1、第三章综合复习第三章综合复习-不等式不等式知识结构知识结构二元一次不等式二元一次不等式(组组)与平面区域与平面区域一元二次不等一元二次不等式及其解法式及其解法不等关系与不等式不等关系与不等式基本不等式基本不等式简单的线性规划问题简单的线性规划问题最大最大(小小)值问题值问题ba1ba)2(ba1ba)1(,0b,a 则则若若0baba0baba 对称性对称性abba 传递性传递性cacb,ba 加法单调性加法单调性cbcaba 移项法则移项法则bcacba 乘法单调性乘法单调性 0cbcac0cbcacba1.不等式的性质不等式的性质:同向不等式相加同向不等式相加dbcadcba 同向正值不等
2、式相乘同向正值不等式相乘bdac0dc0ba 正值不等式乘方、开方、倒数正值不等式乘方、开方、倒数 0bab/1a/1)1n,Nn(bann 且且)1n,Nn(bann 且且判别式判别式=b2-4acy=ax2+bx+c(a0)的图象的图象ax2+bx+c=0(a0)的根的根ax2+bx+c0(a0)的解集的解集ax2+bx+c0)的解集的解集0有两相异实根x1,x2 (x1x2)x|xx2x|x1 x x2=00、ax2+bx+c0)的步骤是：的步骤是：(1)化成标准形式化成标准形式 ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0)(2)判定与判定与0的关系，并求出方程的关系，并求出方程ax2
3、+bx+c=0 的实根的实根;(3)写出不等式的解集写出不等式的解集.3.二元一次不等式的平面区域的判定二元一次不等式的平面区域的判定:坐标平面内的任一条直线坐标平面内的任一条直线Ax+By+C=0把坐标平把坐标平面分成三部分面分成三部分,即即直线两侧的点集及直线上的点集直线两侧的点集及直线上的点集,它它们构成不同的平面区域们构成不同的平面区域.在相应直线的一侧任取一点在相应直线的一侧任取一点(x0,y0),代入代入Ax+By+C,通过通过Ax0+By0+C的正负的正负,结合原不等号方结合原不等号方向判定向判定.一般取原点一般取原点(0,0).4.简单线性规划问题的解法简单线性规划问题的解法:
4、(1)解题步骤解题步骤:设出未知数设出未知数,列出约束条件列出约束条件,确定目标函数确定目标函数,作出可行域作出可行域,作平行线使直线与可行域有交点作平行线使直线与可行域有交点,求出最优求出最优解并作答解并作答.(3)简单线性规划问题的解法通过研究一族平行直线与简单线性规划问题的解法通过研究一族平行直线与可行域有交点时可行域有交点时,直线在直线在y轴上的截距的最大轴上的截距的最大(小小)值求解值求解.5.基本不等式基本不等式:(1)重要不等式重要不等式:对任意实数对任意实数a,b,a2+b22ab.当且仅当当且仅当a=b时时,等号成立等号成立.基本不等式基本不等式:a,b是正数是正数,则则 ,
5、当且仅当当且仅当a=b时时,等号成立等号成立.(2)设设x,y都是正数都是正数,则有则有若若x+y=p(和为定值和为定值),则当则当x=y时时,积积xy取得最大值取得最大值 ;若若xy=s(积为定值积为定值),则当则当x=y时时,和和x+y取得最小值取得最小值(3)利用基本不等式求最大利用基本不等式求最大(小小)值问题要注意值问题要注意”一正二一正二定三相等定三相等”,为了达到使用基本不等式的目的为了达到使用基本不等式的目的,常常需常常需要对代数式进行通分分解等变形要对代数式进行通分分解等变形,构造和为定值或定构造和为定值或定积的模型积的模型.2abab24s2p2(2),0,()22abab
6、a babab2222(1)22abababab注注 意意12121212,0()nnnnnaaaaaaa aanaaa(5).若则当且仅当取“”号222222222(3)()22()abababababab22(4).2(,)1122abababa bRab()()0()0()0()f x g xf xg xg x等式等式分式不分式不()()()()1,()()01,()()f xg xf xg xaaaf xg xaaaf xg x当时当时指数不等式指数不等式1a log()log()aaf xg x 1a0 )x(g)x(f0)x(g0)x(f )x(g)x(f0)x(g0)x(f 对数
7、不等式对数不等式无理不等式无理不等式2()0()0()()()0()0()()f xf xf xg xg xg xf xg x或2()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x0a 当时xaxaxa 或xaaxa 含绝对值的不等式()()()()()f xg xg xf xg x)x(g)x(f)x(g)x(f)x(g)x(f 或或1:(1),22().0.2222ABCD例角，满足则的取值范围是B1(2)01,log,log_bbaabaab的大小关系是alogablogbba1 2222(2),(1)0(2)(3)(4)01().(1)(2).(1)(3).(2)(4).
