1、,a b:,fXa bxAxB()f xa()f xb证明:充分性充分性 由于 ,因此我们只要证明a,b=0,1的情形即可.必要性必要性 设X是一个正规空间，A和B是X的两个无交的闭集,.不妨设r(1)=1和 r(2)=0,0,1a b 见下图0,1IQQ(1),(2),(3)IQrrr继续AB01fX下面我们要做的工作是对每一个有理数r(n)QI,对应着A的一个开邻域Ur(n),使得满足条件：(1);(2)若 ,则 .接下来我就用归纳的方法定义A的这些开邻域：(1)rUB()()r nr m()()r nr mUU见下图AB继续令max(|()(),1,1sr ir ir n inmax(|
2、()(),1,1br ir ir n in(1)rUB(2)(1)rrUU取 ，,满足 ，则 满足(1)和(2),设对于n2,A的开邻域 已经定义.(2)rU(1)(2),rrUU(1)(1),rr nUU见图由定理6.2.2，选取Ur(n)为 的一个开邻域使得 ，从 Ur(n)的取法可知A的诸开邻域仍然满足条件(1)和(2).根据归纳原则，A的诸开邻域已经全部定义，且满足条件(1)和(2).()r nbUUsU见图 定义映射：使得对任意 ,:0,1fX xXinf|()rrrQxUxBf xxB 如果 1 如果显然如果 ,则 ，所以f(x)=0；若 ，则 f(x)=1.xA(2)rxUxB下
3、面证明 f 的连续性，我们知道：是实数空间R的一个子基，从而0,1的一个子基为则事实上 还是0,1的一个子基.(,)|,)|aaRbbR S =10,1 SS|1(,1|0,1)0,)|(0,1,0,1aabbS1,0,1SS因此我们只需证明 的每一个元素在 f 下的原象是开集就可以了.即证对于任意 ，是X中的开集;对于任意 ，是X中的开集.S0,1)a1(,1)fa(0,1b1(0,)fb 定理定理6.3.2 空间中的任何一个连通子集如果包含多于一点,则它一定是一个不可数集.4T 引理引理6.3.3 设X是一个正规空间,A是X中的一个闭子集,是一个正数,则对于任何一个连续映射:存在一个连续映射使得对于任何 有:,g A 1133:,gA aA*23|()()|g ag a 定理定理6.3.4 设X是一个拓扑空间,a,b是一个闭区间,则X是一个正规空间当且仅当对于X中的任何一个闭集A和任何一个连续映射有一个连续映射是 f 的扩张:,fAa b:,g Xa b作业：作业：1，2
