1、教材同步复习教材同步复习第一部分第一部分 第五章四边形1知识要点知识要点 归纳归纳第第22讲矩形、菱形、正方形讲矩形、菱形、正方形知识点一矩形的性质及判定知识点一矩形的性质及判定 直角直角 2【注意注意】由矩形的性质可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半由矩形的性质可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半相等且互相平分相等且互相平分 中心中心 轴轴 2 直角直角 三个角三个角 相等相等 3知识点二菱形的性质及判定知识点二菱形的性质及判定相等相等 互相垂直且平分互相垂直且平分 一组对角一组对角 中心中心 轴轴 2条对称轴条对称轴 4相等相等 相等相等 互相垂直互相垂直 5知识点三正方形的性质及
2、判定知识点三正方形的性质及判定相等相等 直角直角 相等相等 一组对角一组对角 中心中心 轴轴 4 6直角直角 相等相等 相等相等 直角直角 相等且互相垂直相等且互相垂直 相等且互相垂直平分相等且互相垂直平分 7知识点四平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间的关系知识点四平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间的关系8例例1如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，过点中，过点D作作DEAB于点于点E，点，点F在边在边CD上，上，DFBE，连接，连接AF，BF.(1)求证：四边形求证：四边形BFDE是矩形；是矩形；重难点重难点 突破突破重难点重难点1矩形的相关证明与计算重点矩形的相关证明与计
3、算重点9【解答解答】四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，ABDCDFBE，四边形四边形BFDE是平行四边形是平行四边形DEAB，DEB90，四边形四边形BFDE是矩形是矩形10(2)若若AF平分平分DAB，CF3，BF4，求，求DF长长【解答解答】四边形四边形BFDE是矩形，是矩形，BFD90，BFC90.在在RtBCF中，中，CF3，BF4，BC5.AF平分平分DAB，DAFBAF.ABDC，DFABAF，DAFDFA，ADDF.ADBC，DFBC5.11解题技巧解题技巧 12根据矩形对角线相等且互相平分，可借助对角线的关系得到全等三角形；根据矩形对角线相等且互相平分，可借助对角
4、线的关系得到全等三角形；矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在矩形性质的相关计算和证矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在矩形性质的相关计算和证明中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段或角度的等量关系明中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段或角度的等量关系(3)矩形中的折叠问题矩形中的折叠问题折叠的性质：折叠的性质：a.位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称图形；位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称图形；b.满足折叠性质满足折叠性质即折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、周长、面积等均相等；即折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、周长、面积等均相等；c.折叠之折叠之后，对
5、应点的连线被折痕垂直平分后，对应点的连线被折痕垂直平分找出隐含的折叠前后的位置关系和数量关系找出隐含的折叠前后的位置关系和数量关系一般运用三角形全等、勾股定理、相似三角形等知识及方程思想，设出恰当一般运用三角形全等、勾股定理、相似三角形等知识及方程思想，设出恰当的未知数，列方程来求线段长的未知数，列方程来求线段长1314(1)证明：证明：CDAB于点于点D，BEAB于点于点B，CDADBE90，CDBE.又又BECD，四边形四边形CDBE为平行四边形为平行四边形又又DBE90，四边形四边形CDBE为矩形为矩形151617例例2如图，在如图，在ABC中，中，ACB90，O，D分别是边分别是边AC
6、，AB的中点，过点的中点，过点C作作CEAB交交DO的延长线于点的延长线于点E，连接，连接AE.(1)求证：四边形求证：四边形AECD是菱形；是菱形；重难点重难点2菱形的相关证明与计算重点菱形的相关证明与计算重点181920(1)菱形判定的一般思路：首先判定其是平行四边形，然后根据平行四边形的邻菱形判定的一般思路：首先判定其是平行四边形，然后根据平行四边形的邻边相等来判定其是菱形，这是判定菱形最基本的思路，同时也可以考虑其他判定方边相等来判定其是菱形，这是判定菱形最基本的思路，同时也可以考虑其他判定方法，如四条边相等或对角线互相垂直平分；法，如四条边相等或对角线互相垂直平分；(2)与菱形有关的
7、计算常涉及下面几种：与菱形有关的计算常涉及下面几种：求长度求长度(线段长或者周长线段长或者周长)时，应注意使用等腰三角形的性质；若菱形中存在一时，应注意使用等腰三角形的性质；若菱形中存在一个顶角为个顶角为60，则菱形被连接另外两点的对角线所割的两个三角形为等边三角形，则菱形被连接另外两点的对角线所割的两个三角形为等边三角形，故在计算时，可借助等边三角形的性质，同时也应注意使用勾股定理、直角三角形故在计算时，可借助等边三角形的性质，同时也应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含特殊角的直角三角形等进行计算；斜边上的中线等于斜边的一半、含特殊角的直角三角形等进行计算；求面积时，
8、求面积时，可利用菱形的两条对角线互相垂直，面积等于对角线之积的一半进行计算可利用菱形的两条对角线互相垂直，面积等于对角线之积的一半进行计算解题技巧解题技巧 212如图，在如图，在ABCD中，中，AEBC，AFCD，垂足分别为，垂足分别为E，F，且，且BEDF.(1)求证：求证：ABCD是菱形；是菱形；(2)若若AB5，AC6，求，求ABCD的面积的面积222324例例3如图，如图，ABC中，中，ABC90，BD是是ABC的平分线，的平分线，DEAB于点于点E，DFBC于点于点F.(1)求证：四边形求证：四边形DEBF是正方形；是正方形；【解答解答】DEAB，DFBC，DEBDFB90.又又AB
9、C90，四边形四边形DEBF为矩形为矩形BD是是ABC的平分线，且的平分线，且DEAB，DFBC，DEDF，矩形矩形DEBF为正方形为正方形重难点重难点3正方形的相关证明与计算重点正方形的相关证明与计算重点25(2)若若DF1，AE2，求，求ABD的面积的面积26(1)正方形判定的一般思路正方形判定的一般思路若四边形是平行四边形，则需要证一个角是直角和一组邻边相等；若四边形是平行四边形，则需要证一个角是直角和一组邻边相等；若四边形是矩形，则需要证一组邻边相等或者对角线互相垂直；若四边形是矩形，则需要证一组邻边相等或者对角线互相垂直；若四边形是菱形，则需要证一个内角是直角或者对角线相等；若四边形是菱形，则需要证一个内角是直角或者对角线相等；若已知一个四边形，要先证明其为平行四边形，再证明其为正方形；也可以若已知一个四边形，要先证明其为平行四边形，再证明其为正方形；也可以直接证明其既是矩形又是菱形直接证明其既是矩形又是菱形解题技巧解题技巧 27283(2018宁夏宁夏)已知点已知点E为正方形为正方形ABCD的边的边AD上一点，连接上一点，连接BE，过点，过点C作作CNBE，垂足为，垂足为M，交，交AB于点于点N.(1)求证：求证：ABE BCN；(2)若若N为为AB的中点，求的中点，求tanABE.2930
