1、【知识梳理知识梳理】1.1.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系位置位置关系关系图示图示公共点公共点个数个数几何几何特征特征代数特征代数特征(直线方程与直线方程与圆的方程组成的方程圆的方程组成的方程组的解的个数组的解的个数)相离相离 0 0_无实数解无实数解drdr位置位置关系关系图示图示公共点公共点个数个数几何几何特征特征代数特征代数特征(直线方直线方程与圆的方程组程与圆的方程组成的方程组的解成的方程组的解的个数的个数)相切相切 1 1_两组相同实数解两组相同实数解相交相交 2 2_两组不同实数解两组不同实数解d=rd=rdrdr)(Rr)公共点公共点个数个数几何特征几何特征(O(O1 1O
2、 O2 2=d)=d)代数特征代数特征(两个圆两个圆的方程组成的方的方程组成的方程组的解的个数程组的解的个数)外离外离 0 0_无实数解无实数解外切外切 1 1_两组相同实数解两组相同实数解dR+rdR+rd=R+rd=R+r位置位置关系关系图示图示(Rr)(Rr)公共点公共点个数个数几何特征几何特征(O(O1 1O O2 2=d)=d)代数特征代数特征(两个圆两个圆的方程组成的方程的方程组成的方程组的解的个数组的解的个数)相交相交 2 2_两组不同实数解两组不同实数解内切内切 1 1_两组相同实数解两组相同实数解内含内含 0 0_无实数解无实数解R-rdR-rdR+rR+rd=R-rd=R-
3、rdR-rdR-r3.3.两圆公切线的条数两圆公切线的条数位置关系位置关系内含内含内切内切相交相交外切外切外离外离公切线条数公切线条数_0 01 12 23 34 4【常用结论常用结论】1.1.圆的切线方程常用结论圆的切线方程常用结论(1)(1)过圆过圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2上一点上一点P(xP(x0 0,y,y0 0)的圆的切线方程为的圆的切线方程为x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2.(2)(2)过圆过圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2上一点上一点P(xP(x0 0,y,y0 0)的圆的切线的圆的切线方程为方程为(x(x
4、0 0-a)(x-a)+(y-a)(x-a)+(y0 0-b)(y-b)=r-b)(y-b)=r2 2.(3)(3)过圆过圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2外一点外一点M(xM(x0 0,y,y0 0)作圆的两条切线作圆的两条切线,则两则两切点所在直线方程为切点所在直线方程为x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2.2.2.直线与圆的位置关系的常用结论直线与圆的位置关系的常用结论(1)(1)当直线与圆相交时当直线与圆相交时,由弦心距由弦心距(圆心到直线的距离圆心到直线的距离),),弦长的一半及半径长所表示的线段构成一个直角三角弦长的一半及半径长所表示的线段构成一个直角三角形形
5、.(2)(2)弦长公式弦长公式|AB|=|AB|=|x|xA A-x-xB B|=21k22ABAB1kxx4x x.3.3.圆的方程两种设法技巧圆的方程两种设法技巧(1)(1)经过直线经过直线l:Ax+By+C=0:Ax+By+C=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的交点的交点的圆的方程表示为的圆的方程表示为(x(x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F)+(Ax+By+C)=0.+Dx+Ey+F)+(Ax+By+C)=0.(2)(2)经过圆经过圆x x2 2+y+y2 2+D+D1 1x+Ex+E1 1y+Fy+F1 1=0=0与圆与圆x x2 2+
