1、2022-2023学年四川省成都市蓉城名校联盟高三（上）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设集合MxN|x24，N1，2，3，则集合MN（）A1，2，3B0，1，2，3C2，1，0，1，2，3D1，22（5分）已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）1i，则复数z的共轭复数z为（）AiBiC1+iD1i3（5分）已知命题p：x01，x02x00，则命题p的否定为（）Ax01，x02x00Bx01，x02x00Cx1，x2x0Dx1，x2x04（5分）已知函数f(x)=2-x，x0，log4x
2、，x0，则f（f（6）（）A12B2C32D35（5分）“p是真”是“pq为假”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（5分）函数f(x)=2xx2+1的图象大致为（）ABCD7（5分）已知2100x，且10kx10k+1（kZ），lg20.3010，则k的值为（）A27B28C29D308（5分）已知函数f（x）asinx+bx31，若f（1）2，则f（1）（）A2B2C4D49（5分）曲线yex上的点到直线xy30的距离的最小值为（）A2B2C22D410（5分）函数f（x）的定义域为R，对任意x1，x20，+），当x1x2时，都有f(x1)-f(x2)x
3、1-x20且f（x+1）关于点（1，0）对称，a=log123，b30.3，clog37，dlog25，则f（a），f（b），f（c），f（d）这四个数中最大的是（）Af（a）Bf（b）Cf（c）Df（d）11（5分）函数f（x）的定义域为（0，6），当0x2时，f（x）|x1|+1且f（x）2f（x+2），若函数g（x）f（x）+m有四个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A(-12，-14)B(14，12)C（2，1）D（1，2）12（5分）过点（1，2）可作三条直线与曲线f（x）x33x+a相切，则实数a的取值范围为（）A（1，2）B（2，3）C（3，4）D（4，5）二、填空题：本题共4
4、小题，每小题5分，共20分。13（5分）函数f（x）cosx（ex+mex）为奇函数，则实数m的值为 14（5分）log29log34+2log23= 15（5分）已知函数f（x）x4+x2+2，则不等式f（2x1）f（1）的解集为 16（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（xy）f（x）f（y），f（1）1，则下列四个结论中正确的编号为 f（0）0；函数f（x）为偶函数；函数f（x）的一个周期为6；k=115 f(k)=-2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
5、（一）必考题：共60分。17（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且bcosC+ccosB2acosA（1）求角A；（2）若a=3，求b+c的取值范围18（12分）随机调查了200名高中生是否喜欢看篮球比赛，得到如下的列联表：喜欢不喜欢总计男8020100女4060100总计12080200（1）能否有99%的把握认为“高中生是否喜欢看篮球比赛与性别有关”；（运算结果保留三位小数）（2）用分层抽样的方法从喜欢看篮球比赛的120名学生中抽取6名学生，再从这6名学生中随机选取2人，求这2人中至少有1名女生的概率附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P
6、（K2k0）0.1000.0500.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.87919（12分）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，平面AA1C1C平面ABC，点D为AC的中点（1）求证：平面AA1C1C平面BDB1；（2）若侧面AA1C1C为菱形，A1AC60，ABBC，求二面角DBB1C的余弦值20（12分）已知椭圆C的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，离心率e=12，且过点P（3，2）（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆交于A，B两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，点M（0，8），求三角形MAB面积的最大值21（1
7、2分）已知函数f（x）alnxx（1）若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围；（2）若方程xa+alnxex+x有两个不等实根x1，x2，且x22x1，求x1x2的取值范围（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）直线l：yx2与曲线C交于A，B两点，点N（4，2），求1|NA|+1|NB|的值选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）2|x1|+|x+2|
