1、第三章 一元一次方程小结与复习要点梳理要点梳理一、方程的有关概念 1.方程：含有未知数的等式叫做方程2.一元一次方程的概念：只含有_个未知数，未 知数的次数都是_，等号两边都是_，这 样的方程叫做一元一次方程3.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的 值叫做方程的解4.解方程：求方程解的过程叫做解方程一1整式1.等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或 式子)，结果仍相等如果 ab，那么 a bc.2.等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一 个不为 0 的数，结果仍相等如果 ab，那么 ac _；如果 a=b(c0)，那么 _二、等式的性质 bccacbc解一元一次方程的一般步骤
2、：(1)去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘 (2)去括号：注意括号前的系数与符号 (3)移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常 数项移到方程右边，移项注意要改变符号 (4)合并同类项：把方程化成 ax b(a0)的形式 (5)系数化为1：方程两边同除以 x 的系数，得 xm 的形式.三、一元一次方程的解法 1.列方程解决实际问题的一般步骤：审：审清题意，分清题中的已知量、未知量 设：设未知数，设其中某个未知量为x.列：根据题意寻找等量关系列方程 解：解方程 验：检验方程的解是否符合题意 答：写出答案(包括单位)四、实际问题与一元一次方程审题是基础，找等量关系是关键.2.常见的几种
3、方程类型及等量关系：(1)行程问题中基本量之间关系：路程速度时间 相遇问题：全路程甲走的路程乙走的路程；追及问题：甲为快者，被追路程甲走路程乙走路程；流水行船问题：v顺v静v水，v逆v静v水(2)工程问题中基本量之间的关系：工作量=工作效率工作时间；合作的工作效率=工作效率之和；工作总量=各部分工作量之和=合作的工作效 率工作时间；在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看 做1.(3)销售问题中基本量之间的关系：商品利润=商品售价商品进价；利润率=；商品进价商品利润100 商品售价=标价 ；10折扣数 商品售价=商品进价+商品利润 =商品进价+商品进价利润率 =商品进价(1+利润率).例1 如
4、果 x=2是方程 的解，那么 a 的值是 ()A.0 B.2 C.2 D.6考点讲练考点讲练考点一 方程的有关概念解析：将 x2 代入方程得1a1，解得a2.C121ax方法总结：已知方程的解求字母参数的值，将方程的解代入方程中，得到关于字母参数的方程，解方程即可得字母参数的值.1.若(m3)x|m|221 是关于 x 的一元一次方程，则 m的值为_3针对训练注意：结合一元一次方程的定义求字母参数的值，需谨记未知数的系数不为0.考点二 等式的基本性质例2 下列说法正确的是 ()A.x+1=2+2x 变形得到 1=x B.2x=3x 变形得到 2=3 C.将方程 系数化为1，得 D.将方程 3x
5、=4x4 变形得到 x=4232 x34xD方法总结：已利用等式的性质变形，需注意符号问题，同时一定要谨记，利用等式性质2变形，等式两边同时除以一个数时，该数不能为0.2.下列运用等式的性质，变形正确的是 ()A.若 x=y，则 x5=y+5 B.若 a=b，则 ac=bc C.若 ，则 2a=3b D.若 x=y，则 cbcaayaxBa可能为0针对训练考点三 一元一次方程的解法例3 解下列方程：(1)；121101412xxx解：去分母，得 3(2x+1)12=12x(10 x+1).去括号，得 6x312=12x10 x1.移项，得 6x12x10 x=1312.合并同类项，得 4x=8
6、.系数化为1，得 x=2.提示：先用分配律、去括号简化方程，再求解较容易(2).23841213443xx解：去括号，得 1136.242xx移项，得 1316.224xx合并同类项，得 16.4x 系数化为1，得 16.4x 3.解方程：.23252xx解：去分母，得 2(x2)=205(x3).去括号，得 2x4=205x15.移项，得 2x5x=20154.合并同类项，得 7x=9.系数化为1，得 9.7x 针对训练考点四 实际问题与一元一次方程例4 一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静水中速度为7 km/h，水流速度为2 km/h，往返一次共用28 h，求甲、乙两码头之间的距离解
7、：设甲、乙两码头之间的距离是 x km.由顺水航行时间逆水航行时间往返一次共用时间，得28.727 2xx解得 x=90.答：甲、乙两码头之间的距离是 90 km.4.小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15千米，可早到10分钟；每小时骑12千米，就会迟到5分钟，则他家到学校的路程是多少千米？解：设他家到学校的路程是 x 千米，依题意得105.15601260 xx解得 x=15.答：他家到学校的路程是15 千米.针对训练例5 抗洪救灾小组在甲地有28人，乙地有15人，现在又调来17人，分配在甲、乙两地，要求调配后甲地人数与乙地人数之比为3:2，求应调至甲地和乙地各多少人？解：设应调至甲地 x
8、人，则调至乙地的人数为 (17x)人，根据调配后甲乙两地人数的数 量关系得22815(17).3xx解得 x=8.则17-x=9.答：应调至甲地 8 人，乙地 9 人.5.春节期间，甲、乙两商场有某品牌服装共450件，由于甲商场销量上升，需从乙商场调运该服装50件，调运后甲商场该服装的数量是乙商场的2倍，求甲、乙两商场原来各自有该品牌服装的数量解：设甲商城原来有该品牌服装x件，则乙商城原来有该品牌服装（450-x）件，根据题意,得x+50=2（450-x）-50，解得x=250，则450-x=200答：甲商城原来有该品牌服装250件，乙商城原来有该品牌服装200件.针对训练例6 一项工作，甲单