6、y+y2 2+D+D2 2x+Ex+E2 2y+Fy+F2 2=0=0的两个交点的圆的方程表示为的两个交点的圆的方程表示为x x2 2+y+y2 2+D+D1 1x+Ex+E1 1y+Fy+F1 1+(x(x2 2+y+y2 2+D+D2 2x+Ex+E2 2y+Fy+F2 2)=0.)=0.【基础自测基础自测】题组一题组一:走出误区走出误区1.1.判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”,错误的打错误的打“”).”).(1)(1)如果直线与圆组成的方程组有解如果直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交则直线与圆相交或相切或相切.()(2)(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解如果
7、两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切则两圆外切.()(3)(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相则两圆相交交.()(4)(4)从两圆的方程中消掉二次项后所得的方程为公共从两圆的方程中消掉二次项后所得的方程为公共弦所在直线方程弦所在直线方程.()(5)(5)过圆过圆O:xO:x2 2+y+y2 2=r=r2 2外一点外一点P(xP(x0 0,y,y0 0)作圆的两条切线作圆的两条切线,切点为切点为A,B,A,B,则则O,P,A,BO,P,A,B四点共圆且直线四点共圆且直线ABAB的方程是的方程是x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=
8、r2 2.()提示提示:(1).(1).直线与圆组成的方程组有一组解时直线与圆组成的方程组有一组解时,直线直线与圆相切与圆相切,有两组解时有两组解时,直线与圆相交直线与圆相交.(2)(2).因为除外切外因为除外切外,还可能内切还可能内切.(3)(3).因为除小于两半径和还需大于两半径差的绝对因为除小于两半径和还需大于两半径差的绝对值值,否则可能内切或内含否则可能内切或内含.(4)(4).只有当两圆相交时只有当两圆相交时,方程才是公共弦所在的直方程才是公共弦所在的直线方程线方程.(5).(5).由已知由已知,O,P,A,B,O,P,A,B四点共圆四点共圆,其方程为其方程为 22220000 xy
9、xyxy2222（）（）（）（），即即x x2 2+y+y2 2-x-x0 0 x-yx-y0 0y=0,y=0,又圆又圆O O方程为方程为x x2 2+y+y2 2=r=r2 2,-得得x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2,而两圆相交于而两圆相交于A,BA,B两点两点,所以直线所以直线ABAB的方程是的方程是x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2.2.2.已知点已知点P(2,2),P(2,2),点点Q Q是曲线是曲线C:(xC:(x2 2+y+y2 2-1)(x-1)(x2 2+y+y2 2-2)=0-2)=0上上一动点一动点,则则|PQ|PQ|的最小值是的最小值是
10、.【解析解析】曲线曲线C C由两部分组成由两部分组成,圆圆M:xM:x2 2+y+y2 2=1=1与与圆圆N:xN:x2 2+y+y2 2=2,=2,如图如图,要使要使|PQ|PQ|最小最小,需点需点Q Q在圆在圆N N上且在直线上且在直线OPOP上上,此时此时,|PQ|=|OP|-=,|PQ|=|OP|-=,所以所以|PQ|PQ|的最小值是的最小值是 .答案答案:2222题组二题组二:走进教材走进教材1.(1.(必修必修2P842P84例例5 5改编改编)直线直线y=x+1y=x+1与圆与圆x x2 2+y+y2 2=1=1的位置关的位置关系为系为()A.A.相切相切B.B.相交但直线不过圆
11、心相交但直线不过圆心C.C.直线过圆心直线过圆心D.D.相离相离【解析解析】选选B.B.圆心为圆心为(0,0),(0,0),到直线到直线y=x+1y=x+1即即x-y+1=0 x-y+1=0的的距离距离d=,d=,而而0 1,0 1,但是圆心不在直线但是圆心不在直线y=x+1y=x+1上上,所以直线与圆相交所以直线与圆相交,但直线不过圆心但直线不过圆心.1222222.(2.(必修必修2P852P85例例8 8改编改编)两圆两圆x x2 2+y+y2 2-2y=0-2y=0与与x x2 2+y+y2 2-4=0-4=0的位的位置关系是置关系是()A.A.相交相交B.B.内切内切C.C.外切外切