8、（1）求f（x）9的解集；（2）若函数f（x）的最小值为M，且a+b+cM，求4a2+b2+c2的最小值2022-2023学年四川省成都市蓉城名校联盟高三（上）第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设集合MxN|x24，N1，2，3，则集合MN（）A1，2，3B0，1，2，3C2，1，0，1，2，3D1，2【解答】解：集合MxN|x240，1，2，N1，2，3，则MN0，1，2，3故选：B2（5分）已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）1i，则复数z的共轭复数z为（）AiBi
9、C1+iD1i【解答】解：z（1+i）1i，z=1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-i，z=i故选：A3（5分）已知命题p：x01，x02x00，则命题p的否定为（）Ax01，x02x00Bx01，x02x00Cx1，x2x0Dx1，x2x0【解答】解：命题p：x01，x02x00，则命题p的否定为x1，x2x0故选：D4（5分）已知函数f(x)=2-x，x0，log4x，x0，则f（f（6）（）A12B2C32D3【解答】解：f（6）2（6）8，f（8）=log48=32；故选：C5（5分）“p是真”是“pq为假”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必
10、要条件【解答】解：“p是真”则p为假“pq为假”则p与q都为假“p是真”是“pq为假”的必要不充分条件故选：B6（5分）函数f(x)=2xx2+1的图象大致为（）ABCD【解答】解：函数的定义域为R，f(-x)=-2x(-x)2+1=-2xx2+1=-f(x)，函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，则排除选项CD；又f(1)=21+1=1，故排除选项A故选：B7（5分）已知2100x，且10kx10k+1（kZ），lg20.3010，则k的值为（）A27B28C29D30【解答】解：2100x，且10kx10k+1（kZ），10k210010k+1，两边取对数可得，lg10klg2100l
11、g10k+1，即k100lg2k+1，lg20.3010，k30.1k+1，kZ，k30故选：D8（5分）已知函数f（x）asinx+bx31，若f（1）2，则f（1）（）A2B2C4D4【解答】解：函数f（x）关于点（0，1）对称，则f(1)+f(-1)2=-1，即f（1）+f（1）2，则f（1）2f（1）224，故选：C9（5分）曲线yex上的点到直线xy30的距离的最小值为（）A2B2C22D4【解答】解：由yex，得yex，设曲线在P(x0，ex0)处的切线与直线xy30平行，则ex0=1，所以x00，切点P（0，1），所以与已知直线平行且与曲线相切的直线为xy+10，所以曲线yex上
12、的点到直线xy30的距离的最小值为d=|0-1-3|2=42=22故选：C10（5分）函数f（x）的定义域为R，对任意x1，x20，+），当x1x2时，都有f(x1)-f(x2)x1-x20且f（x+1）关于点（1，0）对称，a=log123，b30.3，clog37，dlog25，则f（a），f（b），f（c），f（d）这四个数中最大的是（）Af（a）Bf（b）Cf（c）Df（d）【解答】解：对任意x1，x20，+），当x1x2时，都有f(x1)-f(x2)x1-x20，f（x）在0，+）上为增函数，又f（x+1）关于点（1，0）对称，则f（x）关于（0，0）对称，所以函数f（x）为定义在R
13、上的奇函数，又a0，0b1，1c2，2d3，则f（a）f（b）f（c）f（d），故选：D11（5分）函数f（x）的定义域为（0，6），当0x2时，f（x）|x1|+1且f（x）2f（x+2），若函数g（x）f（x）+m有四个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A(-12，-14)B(14，12)C（2，1）D（1，2）【解答】解：设2x4，则0x22，则f（x2）|x21|+1|x3|+1，又f（x）2f（x+2），则f(x)=12f(x-2)，于是当2x4时，f(x)=-12|x-3|+12；设4x6，则2x24，则f(x-2)=-12|x-2-3|+12=-12|x-5|+12，又f(x)
14、=12f(x-2)，于是当4x6时，f(x)=-14|x-5|+14；作出函数f（x）的大致图象如下图所示，要使函数g（x）f（x）+m有四个不同的零点，即yf（x）的图象与直线ym有4个不同的交点，由图象可知，14-m12，则-12m-14故选：A12（5分）过点（1，2）可作三条直线与曲线f（x）x33x+a相切，则实数a的取值范围为（）A（1，2）B（2，3）C（3，4）D（4，5）【解答】解：设切点为(x0，x03-3x0+a)，则切线方程为y-(x03-3x0+a)=(3x02-3)(x-x0)，切线过点（1，2），2-(x03-3x0+a)=(3x02-3)(1-x0)，过点（1，
15、2）可作三条直线与曲线f（x）x33x+a相切，a=2x03-3x02+5有三个不等根令g（x）2x33x2+5，则g（x）6x26x，令g（x）0，则x0或x1，当x0或x1时，g（x）0；当0x1时，g（x）0，g（x）在（，0）和（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减，g（x）极大值g（0）5，g（x）极小值g（1）4，由a=2x03-3x02+5有三个不等根，可知函数ya与y=2x03-3x02+5有三个交点，则4a5，a的取值范围为（4，5）故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）函数f（x）cosx（ex+mex）为奇函数，则实数m的值为 1【解答
