1、第二十一章 一元二次方程章末复习第二十一章 一元二次方程章末复习知识框架归纳整合素养提升中考链接知识框架一元二次方程一元二次方程根与系数根与系数的关系的关系解法解法直接开平方法：解形如直接开平方法：解形如(x+ax+a)2 2=b(b0)=b(b0)的方程的方程配方法：配方时配方法：配方时,方程两边同方程两边同时加上一次项系数一半的平方时加上一次项系数一半的平方公式法：求根公式为公式法：求根公式为因式分解法：把方程变形为因式分解法：把方程变形为abab=0=0的形式的形式,则则a=0a=0或或b=0b=0定义定义整式方程整式方程只含有一个未知数只含有一个未知数未知数的最未知数的最高次数是高次数
2、是2 2一般一般形式形式如果方程如果方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)有两个实数根有两个实数根x x1 1,x,x2 2,那么那么axax2 2+bx+c=0(+bx+c=0(a,b,ca,b,c为常数为常数,a0),a0)一元二次方程一元二次方程根与系数根与系数的关系的关系解法解法定义定义一般形式一般形式根的情况根的情况方程有两个相等的实数方程有两个相等的实数根根 b b2 2-4ac=0-4ac=0方程有两个不相等的实方程有两个不相等的实数根数根 b b2 2-4ac0-4ac0方程没有实数根方程没有实数根 b b2 2-4ac0-4ac0,(2)(x-3)2+
3、2x(x-3)=0,(x-3)(x-3+2x)=0,即即(x-3)(3x-3)=0,x1=3,x2=1.相关题相关题1 解方程：解方程：6x2-x-1=0.解一元二次方程时解一元二次方程时,要根要根 据方程的特点选择简便的据方程的特点选择简便的 方方法法.当方程不含一次项当方程不含一次项 时时,一般采用直接开平方一般采用直接开平方 法；当方程法；当方程不含常数项时不含常数项时,一般采用因式分解法一般采用因式分解法.【要点指导要点指导】关于一元二次方程根的判别式的问题的常见题型有三关于一元二次方程根的判别式的问题的常见题型有三 种：种：(1)不解方程不解方程,判断方程根的情况；判断方程根的情况；
4、(2)由方程根的情况确定方程的由方程根的情况确定方程的系数系数 中未知字母的值或取值范围；中未知字母的值或取值范围；(3)进行有关一元二次方程根的情进行有关一元二次方程根的情况的证明况的证明.专题二 根的判别式的应用例例2 已知关于已知关于x的方程的方程(m2-1)x2-2(m+2)x+1=0有实数根有实数根,求求m的的取值范围取值范围.解解 本题有两种情况：本题有两种情况：(1)若方程是一元二次方程若方程是一元二次方程,则则 m2-10,b2-4ac=-2(m+2)2-4(m2-1)0,m1,解得解得 m-,即即m-且且m1.(2)若方程为一元一次方程若方程为一元一次方程,则则 m2-1=0
5、,-2(m+2)0,解得解得m=1.当当m=1时时,原方程为原方程为-6x+1=0,有实数根有实数根x=；当当m=-1时时,原方程为原方程为-2x+1=0,有实数根有实数根x=.综上所述综上所述,当当m-时时,原方程有实数根原方程有实数根.相关题相关题2-1 已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程 x2-3x-k=0有两个不相有两个不相等等 的实数根的实数根.(1)求求k的取值范围；的取值范围；(2)请选择一个请选择一个k的负整数的负整数 值值,求出方程的根求出方程的根.相关题相关题2-2已知关于已知关于x的方程的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有实数根有实数根,求求m的取值范围的
6、取值范围.当方程有两个实数根时当方程有两个实数根时,方程为一元二次方程方程为一元二次方程,此时方此时方程的二次项系数不能程的二次项系数不能 为为0.【要点指导要点指导】利用一元二次方程根与系数的关系解决相关的计算利用一元二次方程根与系数的关系解决相关的计算 问题时问题时,首先必须计算判别式首先必须计算判别式的值的值,在保证在保证0的前提下的前提下,用方程的用方程的 系数表示两个根的和与积系数表示两个根的和与积,然后将所求的代数式转化为与然后将所求的代数式转化为与x1+x2和和x1x2相相 关的形式关的形式,最后代入求值最后代入求值.专题三 一元二次方程根与系数的关系例例3 十堰中考十堰中考已知
