1、椭圆的参数方程椭圆的参数方程.1.圆心在原点圆心在原点,半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程:为参数）为参数）(sincosryrx2.圆心为圆心为(a,b),半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程:为参数）为参数）(sincosrbyrax圆的参数方程圆的参数方程复习复习椭圆的参数方程：椭圆的参数方程：椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：12222byax联系：联系：122 sincos不妨有：不妨有：sincosbyax sincosbyax参数参数 的意义的意义椭圆的参数方程椭圆的参数方程讲授新课讲授新课例、例、如图如图,以原点为圆心，分别以以原点为圆心，分别以a、b（ab0）为半
2、）为半径作两个圆，点径作两个圆，点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点，过与小圆的交点，过A作作ANOx,垂足为垂足为N，过点，过点B作作BM AN，垂足为，垂足为M，求当半径求当半径OA绕绕O旋转时点旋转时点M的轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。这就是所求的点的轨迹的参数方程。这就是所求的点的轨迹的参数方程。也就是也就是：解：解：设设M（x,y),是以是以Ox为始边，为始边，OA为终边的正角，为终边的正角，sin,yNMOB cos,xONOA cos,sin.xayb 取取为参数，则为参数，则 消参有：消参有：12222byax为椭圆为椭圆xyoMAB2.参数参数 的意义的意义离心角离心
3、角R一般地：一般地：2,0思考：思考：xoM对吗？对吗？P是椭圆是椭圆sin2cos32yx（为参数）上一点，为参数）上一点，OP的倾斜角为的倾斜角为 ，则点，则点P的坐标为（的坐标为（）4(A)(B)(C)(D)3,32()3,3()2,6()3,4(B)练习练习(A)椭圆的参数方程椭圆的参数方程sincosbyax2,0为参数为参数（）探究：探究：椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示。在一个十字型的椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示。在一个十字型的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B它们可以它们
4、可以分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆。动一周就画出一个椭圆。你能说明它的构造原理吗？你能说明它的构造原理吗？ABM提示：可以用直尺提示：可以用直尺AB和横槽所成的角为参数，求出点和横槽所成的角为参数，求出点M的轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。0ABMxyA，B，M三点固定，设三点固定，设|AM|=a，|BM|=b，。MBx设M(x,y)则x=acos,y=bsin,所以M点的轨迹为椭圆。例例1、把下列参数方程化为普通方程、把下列参数方程化为普通方程3cos,5sin.xy（1）8
5、cos,6sin.xy（2）22149xy（3）22116yx（4）例例2 把下列普通方程化为参数方程把下列普通方程化为参数方程例题与练习例题与练习例例3 已知椭圆已知椭圆 有一内接矩形有一内接矩形ABCD，求矩形求矩形ABCD的最大面积的最大面积22110064xyyXOA2A1B1B2F1F2ABCD例例4 在椭圆在椭圆 上上,到直线到直线 最短距离是最短距离是 .22147xy:32160lxy8 1313练习：已知椭圆的参数方程为练习：已知椭圆的参数方程为 (是是参数参数)，则此椭圆的长轴长为（，则此椭圆的长轴长为（），短轴长），短轴长为（为（）,焦点坐标是（焦点坐标是（）,准线方程是
6、准线方程是（），离心率是（），离心率是（）。）。424 33x 3203,sincosyx2 练练2:设椭圆设椭圆 和和x的正半轴的交点为的正半轴的交点为A，和和y的正半轴的交点为的正半轴的交点为B，P为第一象限内椭圆上的点，为第一象限内椭圆上的点，则四边形则四边形OAPB面积的最大值为（面积的最大值为（）12222byax(A)(B)(C)(D)ab2ab22ab2ab21CxyoABPab练练1：(05福建高考福建高考)设设 ,则则 的最小值为（的最小值为（）62,22baRbaba(A)(B)(C)(D);335;3;2227B思考：（思考：（0505重庆重庆9 9）若动点若动点 P(x
7、,y)在曲线在曲线 上运动，上运动，则则 x2+2y 的最大值为（的最大值为（）(A)(B)(C)(D)b2),4;2)4,0(,442bbbb42b),2;2)2,0(,442bbbbA)0(14222bbyx课堂小结：课堂小结：椭圆的参数方程椭圆的参数方程 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：12222byaxsincosbyax椭圆的参数方程：椭圆的参数方程：离心角离心角一般地：一般地：2,012222aybx sincosaybx在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆分别是椭圆的长半轴长和短半的长半轴长和短半 轴长轴长.ab双曲线的参数方程双曲线的参数方程 bao
8、xy)MBABAsec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：b3,2)22o通常规定且，。双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式与三角恒等式22221xyab22sec1tan 相比较而得到，所以双曲线的参数方程相比较而得到，所以双曲线的参数方程 的实质是三角代换的实质是三角代换.说明：说明：这里参数这里参数 叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同的倾斜角不同.练习：练习：1、已知点、已知点P(x,y)满足满足 ，求求x+y的最值。的最值。191622yx2、已知点、已知点P(x,y)满足满足 ，求求x2+
9、y2的最值。的最值。191622yx引伸：点P在椭圆 上运动，点Q在圆 上运动，求PQ的最大值1422 yx412322 yxxyPQOAAQPAPQ21 PA所以只要求 的最大值PA22221(0)AAMAMA120.xyabab 椭椭圆圆的的长长轴轴二二端端点点为为、若若椭椭圆圆上上存存在在一一点点，使使，试试求求椭椭圆圆离离心心率率的的取取值值范范围围xyABOP 设 P2052sin2cos2d14sin252)cos,cos2(22221(0)A(a,0)OM,OMA90.xyabab：椭椭圆圆的的长长轴轴右右端端点点，原原点点为为，若若此此椭椭变变圆圆第第一一象象限限部部分分上上存
10、存在在一一点点使使，试试求求椭椭圆圆离离心心率率的的取取值值范范围围式式 例例 点点P在椭圆在椭圆 上运动，直线上运动，直线x+2y-2=0交椭圆于点交椭圆于点A、B，问，问P处于何处时，处于何处时，P到直线到直线的距离最大？的距离最大？xyABO1422 yxP例例3已知椭圆已知椭圆 ，点，点P(x,y)是椭圆是椭圆上一点，上一点，求求x2y2的最大值与最小值；的最大值与最小值；求求3x5y的范围；若四边形的范围；若四边形ABCD内接于内接于椭圆，点椭圆，点A的横坐标为的横坐标为5，点，点C的纵坐标为的纵坐标为4，求四边形求四边形ABCD的最大面积。的最大面积。1162522yx方法一（参数
11、法）方法一（参数法）方法二（消元法）方法二（消元法）要注意元的范围要注意元的范围22参数法，化归法（转化为直线与椭圆有交参数法，化归法（转化为直线与椭圆有交 点，从而消元所得的一元二次方程的点，从而消元所得的一元二次方程的0 关键：求出关键：求出B、D到直线到直线AC的最大距离的最大距离.例例2在椭圆在椭圆x28y28上到直线上到直线l：xy40距离最短的点的坐标是距离最短的点的坐标是_，最短距离，最短距离是是_。方法一（参数法）方法一（参数法）方法二（化归法）将点线距离转化为线线方法二（化归法）将点线距离转化为线线距离，先求与直线距离，先求与直线l平行，且与椭圆相切的平行，且与椭圆相切的直线直线l/，则直线，则直线l与与l/的距离即为所求的最短的距离即为所求的最短（大）距离，切点即为所求的点。（大）距离，切点即为所求的点。注意注意：一定要结合图形确定最大或最短距：一定要结合图形确定最大或最短距离。离。3138,22