16、】解：函数的定义域为R，f（x）是奇函数，由f（0）0，得f（0）cos0（e0+me0）1+m0，得m1故答案为：114（5分）log29log34+2log23=7【解答】解：原式=2lg3lg22lg2lg3+34+37故答案为：715（5分）已知函数f（x）x4+x2+2，则不等式f（2x1）f（1）的解集为 0，1【解答】解：f（x）（x）4+（x）2+2x4+x2+2f（x），则函数f（x）为偶函数，当x0时，f（x）为增函数，则不等式f（2x1）f（1）等价为f（|2x1|）f（1），即|2x1|1，得12x11，得02x2，得0x1即不等式的解集为0，1，故答案为：0，116（
17、5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（xy）f（x）f（y），f（1）1，则下列四个结论中正确的编号为 f（0）0；函数f（x）为偶函数；函数f（x）的一个周期为6；k=115 f(k)=-2【解答】解：在f（x+y）+f（xy）f（x）f（y）中，令x1，y0，有f（1）+f（1）f（1）f（0），所以f（0）2，即错误；在f（x+y）+f（xy）f（x）f（y）中，令x0，有f（y）+f（y）2f（y），即f（y）f（y），故正确；在f（x+y）+f（xy）f（x）f（y）中，令y1，f（x+1）+f（x1）f（x），再令xx+1，有f（x+2）+f（x）f（x+1），上
18、述两式相加得f（x+2）+f（x1）0，令xx+3，有f（x+5）+f（x+2）0，所以f（x1）f（x+5），即f（x）f（x+6），故正确；由上可知，f（1）1，f（0）2，在f（x+y）+f（xy）f（x）f（y）中，令xy1，有f（2）+f（0）f（1）f（1），所以f（2）1，令x2，y1，有f（3）+f（1）f（2）f（1），所以f（3）2，令xy2，有f（4）+f（0）f（2）f（2），所以f（4）1，令x3，y2，有f（5）+f（1）f（3）f（2），所以f（5）1，令xy3，有f（6）+f（0）f（3）f（3），所以f（6）2，所以k=115 f(k)=2f（1）+f（2）+
19、f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（1）+f（2）+f（3）20+1+（1）+（2）2，即正确故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且bcosC+ccosB2acosA（1）求角A；（2）若a=3，求b+c的取值范围【解答】解：（1）在ABC中，由正弦定理得a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，bcosC+ccosB2acosA，sinBcosC+sinCcosB2sinA
20、cosA，sin（B+C）2sinAcosA，又sin（B+C）sin（A）sinA，且0A，cosA=12，解得A=3；（2）由（1）得A=3，a=3，asinA=332=2，由正弦定理可得b2sinB，c2sinC，b+c2（sinB+sinC）=2sinB+sin(B+3)=3sinB+3cosB=23sin(B+6)，0B23，6B+656，12sin(B+6)1，b+c(3，23，故b+c的取值范围为(3，2318（12分）随机调查了200名高中生是否喜欢看篮球比赛，得到如下的列联表：喜欢不喜欢总计男8020100女4060100总计12080200（1）能否有99%的把握认为“高中
21、生是否喜欢看篮球比赛与性别有关”；（运算结果保留三位小数）（2）用分层抽样的方法从喜欢看篮球比赛的120名学生中抽取6名学生，再从这6名学生中随机选取2人，求这2人中至少有1名女生的概率附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2k0）0.1000.0500.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879【解答】解：（1）K2=200(8060-4020)210010012080=100333.3336.635，有99%的把握认为“高中生是否喜欢看篮球比赛与性别有关”（2）由题意可知6名学生中男生有4人，女生有2人，4名男生记为
22、1，2，3，4，2名女生记为a，b，基本事件（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b），共15种，记“2人中至少有1名女生”为事件A，事件A包含的基本事件为（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b），共9种，故“2人中至少有1名女生”发生的概率为915=3519（12分）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，平面AA1C1C平面ABC，点D为AC的中点（1）求证：平面AA1C1C平面B
23、DB1；（2）若侧面AA1C1C为菱形，A1AC60，ABBC，求二面角DBB1C的余弦值【解答】解：（1）证明：平面AA1C1C平面ABC，平面AA1C1C平面ABCAC，又由BDAC，BD平面ABC，则有BD平面AA1C1C；又BD平面BDB1，则平面AA1C1C平面BDB1；（2）由题意可知平面AA1C1C平面ABC，平面AA1C1C平面ABCAC，A1DAC，A1D平面AA1C1C，则有A1D平面ABC，如图，以点D为坐标原点，分别以DB，DC，DA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，不妨设AC2，则D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，1，0）