12、D.D.内含内含【解析解析】选选B.B.两圆方程可化为两圆方程可化为x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1,x=1,x2 2+y+y2 2=4.=4.两两圆圆心分别为圆圆心分别为O O1 1(0,1),O(0,1),O2 2(0,0),(0,0),半径分别为半径分别为r r1 1=1,r=1,r2 2=2.=2.因为因为|O|O1 1O O2 2|=1=r|=1=r2 2-r-r1 1,所以两圆内切所以两圆内切.3.(3.(必修必修2P992P99复习题二复习题二A A组组T15T15改编改编)圆圆x x2 2+y+y2 2=4=4与圆与圆x x2 2+y+y2 2-4x+4y-12=
13、0-4x+4y-12=0的公共弦所在的直线方程为的公共弦所在的直线方程为_._.【解析解析】由由 得得4x-4y+8=0,4x-4y+8=0,即即x-y+2=0.x-y+2=0.答案答案:x-y+2=0 x-y+2=02222xy40,xy4x4y 120,考点一圆与圆的位置关系考点一圆与圆的位置关系【题组练透题组练透】1.(20181.(2018重庆模拟重庆模拟)圆圆O O1 1:x:x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0和圆和圆O O2 2:x:x2 2+y+y2 2-4y=04y=0的位置关系是的位置关系是()A.A.相离相离B.B.相交相交C.C.外切外切 D.D.内切内切【解析解
14、析】选选B.B.圆圆O O1 1的圆心坐标为的圆心坐标为(1,0),(1,0),半径长半径长r r1 1=1,=1,圆圆O O2 2的圆心坐标为的圆心坐标为(0,2),(0,2),半径长半径长r r2 2=2,=2,所以两圆的圆心距所以两圆的圆心距d=,d=,而而r r2 2-r-r1 1=1,r=1,r1 1+r+r2 2=3,=3,则有则有r r2 2-r-r1 1drdr1 1+r+r2 2,所以两所以两圆相交圆相交.52.2.已知圆已知圆C C1 1:x:x2 2+y+y2 2-2mx+4y+m-2mx+4y+m2 2-5=0-5=0与圆与圆C C2 2:x:x2 2+y+y2 2+2
15、x-2my+2x-2my+m+m2 2-3=0,-3=0,若圆若圆C C1 1与圆与圆C C2 2相外切相外切,则实数则实数m=m=()A.-5A.-5 B.-5B.-5或或2 2C.-6 C.-6 D.8D.8【解析解析】选选B.B.对于圆对于圆C C1 1与圆与圆C C2 2的方程的方程,配方得圆配方得圆C C1 1:(x-m)(x-m)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=9,=9,圆圆C C2 2:(x+1):(x+1)2 2+(y-m)+(y-m)2 2=4,=4,则圆则圆C C1 1的圆的圆心心C C1 1(m,-2),(m,-2),半径半径r r1 1=3,=3,圆圆C C2 2
16、的圆心的圆心C C2 2(-1,m),(-1,m),半径半径r r2 2=2.=2.因为圆因为圆C C1 1与圆与圆C C2 2相外切相外切,所以所以|C|C1 1C C2 2|=r|=r1 1+r+r2 2,即即 =5,m=5,m2 2+3m-10=0,+3m-10=0,解得解得m=-5m=-5或或m=2.m=2.22m1m2（）（）3.(20183.(2018合肥模拟合肥模拟)已知圆已知圆C C1 1:(x-a):(x-a)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=4=4与圆与圆C C2 2:(x+b):(x+b)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1=1相外切相外切,则则abab的最大值为