7、关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两有两 个个实数根实数根x1,x2(1)求实数求实数k的取值范围；的取值范围；(2)若若x1,x2满足满足x12+x22=16+x1x2,求实数求实数k的值的值解 (1)关于关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根有两个实数根 x1,x2,=(2k-1)2-4(k2-1)=-4k+50,解得解得k ,实数实数k的取值范围为的取值范围为k .(2)关于关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根有两个实数根x1,x2,x1+x2=1-2k,x1
8、x2=k2-1.x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16+x1x2,(1-2k)2-2(k2-1)=16+(k2-1),即即k2-4k-12=0,解得解得k=-2或或k=6(不符合题意不符合题意,舍去舍去).实数实数k的值为的值为-2相关题相关题3 已知关于已知关于x的一元二次的一元二次 方程方程x2+(m-3)x-m(2m-3)=0.(1)求证：无论求证：无论m为何值为何值,方方 程都有两个实数根程都有两个实数根.(2)是否存在正数是否存在正数m,使方程使方程 的两个实数根的平方和等的两个实数根的平方和等 于于26？若？若存在存在,求出满足求出满足 条件的正数条件的正数m的值；若不
9、的值；若不 存在存在,请说明理由请说明理由专题四 实际问题与一元二次方程【要点指导要点指导】在现实生活中在现实生活中,许多问题都可以通过建立一元二次许多问题都可以通过建立一元二次方方 程模型进行求解程模型进行求解,其中找出等量关系是建立一元二次方程模型其中找出等量关系是建立一元二次方程模型的关键的关键例例4 某校团委准备举办学生绘画展览某校团委准备举办学生绘画展览,为美化为美化 画面画面,在长为在长为30 cm、宽为宽为20 cm的矩形画面四周镶上的矩形画面四周镶上 宽度相等的彩纸宽度相等的彩纸,并使彩纸的面并使彩纸的面积恰好与原画面面积积恰好与原画面面积 相等相等(如图如图21-Z-1),求
10、彩纸的宽度求彩纸的宽度.分析分析设彩纸的宽度为设彩纸的宽度为x cm.长长(cm)宽宽(cm)面积面积(cm2)原矩形画面原矩形画面30203020镶彩纸后矩形镶彩纸后矩形30+2x20+2x(30+2x)(20+2x)解解 设彩纸的宽度为设彩纸的宽度为x cm.由题意由题意,得得(30+2x)(20+2x)=23020,整理整理,得得x2+25x-150=0,解得解得x1=5,x2=-30(不合题意不合题意,舍去舍去).答：彩纸的宽度为答：彩纸的宽度为5 cm相关题相关题4 汽车产业是某市的支柱产汽车产业是某市的支柱产 业之一业之一,其产量和效益逐年其产量和效益逐年 增加增加.据统计据统计,
11、2016年该市年该市 某种品牌汽车的年产量为某种品牌汽车的年产量为 6.4万辆万辆,到到2018年年,该品牌该品牌 汽车的年产量达到汽车的年产量达到10万辆万辆.若该品牌汽车年若该品牌汽车年产量的平产量的平 均增长率从均增长率从2016年开始五年开始五 年内保持不变年内保持不变,则该品牌则该品牌 汽车汽车2019年的年产量为多年的年产量为多 少万辆？少万辆？解：解：设该品牌汽车年产量的平均增长率为设该品牌汽车年产量的平均增长率为x.由题意，得由题意，得6.4(1x)210，解得解得x10.25，x22.25(不合题意，舍去不合题意，舍去)x0.2525%，10(125%)12.5(万辆万辆)答
12、：该品牌汽车答：该品牌汽车2019年的年产量为年的年产量为12.5万辆万辆例例5 某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件60元元,每星期可卖出每星期可卖出300件件.经市经市场调场调 查发现：每件商品每降价查发现：每件商品每降价1元元,每星期可多卖出每星期可多卖出20件已件已知商品的进价为知商品的进价为 每件每件40元元,在顾客得到实惠的前提下在顾客得到实惠的前提下,商家还商家还想获得想获得6080元的利润元的利润,则应将则应将 销售价格定为每件多少元？销售价格定为每件多少元？分析分析设每件商品降价设每件商品降价x元元,商家还能获得商家还能获得6080元的利润元的利润.降价后每件的售价降
