a b，(),f xR a b。()(),0,nfxa,bf x 由由于于在在上上一一致致收收敛敛于于因因此此()0,|()()|.nNs.t.nN,xa,bfxf x ，有有nN 所所以以当当时时，()()()()().bbbnnaaa|fx dx-f x dx|fx-f x dx|ba lim()d()d.bbnaanfxxf xx 定理定理4.34.3与定理与定理4.34.3的连续条件改为可积，的连续条件改为可积，结论仍然成
6、立结论仍然成立.注：注：1(),()nnuxa bS x 若若在在上上一一致致收收于于，敛定理定理4.44.4,.,nbaCxun21,)(，且且，且，且则则)(a,bRxS ba11()d()d()dbbnnaannS xxuxxuxx。基本要求基本要求:一致收敛一致收敛+可积可积可逐项积分可逐项积分一致收敛函数项级数的逐项积分性质一致收敛函数项级数的逐项积分性质例例3 3.d)(,cos)(012 xxfnnxxfn求求设设解解:.0dcosd)(1020 nxnnxxxf 上一致收敛，上一致收敛，在在由于级数由于级数,0cos12 nnnx,.,nCnnx21,0cos2 且且0,故故在
7、在上上可可 分分，于于是是逐项积逐项积三、逐项可导三、逐项可导 定理定理4.54.5,)(baCxfn(2)(2)且满足：上可导在设函数列,21),(a,b,.,nxfn(),1 2,(),nfxn,.a bg x在上一致收敛于00,()nxa bfx至少存在使得收敛(),(),nfxa bf xxa b 则在上一致收敛于某函数且对()(),fxg x lim()lim().nnnnfxfx即极限与求导交换极限与求导交换证明：证明：，有有2)()(,.,0001*1 xfxfNnmt,sNNnm由条件以及数列的由条件以及数列的CauchyCauchy收敛原理收敛原理 时，有时，有当当取取Nnm
8、NNN ,max21,d)()()(00 xxnnnttfxfxf xxmmmttfxfxf0d)()()(0由条件由条件(1)(1)，总有总有对任意对任意,a,bx 再由条件，再由条件，abxfxfmn 12)()(有有,.,02*2Nnmt,sNN (),nfx首首先先证证一一致致收收敛敛)()(limxfxfnn 设设由积分换序定理：由积分换序定理：).()()()(lim00 xfxfxfxfnnn ,d)(d)(lim00 xxxxnnttgttf xxttgxfxf0d)()()(0)()(xgxf.22)()(200 abxxdttftfxxnm xxnmnmnmttftfxfx
9、fxfxf0d)()()()()()(00()nfx由由C C a au uc ch hy y收收敛敛原原理理知知一一致致收收敛敛。定理定理4.64.6:)(1上满足下面条件上满足下面条件在在若若a,bxunn ,)(,)(1xgbaxunn上一致收敛于上一致收敛于在在 ,)(baCxun,)(01处收敛处收敛至少在一点至少在一点xxunn ),()(xgxS 且且即有：即有：11()()nnnnuxux,)()(1a,bCxSa,bxunn 上上一一致致收收敛敛，其其和和在在则则逐项可导逐项可导注意注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数例如，级
10、数 22222sin22sin1sinnxnxx逐项求导后得级数：逐项求导后得级数：,cos2coscos22 xnxx.,发发散散的的都都是是所所以以对对于于任任意意值值因因其其一一般般项项不不趋趋于于零零x所以原级数不可以逐项求导所以原级数不可以逐项求导例例4 4.)(,),(sin)(14xfnnxxfn并求并求函数函数上有二阶连续导上有二阶连续导在在证明证明 解：解：且且,1|sin|,1|cos|,1|sin|223344nnnxnnnxnnnx 上收敛，上收敛，均在均在),(1,1,1121314 nnnnnn则由则由M M判别法知，判别法知，4342sincossinsin(),
11、()nxnxnxnxnnnn 易易知知111342cossinsin,(,).nnnnxnxnxnnn ，在在上上一一致致收收敛敛 12sin)(nnnxxf.),(sincos1213上上连连续续在在，显显然然 nnnnxnnx 13cos)(nnnxxf例例5.5.1),1(1)(nxnxfRiemann中中在在函数函数证明证明.),1(,连连续续且且各各阶阶导导函函数数在在区区间间连连续续 证明：证明：，则则设设xnxnnnxunxuln)(,1)(,),1(1)(11上逐点收敛上逐点收敛在在易证易证 nxnnnxu有有,1),1(,baxaba axnnnnnxulnln)(.但不一致
12、收敛但不一致收敛所以不能直接用定理所以不能直接用定理4.2.4.2.,1,11收敛收敛时时又因为当又因为当 nana.ln)(11上一致收敛上一致收敛在在所以所以a,bnnxunxnn .),1(ln)(11上连续上连续在在的任意性，的任意性，由由 nxnnnnxua,b.ln)(11上连续上连续在在因此因此a,bnnxunxnn 内闭一致收敛其他阶导数的连续性类似可证其他阶导数的连续性类似可证.四、本节小结四、本节小结3.3.内闭一致收敛性内闭一致收敛性.1.1.一致收敛的函数列的极限函数的性质；一致收敛的函数列的极限函数的性质；2.2.一致收敛的函数项级数的和函数的性质；一致收敛的函数项级数的和函数的性质；本节作业本节作业 习题习题10.10.4 4 1(1)(3),2,4,5,6,8(1)1(1)(3),2,4,5,6,8(1)