17、的最大值为()639A.B.C.D.2 3224【解析解析】选选C.C.由已知得圆由已知得圆C C1 1圆心圆心C C1 1(a,-2),(a,-2),圆圆C C2 2圆心圆心C C2 2(-b,-2),(-b,-2),由两圆外切可知由两圆外切可知|a+b|=3,|a+b|=3,故故a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2=9,=9,所以所以4ab9,4ab9,所以所以ab ab 9.44.(20184.(2018南充模拟南充模拟)若圆若圆O O1 1:x:x2 2+y+y2 2=5=5与圆与圆O O2 2:(x+m):(x+m)2 2+y+y2 2=20(mR)=20(mR)相交于相交于A
18、,BA,B两点两点,且两圆在点且两圆在点A A处的切线互相处的切线互相垂直垂直,则线段则线段ABAB的长度是的长度是.【解析解析】由已知由已知,O,O1 1(0,0),O(0,0),O2 2(-m,0),(-m,0),由圆心距大于半由圆心距大于半径之差而小于半径之和径之差而小于半径之和,得得|m|3 ,|m|0,+5)0,故直线故直线l与圆相交与圆相交.22mxy 1 m0 xy 15，(2)(2)选选C.C.圆心圆心(0,0),r=5,(0,0),r=5,圆心到弦的距离为圆心到弦的距离为 =3,=3,若直线斜率不存在若直线斜率不存在,则垂直则垂直x x轴轴,直线为直线为x=3,x=3,圆心到
19、直线距离圆心到直线距离=|0-3|=3,=|0-3|=3,成立成立;25 16若斜率存在若斜率存在,设直线为设直线为y-6=k(x-3),y-6=k(x-3),即即kx-y-3k+6=0,kx-y-3k+6=0,则圆心到直线距离则圆心到直线距离 解得解得k=,k=,综上综上:x-3=0:x-3=0或或3x-4y+15=0.3x-4y+15=0.2003k63k1，34 【规律方法规律方法】判断直线与圆的位置关系常见的两种方法判断直线与圆的位置关系常见的两种方法(1)(1)代数法代数法:(2)(2)几何法几何法:利用圆心到直线的距离利用圆心到直线的距离d d和圆半径和圆半径r r的大小的大小关系
20、关系:dr:dr,dr相离相离.【对点训练对点训练】1.(20181.(2018深圳模拟深圳模拟)已知点已知点M(a,b)M(a,b)在圆在圆O:xO:x2 2+y+y2 2=1=1外外,则直线则直线ax+by=1ax+by=1与圆与圆O O的位置关系是的位置关系是()A.A.相切相切B.B.相交相交C.C.相离相离 D.D.不确定不确定【解析解析】选选B.B.因为因为M(a,b)M(a,b)在圆在圆O:xO:x2 2+y+y2 2=1=1外外,所以所以a a2 2+b+b2 2 1,1,又圆心又圆心O O到直线到直线ax+by=1ax+by=1的距离的距离d=d=所以直线与圆相交所以直线与圆
21、相交.2222|a 0b 0 1|11abab ，2.2.若直线若直线y=x+by=x+b与曲线与曲线x=x=恰有一个公共点恰有一个公共点,则则b b的的取值范围是取值范围是 ()A.(-1,1A.(-1,1B.-B.-C.-C.-,2,2D.(-1,1-D.(-1,1-21y222【解析解析】选选D.D.由由x=x=知知,曲线表示半圆曲线表示半圆,如图所示如图所示,21y当当-1b1-1b1时时,直线直线y=x+by=x+b与半圆有一个公共点与半圆有一个公共点;当直当直线与半圆相切时线与半圆相切时,也与半圆只有一个公共点也与半圆只有一个公共点,此时此时 =1(b-1),=1(b0)=4(a0
22、)及直线及直线l:x-y+3=0,:x-y+3=0,当直线当直线l被圆被圆C C截得的截得的弦长为弦长为2 2 时时,则则a=a=()A.A.B.2-B.2-C.C.-1-1D.D.+1+123222【解析解析】选选C.C.由已知由已知,+(),+()2 2=4,=4,解得解得a=a=-1,-1,又因为又因为a0,a0,所以所以a=-1.a=-1.2a11 1（）3222.2.平行于直线平行于直线x+2y+1=0 x+2y+1=0且与圆且与圆x x2 2+y+y2 2=4=4相切的直线的方相切的直线的方程是程是()A.x+2y+5=0A.x+2y+5=0或或x+2y-5=0 x+2y-5=0B