13、价后每件的售价(元元)降价后的销售量降价后的销售量(件件)降价后的总利润降价后的总利润(元元)(60-x)(300+20 x)6080解：解：设每件商品降价设每件商品降价x元元,则售价为每件则售价为每件(60-x)元元,每件的利润为每件的利润为(60 x-40)元元,销售量为销售量为(300+20 x)件件.根据题意根据题意,得得(60-x-40)(300+20 x)=6080,解得解得x1=1,x2=4.为了使顾客得到实惠为了使顾客得到实惠,应取应取x=4,即销售价格定为每件即销售价格定为每件56元元.答：应将销售价格定为每件答：应将销售价格定为每件56元元.相关题相关题5 朝阳中考朝阳中考
14、为满足市场需为满足市场需 求求,新生活超市在端午节新生活超市在端午节 前前夕购进价格为夕购进价格为3元元/个个 的某品牌粽子的某品牌粽子.根据市场根据市场 预测预测,该品牌粽该品牌粽子每个售子每个售 价为价为4元时元时,每天能出售每天能出售500个个,并且售价每上涨并且售价每上涨 0.1元元,其每天的销售量将其每天的销售量将 减少减少10个个,为了维护消费为了维护消费 者利益者利益,物价部门物价部门规定规定,该该 品牌粽子的售价不能超过品牌粽子的售价不能超过 进价的进价的200%.请你利用所请你利用所 学学知识帮助超市给该品牌知识帮助超市给该品牌 粽子定价粽子定价,使超市每天的销使超市每天的销
15、 售利润为售利润为800元元.【要点指导要点指导】运用方程思想解决几何问题运用方程思想解决几何问题,首先要用含未知数的首先要用含未知数的式式 子表示出相关线段的长度子表示出相关线段的长度,然后利用图形中存在的等量关系构然后利用图形中存在的等量关系构建方程建方程.素养提升专题 利用方程思想解决几何问题例例 如图如图21-Z-2所示所示,甲、乙两人开车分别从正甲、乙两人开车分别从正 方形场地方形场地ABCD的的顶点顶点C,B同时出发同时出发,甲由甲由C处向处向D处行驶处行驶,乙由乙由B处向处向C处行驶处行驶,甲的甲的速度为速度为1 km/min,乙的速度为乙的速度为 2 km/min.若正方形场地
16、的周长为若正方形场地的周长为40 km,则几分钟后则几分钟后,两两 人相距人相距 2 km？分析 设设x min后后,两人相距两人相距2 km.根据根据“路程路程=速度速度时间时间”用含用含x 的代数式表示线段的长度的代数式表示线段的长度,将将问题转化到直角三角形中问题转化到直角三角形中,利用勾股定理构建利用勾股定理构建 方方程来解答程来解答 解解 设设x min后两人相距后两人相距2 km,此时甲运动到此时甲运动到F处处,乙运动到乙运动到E处处,可可 知知FC=x km,EC=(10-2x)km.在在RtECF中中,x2+(10-2x)2=(2 )2 解得解得x1=2,x2=6 当当x=2时
17、时,FC=2 km,EC=10-4=6(km)10 km,符合题意；符合题意；当当x=6时时,FC=6 km,EC=10-12=-2(km)0 km,不符合题意不符合题意,舍去舍去 答：答：2 min后后,两人相距两人相距2 km相关题相关题 如图如图21-Z-3,已知矩已知矩 形形ABCD的边的边AB=3 cm,BC=6 cm.某某一时刻一时刻,动点动点 M从点从点A出发沿出发沿AB方向以方向以 1 cm/s的速度向点的速度向点B匀速匀速 运动；同时运动；同时,动点动点N从点从点 D出发沿出发沿DA方向以方向以2 cm/s 的速度向点的速度向点A匀速运动匀速运动.经经 过多长时间过多长时间,
18、AMN的面的面 积等于矩形积等于矩形ABCD面积面积的的？中考链接母题母题1 1 一元二次方程的根一元二次方程的根(教材教材P4习题习题21.1第第7题题)如果如果2是方程是方程x2-c=0的一个根的一个根,那么常数那么常数c是是 多少？求出这个方多少？求出这个方程的其他根程的其他根.考点：考点：一元二次方程的根的概念一元二次方程的根的概念.考情：考情：已知一元二次方程的根已知一元二次方程的根,求方程的系数中求方程的系数中 未知字母的值未知字母的值.策略：策略：把根代入原方程把根代入原方程,通过解方程求得原方程通过解方程求得原方程 的系数中未知的系数中未知字母的值字母的值.链接链接1 盐城中考
