1、提分微课（三）相似模型第四单元三角形 相似三角形是几何中重要的证明模型之一,是全等三角形的推广,分析图形间的关系离不开数量的计算.相似和勾股是产生等式的主要依据(其他依据还有面积法,三角函数等),因此要掌握相似三角形的基本图形,体会其各种演变和联系.类型一8字型 有一组对顶角,此时需要从已知条件中、图中隐含条件或通过证明得到另一组角相等.根据对应关系不同,可将这类型分为下面两种常见图形:图W3-1 8字型 倒8字型(ABCD,则AOBDOC)(AB,CD不平行,A=C或B=D,则AOBCOD)图W3-2答案 6图W3-3类型二A字型图W3-4 有一个公共角,外加另外一组对应角相等.根据对应关系
2、不同,可将这类型分为下面两种常见图形:A字型倒A字型(DEBC,则ADEABC)(DE,BC不平行,B=AED或C=ADE,则ADEACB)3.2019镇江南徐中学模拟如图W3-5,在ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且DEBC.若AD=2,AB=3,DE=4,则BC的长为.图W3-5答案 64.如图W3-6,点D,E分别在ABC的边AC,AB上,且AB=9,AC=6,AD=3.若使ADEABC,则AE的长为.图W3-62答案(1)3图W3-7图W3-7图W3-7类型三子母型图W3-8 有一个公共角,且公共角的一边为公共边.需要从已知条件、隐含条件中证明另外一组角相等.常见的图形如图:AC
3、D=B,ADC=ACB,本图是最一般的子母型.如图,ACB=90,CDAB,图中的三个直角三角形都相似,这个图形也很常见.(ACD=B或ADC=ACB,ADCACBCDB则ACDABC)答案 C6.如图W3-9,在ABC中,点D是AB边上的一点,若ACD=B,AD=1,AC=2,ADC的面积为1,则BCD的面积为()A.1B.2C.3D.4图W3-9图W3-10C图W3-11答案 D解析在RtABC中,AB为斜边,CD为斜边AB上的高,由ADCCDB得,CD2=ADBD,CD=6.故选D.9.如图W3-12,在平面直角坐标系中,直线y=kx+1与x轴交于点A,与y轴交于点C,过点C的抛物线y=
4、ax2-(6a-2)x+b与直线AC交于另一点B(4,3).(1)求抛物线的表达式;(2)已知点P在x轴上(点P不与点O重合),连接CP,若AOC与ACP相似,求点P的坐标;(3)已知x轴上一动点Q(m,0),连接BQ,若ABQ与AOC相似,直接写出m的值.图W3-129.如图W3-12,在平面直角坐标系中,直线y=kx+1与x轴交于点A,与y轴交于点C,过点C的抛物线y=ax2-(6a-2)x+b与直线AC交于另一点B(4,3).(2)已知点P在x轴上(点P不与点O重合),连接CP,若AOC与ACP相似,求点P的坐标;图W3-129.如图W3-12,在平面直角坐标系中,直线y=kx+1与x轴
5、交于点A,与y轴交于点C,过点C的抛物线y=ax2-(6a-2)x+b与直线AC交于另一点B(4,3).(3)已知x轴上一动点Q(m,0),连接BQ,若ABQ与AOC相似,直接写出m的值.图W3-12类型四一线三等角 基本图形1:三个相等的角的顶点在同一条直线上,称一线三等角模型,常见于等腰三角形或等边三角形的背景中.如图W3-13所示:图W3-1310.如图W3-14,在ABC中,AB=AC,点P,D分别是BC,AC边上的点,且APD=B.(1)求证:ACCD=CPBP;(2)若AB=10,BC=12,当PDAB时,求BP的长.图W3-1410.如图W3-14,在ABC中,AB=AC,点P,
6、D分别是BC,AC边上的点,且APD=B.(2)若AB=10,BC=12,当PDAB时,求BP的长.图W3-14基本图形2:当在一线三等角模型中,三个等角为90时,模型会变得更加特殊,如图W3-15,ABDCEB.图W3-1511.如图W3-16,已知点A(0,4),B(4,1),BCx轴于点C,点P为线段OC上一点,且PAPB,则点P的坐标为.图W3-1612.如图W3-17,正方形ABCD中,点E,F,G分别在AB,BC,CD上,且EFG=90.求证:EBFFCG.图W3-17证明:四边形ABCD为正方形,B=C=90,EFG=90,BFE+CFG=90,而BFE+BEF=90,BEF=CFG,EBFFCG.13.如图W3-18,ADBC,D=90,DC=7,AD=2,BC=4.若在边DC上有点P使PAD和PBC相似,求PD的值.图W3-18