8、(3)(4)a bRaababcabcbbacbcababaABCD 下面四个命题：其中真命题是和和和和D1(3).(3,3),_xx 已知那么 的取值范围是),31()31,(bdeace:.0e,0dc,0ba2 求证求证已知已知例例3(1)1,11,(2)01,1,log(1)log(1)aaaMaaNaaMNxaxx 例已知和比较和 大小比较与的大小qnmp.Dqnpm.Cnqmp.Bnqpm.A)(q,p,n,m,0)nq)(mq(,0)np)(mp(,qp,nm.1 的大小顺序是的大小顺序是则则若若练习：练习：A不能确定不能确定顺序是顺序是的大小的大小则则若若.D0dc.Cd0c.
9、B0dc.A)(d,c,0ba,bdac.2 D0)ba(log.D)21()21.(C1ba.Bb1a1.A)(,ba.32ba 一定成立的是一定成立的是则下列不等式中则下列不等式中若若C既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件充要条件充要条件必要条件必要条件充分不必要条件充分不必要条件”的”的“”是”是那么“那么“若若.D.C.B.A)(yxyx0 xy,Ry,x.4 Aaxax.Daaxx.Caxax.Baaxx.A)(,0ax.522222222 成立的是成立的是那么下列各式中一定那么下列各式中一定若若A_b1ba1a,0ba.7的大小关系是的大小关系是与与则则若若 b1ba1a 33
10、3baba0ba.8 求证：求证：若若)1a(2)a(f)x(f)2(1ax)1(1ax,13xx)x(f.92 求证：求证：已知已知.0)1m2(x)1m2(x,Rx,m.1022的大小的大小与与比较比较设设 .)3(f,5)2(f1,1)1(f4cax)x(f.112的取值范围的取值范围求求满足满足已知函数已知函数 例例3 已知不等式已知不等式ax2+bx+c0的解集为的解集为 求不等式求不等式 cx2+bx+a0的解集的解集|,0,xx其其中中2,0bcxxaa 且且是是方方程程的的根根20bcxxaa 解解:由条件知由条件知,a0,不等式化为不等式化为由韦达定理由韦达定理,得得baca
11、 0,0,000bcacaa 方程方程 的两根为的两根为 21111()0 x121111,0 xx 不等式不等式 cx2+bx+a0化为化为20baxxcc由由,得得1111(),bacc 原不等式的解集是原不等式的解集是11|x xx或或例例4(1)若关于若关于x的不等式的不等式mx2-mx-10对任意实数对任意实数x均成立均成立,求实数求实数a的取值范围的取值范围.2224222222211425(81)(81)816588881(81)1257(81)88(81)4125712572(81)2388(81)488423xxxxaxxxxxxxa 解解法法二二：原原不不等等式式化化：，（
12、取取等等）例例8(1)若若z=3x+5y中的中的xy满足约束条件满足约束条件 ,则则z的最大值和最小值分别为的最大值和最小值分别为_(2)使函数使函数z=x+y在线性约束条件在线性约束条件 ,取得最大值时的最优解只有一个取得最大值时的最优解只有一个,则实数则实数a的取值范的取值范围是围是_5315153xyyxxy 3020 xyxyya 17,-11(2)由图知由图知,若若ya处于点处于点A(1,2)上方上方时时,最优解由无数个最优解由无数个,故故a 2a 2例例9(1)已知已知x1，求，求 x 的最小值以及取得最小的最小值以及取得最小值时值时x的值。的值。11x 解(1)：x1 x10 x
13、 （x1）1 2 1311x 1(1)x 1(1)(1)xx 111xx 取取等等1x 即即取取等等。当且仅当当且仅当(2)解解:222sin2 2siny 222sinsin 24sin2(0,1 但但 时时,故等号不成立故等号不成立sin,(0,12ytttt 令令在在(0,1上是减函数上是减函数2sin1 时时,函数有最大值函数有最大值3例例9(1)已知已知x1，求，求 x 的最小值以及取得最小的最小值以及取得最小值时值时x的值。的值。(2)求求 的最小值的最小值.222sinsiny 11x 2(1)下列函数中，最小值为下列函数中，最小值为4的是的是()(A)(B)(C)(D)xxxy
14、0sin4sin-xxeey 4103loglog3xxyxxxy4C(2)(2)函数函数 的最小值的最小值 是是2614(1)1xxyxx 10变式变式:例例10.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如上图）。如果池四的三级污水处理池（平面图如上图）。如果池四周围墙建造单价为周围墙建造单价为400元元/m，中间两道隔墙建造，中间两道隔墙建造单价为单价为248元元/m，池底建造单价为，池底建造单价为80元元/m2，水，水池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最底造价。长和宽，使总造价最低，并求出最底造价。分析分析:设污水处理池的长为 x m,总造价为y元，（1）建立 x 的函数 y；（2）求y的最值.设污水处理池的长为 x m,总造价为y元，则解解：y=400(2x+200/x2)+248(2200/x)+80200=800 x+259200/x+16000.当且仅当800 x=259200/x,即x=18时，取等号。160002592008002xx答答：池长18m，宽100/9 m时，造价最低为30400元。