19、盐城中考已知一元二次方程已知一元二次方程x2+kx3=0有一个根为有一个根为1,则则k的值为的值为().A-2B2C-4D4 分析分析 把把x=1代入原方程得代入原方程得1+k-3=0,解得解得k=2.故选故选B.B 链接链接2 乌鲁木齐中考乌鲁木齐中考若关于若关于x的一元二次的一元二次 方程方程(a-2)x2+x+|a|-2=0的一个根是的一个根是0,则实数则实数a的的 值为值为().A-2B0C2D-2或或2 A母题母题2 一元二次方程的解法一元二次方程的解法(教材教材P21习题习题21.3 第第1题题)解下列方程：解下列方程：(1)x2+10 x+21=0；(2)x2-x-1=0；(3)
20、3x2+6x-4=0；(4)3x(x+1)=3x+3；(5)4x2-4x+1=x2+6x+9；(6)7x2-x-5=0.考点：一元二次方程的解法有直接开平方法、考点：一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法和配方法、公式法和因式分解法因式分解法.考情：解一元二次方程是中考的重要考点考情：解一元二次方程是中考的重要考点,考查考查 形式为填空题、形式为填空题、选择题或解答题选择题或解答题.策略：根据方程的特点策略：根据方程的特点,选择合适的解法选择合适的解法.链接链接3 临沂中考临沂中考一元二次方程一元二次方程y2-y-=0配方后可化为配方后可化为().B链接链接4 铜仁中考铜仁中考关于关
21、于x的一元二次方程的一元二次方程x2-4x+3=0的解为的解为().Ax1=-1,x2=3 Bx1=1,x2=-3 Cx1=1,x2=3 Dx1=-1,x2=-3 分析分析 x2-4x+3=0,左边分解因式得左边分解因式得(x-1)(x-3)=0,解得解得x1=1,x2=3.故选故选C.C母题母题3 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式(教材教材P17习题习题 21.2第第13题题)无论无论p取何值取何值,方程方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个总有两个 不等的实数根吗？给不等的实数根吗？给出答案并说明理由出答案并说明理由.考点：一元二次方程根的判别式考点：一元二次方程根的判别式
22、.考情：利用一元二次方程根的判别式判断方程考情：利用一元二次方程根的判别式判断方程 根的情况；根据一根的情况；根据一元二次方程根的情况元二次方程根的情况,求方程求方程 的系数中未知字母的值或取值范围的系数中未知字母的值或取值范围.策略：策略：(1)利用判别式利用判别式b2-4ac确定方程根的情况；确定方程根的情况；(2)根据一元二次根据一元二次方程根的情况建立方程或方程根的情况建立方程或 不等式不等式,同时注意二次项系数不为零同时注意二次项系数不为零.链接链接5 娄底中考娄底中考关于关于x的一元二次方程的一元二次方程x2(k+3)x+k=0的根的情况的根的情况是是().A有两个不相等的实数根有
23、两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C无实数根无实数根 D不能确定不能确定 分析分析 =b2-4ac=(k+3)2-4k=k2+2k+9=(k+1)2+8.(k+1)20,(k+1)2+80,即即0,方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根 故选故选A.A 链接链接6 桂林中考桂林中考若关于若关于x的一元二次方程的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不有两个不相等的实数根相等的实数根,则则k的取的取 值范围是值范围是().Ak5 Bk5且且k1 Ck5且且k1 Dk5B分析分析一元二次方一元二次方 程程(k-1)x2+4x+1=0有两有两 个不相等的个
24、不相等的 实数根实数根 k-10,0 k-10,42-4(k-1)0母题母题4 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系(教材教材P17 习题习题21.2第第7题题)求下列方程两个根的和与积：求下列方程两个根的和与积：(1)x2-3x+2=10；(2)5x2+x-5=0；(3)x2+x=5x+6；(4)7x2-5=x+8.考点：一元二次方程根与系数的关系考点：一元二次方程根与系数的关系.考情：已知一元二次方程的一个根考情：已知一元二次方程的一个根,求另一个求另一个 根；求与一元根；求与一元二次方程的根有关的代数式的值；已知一元二次方程的根求新二次方程的根有关的代数式的值；已知一元二