9、独做8天完成，乙单独做12天完成，丙单独做24天完成现甲、乙合作3天后，甲因有事离去，由乙、丙合作，则乙、丙还要几天才能完成这项工作？解：设乙、丙还要 x 天才能完成这项工作，由甲、乙合作 3 天的工作量+乙、丙合作的工作量=1，得111131.8121224x 解得 x=3.答：乙、丙还要3天才能完成这项工作6.一辆拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的 ，第二天耕了剩余部分的 ，还剩下42公顷，则这 片地共有 公顷.2313解析：设这片地共有 x 公顷.由题意，得 21242.333xxxx解得 x=189.189针对训练例7 某个商品的进价是 500 元，把它提价 40%后作为标价.如果商家
10、要想保住 12%的利润率搞促销活动，请你计算一下广告上可写出最多打几折?提示：提价 40 后，商品标价为 500(1+40)，要保住 12 的利润率，商品的售价应为500(1+12)，根据 可列方程.商品售价=标价 10折扣数解：设最多可以打 x 折，根据题意得5001 405001 12.10 x解得 x=8.答：广告上可写出最多打 8 折.7.一家商店将某种商品按进价提高40%后标价，节假 日期间又以标价打八折销售，结果这种商品每件 仍可获利24元，问这件商品的进价是多少元？解：设这件商品的进价是 x 元，根据题意得81 4024.10 xx解得 x=200.答：这件商品的进价是 200
11、元.针对训练(1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市 实付款分别是多少？例8 小王逛超市看到如下两个超市的促销信息：甲超市促销信息栏乙超市促销信息栏全场8.8折不超过200元，不予优惠；满200元而不超过500元，打九折；满500元，其中500元的部分优惠10，超过500元的部分打八折假设两家超市相同商品的标价都一样.解：当一次性购物标价总额是300元时，甲超市实付款：3000.88=264(元)，乙超市实付款：3000.9=270(元).(2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？解：设当标价总额是 x 元时，甲、乙超市实付款一样由题意知，当 x 500 时，甲超市的促销力度大
12、于乙超市，此时，标价总额一样的条件下，甲超市实付款始终小于乙超市实付款，所以 x500 根据题意得 0.88x=500(110)+0.8(x500)，解得 x=625答：当标价总额是 625 元时，甲、乙超市实付款一样.(3)小王两次到乙超市分别购物付款198元和466元，若 他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多 少元？分析：由题目信息可知，在乙超市购物：不超过200元，不予优惠；大于等于200元小于500元，实付款大于等于180元，小于450元；大于等于500元，实付款大于等于450元.解：由题意知：购物标价总额不超过200元，不予优惠；大于等于200元小于 500 元，实付款大于等
13、于 2000.9 =180(元)，小于 5000.9=450(元)；大于等于500元，实付款大于等于450元.小王第一次购物付款 198 元200元，购物标价可 能是 198 元，也可能是1980.9=220(元)，第二次购物付款 466 元450 元，所以购物标价 大于500元，为(466450)0.8+500=520(元)，所以，小王两次购物标价之和为 198+520=718(元)，或 220+520=740(元)若他只去一次该超市购买同样多的商品，实付款为 5000.9+0.8(718500)=624.4(元)，或 5000.9+0.8(740-500)=642(元)，可以节省 198+
14、466624.4=39.6(元)，或 198+466642=22(元)答：若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以 节省 39.6 元或 22 元8.甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为 了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市 累计购买商品超出 300 元之后，超出部分按原价 8 折优惠；在乙超市累计购买商品超出 200 元之后，超出部分按原价 8.5 折优惠设顾客累计购物 x 元 (x300)(1)请用含 x 的代数式分别表示顾客在两家超市购物 所付的费用；针对训练解：顾客在甲超市购物所付的费用为：300+0.8(x300)=(0.8x+60)元(x300)；顾客在乙超市购物所
15、付的费用为：200+0.85(x200)=(0.85x+30)元(x300)(2)李明准备购买 500 元的商品，你认为他应该去哪 家超市？请说明理由答：他应该去乙超市，理由如下：当 x=500 时，在甲超市购物所付的费用为：0.8500+60=460(元)；在乙超市购物所付的费用为：0.85500+30=455(元).460455，他去乙超市划算(3)计算一下，李明购买多少元的商品时，到两家超 市购物所付的费用一样？解：由题意得 0.8x+60=0.85x+30.解得 x=600.答：李明购买600元的商品时，到两家超市购物 所付的费用一样9.为鼓励居民节约用电，某地对居民用户用电收费标 准
16、作如下规定：每户每月用电如果不超过 100 度，那么每度按 0.50 元收费；如果超过 100 度不超过 200 度，那么超过的部分每度按 0.65 元收费；如果 超过200度，那么超过的部分每度按 0.75 元收费 (1)若居民甲在 6 月份用电 100 度，则他这个月应缴 纳电费 元；若居民乙在 7 月份用电 200 度，则他这个月应缴 纳电费 元；若居民丙在 8 月份用电 300 度，则他这个月应缴 纳电费 元；50115190(2)若某户居民在9月份缴纳电费310元，那么他这个 月用电多少度？解：设他这个月用电 x 度，根据题意得：0.50100+0.65(200100)+0.75(x200)=310，解得 x=460答：他这个月用电 460 度课堂小结课堂小结去括号等 式 的 性 质移项合并同类项概念实际问题去分母系 数 化 为 1解法步骤一元一次方程方程等式的性质1等式的性质2设列解检答见章末练习课后作业课后作业