23、.x+2y+2B.x+2y+2 =0=0或或x+2y-2x+2y-2 =0=0C.2x-y+5=0C.2x-y+5=0或或2x-y-5=02x-y-5=0D.x-2y+D.x-2y+=0=0或或x-2y-x-2y-=0=05555【解析解析】选选B.B.因为切线和直线因为切线和直线x+2y+1=0 x+2y+1=0平行平行,所以设切线方程为所以设切线方程为x+2y+b=0,x+2y+b=0,圆心坐标为圆心坐标为(0,0),(0,0),半径半径r=2,r=2,当直线和圆相切时当直线和圆相切时,圆心到直线的距离圆心到直线的距离 解得解得b=2 b=2 或或b=-2 ,b=-2 ,故切线方程为故切线
24、方程为x+2y+2 =0 x+2y+2 =0或或x+2y-2 =0.x+2y-2 =0.bd25，5555数学能力系列数学能力系列2323直线与圆问题中数学建模的核心直线与圆问题中数学建模的核心素养素养【能力诠释能力诠释】根据圆的方程、直线的方程根据圆的方程、直线的方程,结合题目的特点结合题目的特点,设设元元,列式列式,建立恰当的函数、基本不等式模型解决相关建立恰当的函数、基本不等式模型解决相关的最值问题的最值问题.【典例典例】(2018(2018兰州模拟兰州模拟)已知已知AC,BDAC,BD为圆为圆O:xO:x2 2+y+y2 2=4=4的两条相互垂直的弦的两条相互垂直的弦,垂足为垂足为M(
25、1,M(1,),),则四边形则四边形ABCDABCD的面积的最大值为的面积的最大值为()A.5A.5 B.10B.10C.15 C.15 D.20D.202【解析解析】选选A.A.由已知由已知,圆心为圆心为O(0,0),O(0,0),半径为半径为2.2.设圆心设圆心O O到到AC,BDAC,BD的距离分别为的距离分别为d d1 1,d,d2 2,作作OEAC,OFBD,OEAC,OFBD,垂足分别为垂足分别为E,F,E,F,则四边形则四边形OEMFOEMF为矩为矩形形,连接连接OM,OM,则则 =OM=OM2 2=3.=3.又又|AC|=2|AC|=2 ,|BD|=2,|BD|=2 2212d
26、d214d224d，所以所以S S四边形四边形ABCDABCD=|AC|=|AC|BD|=2|BD|=2 (4-)+(4-)=8-(+)=5,(4-)+(4-)=8-(+)=5,当且仅当当且仅当d d1 1=d=d2 2时时取等号取等号,即四边形即四边形ABCD ABCD 的面积的最大值为的面积的最大值为5.5.214d224d1221d22d22d21d 【技法点拨技法点拨】直线与圆综合问题的求法直线与圆综合问题的求法(1)(1)圆与直线圆与直线l相切的情形相切的情形圆心到圆心到l的距离等于半径的距离等于半径,圆心与切点的连线垂直于圆心与切点的连线垂直于l.(2)(2)圆与直线圆与直线l相交
27、的情形相交的情形圆心到圆心到l的距离小于半径的距离小于半径,过圆心且垂直于过圆心且垂直于l的直线平的直线平分分l被圆截得的弦被圆截得的弦.连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦.过圆内一点的所有弦中过圆内一点的所有弦中,最短的是垂直于过这点的直最短的是垂直于过这点的直径的那条弦径的那条弦,最长的是过这点的直径最长的是过这点的直径.【即时训练即时训练】(2019(2019银川模拟银川模拟)过圆过圆x x2 2+y+y2 2=1=1上一点作圆的切线上一点作圆的切线,与与x x轴、轴、y y轴的正半轴相交于轴的正半轴相交于A,BA,B两点两点,则则|AB|AB|的最小值的最小值为为()A.A.B.B.C.2C.2D.3D.332【解析解析】选选C.C.设圆上的点为设圆上的点为(x(x0 0,y,y0 0),),其其中中x x0 00,y0,y0 00,0,则有则有 ,且切线方且切线方程为程为x x0 0 x+yx+y0 0y=1.y=1.分别令分别令y=0,x=0y=0,x=0得得A ,B ,A ,B ,则则|AB|=|AB|=当且仅当当且仅当x x0 0=y=y0 0时时,等号成立等号成立.01,0 x（）010,y（）2200 xy1222200000011112xyxyx y2（）（），