25、次方程的根求新方程；已知一元二次方程根的情况方程；已知一元二次方程根的情况,求方程的系数中未知字母求方程的系数中未知字母 的值或取值范围的值或取值范围.策略：利用一元二次方程根与系数的关系及整策略：利用一元二次方程根与系数的关系及整 体思想求解体思想求解.链接链接7 遵义中考遵义中考已知已知x1,x2是关于是关于x的方程的方程 x2+bx-3=0的两根的两根,且满且满足足x1+x2-3x1x2=5,那么那么b的的 值为值为().A4B-4C3D-3 A分析分析 x1,x2是关于是关于x的方程的方程x2+bx-3=0的的 两根两根,x1+x2=-b,x1x2=-3.又又x1+x2-3x1x2=5
26、,-b-3(-3)=5,解得解得b=4.故选故选A.母题母题4 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题(教材教材P22习题习题 21.3第第7题题)青山村种的水稻青山村种的水稻2010年平均每公顷产年平均每公顷产 7200 kg,2012年平均每公顷年平均每公顷产产8450 kg.求水稻每求水稻每 公顷产量的年平均增长率公顷产量的年平均增长率.考点：利用一元二次方程解决增长率问题考点：利用一元二次方程解决增长率问题.考情：列一元二次方程解应用题的常见类型有增考情：列一元二次方程解应用题的常见类型有增 长率问题、销长率问题、销售利润问题和图形的面积问题等售利润问题和图形的面积问题等.策略：
27、根据实际问题寻找等量关系策略：根据实际问题寻找等量关系,从而列出一元二次方程从而列出一元二次方程.列列一元二次方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答一元二次方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答.链接链接8 巴中中考巴中中考随着国家随着国家“惠民政策惠民政策”的的 陆续出台陆续出台,为了切实为了切实让老百姓得到实惠让老百姓得到实惠,国家卫计国家卫计 委严打药品销售环节中的不正当行委严打药品销售环节中的不正当行为为.某种药品的某种药品的 原价为原价为200元元/瓶瓶,经过连续两次降价后经过连续两次降价后,现在仅卖现在仅卖 98元元/瓶瓶.现假定两次降价的百分率相同现假定两次降价的
28、百分率相同,求该种药求该种药 品平均每次降品平均每次降价的百分率价的百分率 分析分析 设该种药品平均每次降价的百分率是设该种药品平均每次降价的百分率是x.原题信息原题信息整理信息整理信息列方程列方程药品的原价为药品的原价为200元元/瓶瓶200200(1-x)2=98连续两次降价连续两次降价(1-x)2现在仅卖现在仅卖98元元/瓶瓶98解解 设该种药品平均每次降价的百分率是设该种药品平均每次降价的百分率是x.由题意由题意,得得200(1-x)2=98,解得解得x1=1.7(不合题意不合题意,舍去舍去),x2=0.3=30%.答：该种药品平均每次降价的百分率是答：该种药品平均每次降价的百分率是3
29、0%.链接链接9 深圳中考深圳中考 已知一个矩形的周长为已知一个矩形的周长为 56厘米厘米.(1)当矩形的面积为当矩形的面积为180平方厘米时平方厘米时,它的长、它的长、宽分别为多少？宽分别为多少？(2)能将周长为能将周长为56厘米的矩形改成面积为厘米的矩形改成面积为200 平方厘米的矩形吗？平方厘米的矩形吗？请说明理由请说明理由.解解 (1)设矩形的长为设矩形的长为x厘米厘米,则宽为则宽为(28-x)厘厘 米米.依题意有依题意有 x(28-x)=180,解得解得x1=10,x2=18,当当x=10时时,28-x=1810,不合题意不合题意,舍去；当舍去；当 x=18时时,28-x=10,符合题意符合题意.故它的长为故它的长为18厘米厘米,宽为宽为10厘米厘米.(2)假设能围成假设能围成,设围成的矩形的长为设围成的矩形的长为y厘米厘米,则宽为则宽为(28-y)厘米厘米.依题意有依题意有y(28-y)=200,即即y2-28y+200=0.=b2-4ac=(-28)2-41200=-160,原方程无实数根原方程无实数根.故不能将周长为故不能将周长为56厘米的矩形改成面积为厘米的矩形改成面积为 200平方厘米的矩形平方厘米的矩形.