24、，由A1B1=AB，B1(1，1，3)，设平面BDB1的一个法向量为m=（x，y，z），而DB=(1，0，0)，DB1=(1，1，3)，则有x=0x+y+3z=0，取z1，故m=（0，3，1），设平面BB1C的一个法向量为n=（x，y，z），又由CB=(1，-1，0)，CB1=(1，0，3)，则有x-y=0x+3z=0，取z1，故n=（3，3，1）cosn，m=27，二面角DBB1C为锐二面角，故二面角DBB1C的余弦值为27720（12分）已知椭圆C的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，离心率e=12，且过点P（3，2）（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆交于A，B两
25、点，且直线PA，PB的倾斜角互补，点M（0，8），求三角形MAB面积的最大值【解答】解：（1）e=ca=12，a2c，b=3c，设椭圆的标准方程为x23c2+y24c2=1，即4x2+3y212c2，过点P（3，2），36+1212c2，c24，椭圆的标准方程为x212+y216=1；（2）由题意可知直线l的斜率存在且不过点P（3，2），设直线l的方程为ykx+m（3k+m20），A（x1，y1），B（x2，y2），由y=kx+m4x2+3y2=48，消去y整理得（3k2+4）x2+6kmx+3m2480，x1+x2=-6km3k2+4，x1x2=3m2-483k2+4，48（12k2+16m
26、2）0，kPA+kPB=y1-2x1-3+y2-2x2-3=0，kx1+m-2x1-3+kx2+m-2x2-3=2k+(3k+m-2)(1x1-3+1x2-3)=0，2k+(3k+m-2)x1+x2-6x1x2-3(x1+x2)+9=0，将x1+x2=-6km3k2+4，x1x2=3m2-483k2+4，代入整理得（k2）（3k+m2）0，k2，48（64m2）08m8，三角形MAB的面积S=12|8-m|x1-x2|=38(64-m2)(8-m)2，令f（m）（64m2）（8m）2，8m8，导函数f（m）4（8m）2（4+m），令f（m）0，则m4或8，当x（8，4）时，f（m）0，当x（4
27、，8）时，f（m）0，f（m）的增区间为（8，4），减区间为（4，8），当m4时，三角形MAB的面积取得最大值，最大值为1821（12分）已知函数f（x）alnxx（1）若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围；（2）若方程xa+alnxex+x有两个不等实根x1，x2，且x22x1，求x1x2的取值范围【解答】解：（1）由f（x）alnxx有两个不同的零点，得alnxx0有两个不等实数根，则a0，可得1a=lnxx有两个不等根，令g(x)=lnxx，g(x)=1-lnxx2，当x（0，e）时，g（x）0，g（x）单调递增，当x（e，+）时，g（x）0，g（x）单调递减，g（x）有极
28、大值也是最大值为g(e)=1e，又当x0+时，g（x），当x+，g（x）0，要使方程1a=lnxx有两个不等根，则01a1e，即ae实数a的取值范围为（e，+）；（2）若方程xa+alnxex+x有两个不等实根x1，x2，即方程ealnx+alnxex+x有两个不等实根x1，x2，令h（x）ex+x，则h（x）在R上为单调递增函数，可得h（alnx）h（x）有两个不等实根，即alnxx有两个不等实根，由（1）可知1x1ex2，lnx1x1=1nx2x2，又x22x1，令x2x1=t2，由lnx1x1=1nx2x2，得lnx1x1=lnx2-lnx1x2-x1，即lnx1=x1lnx2x1x2-
29、x1=lnx2x1x2x1-1=lntt-1，ln（x1x2）ln（x2x1x12）lnt+2lnx1lnt+2lntt-1=(t+1)lntt-1，设（t）=(t+1)lntt-1（t2），则（t）=t-1t-2lnt(t-1)2，令m（t）t-1t-2lnt（t2），则m（t）1+1t2-2t0，m（t）在（2，+）上单调递增，m（t）m（2）0，则（t）为增函数，故（t）（2）3ln2ln8，x1x2的取值范围为（8，+）（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）以坐标原点为极点，以x轴
30、的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）直线l：yx2与曲线C交于A，B两点，点N（4，2），求1|NA|+1|NB|的值【解答】解：（1）4cos，24cos，又cosx，siny，x2+y24x，曲线C的直角坐标方程为x2+y24x0；（2）直线l的参数方程为x=4+22ty=2+22t（t为参数），代入x2+y24x0中整理得t2+42t+4=0，则160，t1+t2=-420，t1t240，则t1，t2同号，所以1|NA|+1|NB|=|t1+t2|t1t2|=2选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）2|x1|+|x+2|（1）求f（x）9的解集；（2）若函数f（x）的最小值为M，且a+b+cM，求4a2+b2+c2的最小值【解答】解：（1）f(x)=2|x-1|+|x+2|=-3x，x-2-x+4，-2x13x，x1，则f(x)9x-2-3x9或-2x1-x+49或x13x9，解得3x3，所以不等式的解集为3，3；（2）由（1）易知M3，则a+b+c3，利用柯西不等式可得(4a2+b2+c2)(14+1+1)(a+b+c)2，即4a2+b2+c24，当且仅当2a12=b1=c1时等号成立，所以当a=13，b=c=43时，4a2+b2+c2取得最小值4第18页（共18页）
