1、一、投影的概念及分类【问题思考】1.请同学们观察下面三组手影,思考一下它们是怎样形成的?提示:光照射到手上,在墙上(或屏幕上)留下的影子.2.不同的光源发出的光线是有差异的,其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同?提示:灯泡发出的光线是由一点向外分散发射的;手电筒发出的光是一束平行光线.3.用手电筒照射一个与投影面平行的不透明物体,在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系?当物体与手电筒的距离发生变化时,影子的大小会有变化吗?提示:形状和大小是相同的;当物体与手电筒的距离发生变化时,影子的大小不变.4.一个与投影面平行的平面图形,在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化?一
2、个与投影面不平行的平面图形,在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化?提示:与投影面平行的平面图形,在正投影和斜投影下形状、大小都不发生变化;与投影面不平行的平面图形,在正投影和斜投影下形状、大小会发生变化.5.关于投影的概念及分类,请完成下表:二、三视图的分类及画法规则【问题思考】1.如梦似幻的“水立方”,不管从哪个方向来看,你都会被她婀娜多姿的风采所吸引.把一个空间几何体投影到一个平面上,可以获得一个平面图形,从多个角度进行投影就能较好地把握几何体的形状和大小,通常选择三种正投影,即正面、侧面和上面.你能画出如图所示的长方体的三视图吗?提示:三视图如图所示.2.关于三视图的分类及画法规则
3、,请完成下表:3.做一做:如图,该几何体的俯视图是(填序号).答案:4.在简单组合体中,从正视、侧视、俯视等角度观察,有些轮廓线和棱能看见,有些轮廓线和棱不能看见,在画三视图时怎样处理?提示:能看见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示.思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)一个点在一个平面内的投影仍是一个点.()(2)一条线段在一个平面内的投影仍是线段.()(3)一条直线在一个平面内的投影仍是一条直线.()(4)一个三角形在一个平面内的投影仍是三角形.()答案:(1)(2)(3)(4)中心投影与平行投影中心投影与平行投影【例1】(1)如
4、图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BB1,BC的中点,则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为()(2)如图,这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后,在地面上形成的阴影(圆形)的示意图.已知桌面的直径为1.2m,桌面距离地面1m.若灯泡距离地面3m,则地面上阴影部分的面积为m2(忽略桌脚).思路分析:(1)找到顶点M,N,D在平面上的正投影顺次连接MND在平面上的正投影;(2)圆桌面与地面阴影圆面相似地面阴影圆面的半径地面阴影圆面的面积解析:(1)阴影部分是MND及其内部,D在平面ADD1A1上的正投影是其本身;M,N在平面ADD1A1上的正投影分别是A
5、A1和DA的中点,故选项A正确.(2)设地面阴影圆的半径为xm,则有,解得x=0.9,故阴影圆的面积为S=x2=0.81(m2).答案:(1)A(2)0.81反思感悟1.判断一个几何体的投影是什么图形,先分清楚是平行投影还是中心投影,投影面的位置如何,再根据平行投影或中心投影的性质来判断.2.画一个几何图形的正投影时,只需过该图形的各个顶点向投影面作垂线,将垂足依次连接起来,就得到该图形的正投影.变式训练变式训练四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下,在地面上的投影(阴影部分)效果如图,则在字母L,K,C的投影中,与字母N属同一种投影的有()A.L,KB.CC.KD.L,K,C解析:N和L,
6、K属中心投影,C属平行投影.答案:A空间几何体的三视图空间几何体的三视图【例2】画出下列几何体的三视图.思路分析:形体分析确定方向画三视图排列方法解:题图所示的几何体的三视图:题图所示的几何体的三视图:反思感悟画几何体的三视图时,可按以下步骤进行.(1)形体分析:是简单几何体还是简单组合体.如果是简单组合体的话,分析组合体是由哪几部分组成及各部分之间的相对位置.(2)确定方向:画三视图时,要想象几何体的后面、右面、下面各有一个屏幕,一组平行光线分别从前面、左面、上面垂直照射,我们画的是影子的轮廓.(3)排列方法:正视图与侧视图在同一水平位置,且正视图在左,侧视图在右,俯视图在正视图的正下方.画
7、出下列几何体的三视图.解:题图为正六棱柱,正视图和侧视图都是矩形,正视图中有两条竖线,侧视图中有一条竖线,俯视图是正六边形.题图为一个圆锥与一个圆台的组合体,按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状.三视图如图.由三视图还原空间几何体由三视图还原空间几何体【例3】根据下列图中所给出的几何体的三视图,试画出它们的形状.思路分析:结合图形,充分发挥空间想象力,先确定是什么几何体,再画出图形.解:题图对应的几何体是一个六棱锥,题图对应的几何体是一个三棱柱,则所对应的空间几何体的图形分别如图.反思感悟1.由三视图还原空间几何体的策略:(1)通过正视图和侧视图确定是柱体、锥体还是台体.若正视图和侧视图为矩
8、形,则原几何体为柱体;若正视图和侧视图为等腰三角形,则原几何体为锥体;若正视图和侧视图为等腰梯形,则原几何体为台体.(2)通过俯视图确定是多面体还是旋转体.若俯视图为多边形,则原几何体为多面体;若俯视图为圆,则原几何体为旋转体.2.由三视图还原空间几何体的步骤:画几何体的三视图常见的误区【典例】某几何体及其俯视图如图,下列关于该几何体正视图和侧视图的画法正确的是()错解:1.忽视组合体的结构特征及正视、侧视方向易错选B.2.对关键轮廓线的位置判断错误,导致错选C或D.提示:以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?对空间几何体的结构特征把握不透,观察方向不准,关键轮廓线的位置判断不对而导致错误.正解:该几何体是由圆柱切割而得(如图),由俯视图可知正视方向和侧视方向(如图),进一步可画出正视图和侧视图(如图).答案:A防范措施画三视图要重视对题目条件的分析,弄清楚几何体的结构特征、摆放位置和正视方向;对于不规则的几何体,作图时要先定关键点(几何体的顶点、棱的交点)位置,再将这些关键点投影,最后将投影后的各个点连接起来即得投影形状.变式训练变式训练沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示,它的俯视图是()解析:从上面看依然可得到两个半圆的组合图形,注意看得到的棱画实线.答案:D
