1、 20182018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 理数（四）理数（四） 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1. 已知 虚数单位，复数对应的点在复平面的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】因为=所对应的点为，在第四项限. 故答案为：D. 2. 已知集合， ，若，则实数 的取值范围为（
2、 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】, 若,则 故答案为：D. 3. 设 ， ， ， ， 为实数，且，下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】取 a=2,b=4,c=3,d=2,d-a=0,c-b=-1,此时 d-ac-b,A错误；取 a=2,b=3,小，则， ,此时,B错误；取 b=3,a= ,c=1,d=-3, ,C错误；对于 D ，D 正确. 故选 D. 4. 设随机变量，则使得成立的一个必要不充分条件为（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】由，得到=，故 3m=3，得到 m=1,则使得 成立的充要条件为 m=1,故 B错
3、误；因为是的真子集，故原题的必要不充分条 件为或. 故答案为：A. 5. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果，则判断框内实数应填入的整数值为（ ） A. 998 B. 999 C. 1000 D. 1001 【答案】A 【解析】因为 令则故 当 根据题意此时退出循环，满足题意，则实数 M 应填入的整数 值为 998， 故答案为：A. 6. 已知公差不为 0 的等差数列的前 项和为，若，则下列选项中结果为 0 的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由得到，因为公差不为 0，故=0，由等差数列的性质得 到， 故答案为:C. 7. 设，分别为双曲线 （，）的左、右顶点，过左顶点的
4、直线 交双曲线右支于点 ， 连接，设直线 与直线的斜率分别为，若，互为倒数，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由圆锥曲线的结论知道 故答案为：B. 8. 如图所示， 网格纸上小正方形的边长为 1， 粗实线画出的是几何体的三视图， 则该几何体的体积为 （ ） A. B. C. 16 D. 【答案】A 【解析】由已知中的三视图得到该几何体是一个半圆柱挖去了一个三棱锥，底面面积为 ，高为 4，该几何体的体积为 . 故答案为:A . 9. 已知曲线和直线所围成图形的面积是 ，则 的展开式中项的系数为（ ） A. 480 B. 160 C. 1280 D. 640
5、【答案】D 【解析】 由题意得到两曲线围成的面积为 = 故答案为：D. 点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系 数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值， 积分后赋值等. 10. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，设， ，若，且，则的最大值为（ ） A. 7 B. 10 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 已知，,得到 因 为，故 有不等式组表示出平面区域，是封闭的三角形区域，当目标函数过点(2,4)时取得最大值，为 10. 故答案为：B. 点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在
6、平面直角坐标系内作出可行域;(2)考虑目标函数的几何意义，将目 标函数进行变形常见的类型有截距型（型） 、斜率型（型）和距离型（型）;(3) 确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解;(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出 最大值或最小值;注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形. 11. 如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆 的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线 的方程为，其左、右焦点分别是， ， 直线 与椭圆 切于点 ， 且， 过点 且与直线 垂直的直线 与椭圆长轴交于点， 则（ ） A. B. C. D.
7、 【答案】C 【解析】由椭圆的光学性质得到直线 平分角，因为 由，得到，故 . 故答案为：C. 12. 将给定的一个数列： ， ， ，按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位 的序列.如在上述数列中，我们将 作为第一组，将 ， 作为第二组，将 ， ， 作为第三组，依次 类推，第 组有 个元素（） ，即可得到以组为单位的序列：，我们通常称此 数列为分群数列.其中第 1 个括号称为第 1 群，第 2 个括号称为第 2 群，第 3 个数列称为第 3 群，第 个 括号称为第 群，从而数列称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第 个群众，且从 第 个括号的左端起是第 个，则
8、称这个元素为第 群众的第 个元素.已知数列 1,1,3,1,3,9,1,3,9,27， 将数列分群，其中，第 1 群为（1） ，第 2 群为（1,3） ，第 3 群为（1,3， ） ，以此类推.设该数列前 项 和，若使得成立的最小 位于第 个群，则（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】由题意得到该数列的前 r 组共有 个元素，其和为 则 r=9 时， 故使得 N14900 成立的最小值 a 位于第十个群. 故答案为：B. 点睛：这个题目考查的是新定义题型，属于数列中的归纳推理求和问题;对于这类题目，可以先找一些特殊 情况，总结一下规律，再进行推广，得到递推关系
9、，或者直接从变量较小的情况开始归纳得到递推关系. 第第卷卷 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13. 若函数为偶函数，则 _ 【答案】-1 【解析】由偶函数的定义得到,即= 即恒 成立，k=-1. 故答案为：-1. 14. 已知 ，则_ 【答案】 【解析】= ,故=，因为 ，故=，故，故. 故答案为：. 15. 中华民族具有五千多年连绵不断的文明历史，创造了博大精深的中华文化，为人类文明进步作出了不可 磨灭的贡献.为弘扬传统文化，某校组织了国学知识大赛，该校最终有四名选手 、 、 、 参加了总决赛， 总决赛设
10、置了一、二、三等奖各一个，无并列.比赛结束后， 对 说：“你没有获得一等奖”， 对 说： “你获得了二等奖”； 对大家说：“我未获得三等奖”， 对 、 、 说：“你们三人中有一人未获奖”， 四位选手中仅有一人撒谎，则选手获奖情形共计_种 （用数字作答） 【答案】12 【解析】设选手 ABCD获得一等奖，二等奖，三等奖，分别用 表示获得的奖次，其中 i=0时，表 示为获奖，若 C说谎，则若 B 说谎则等九种情况，若 A 说谎则若 D说谎则 ，公 12种情况. 故答案为：12. 16. 已知 为的重心， 点 、 分别在边， 上， 且存在实数 ， 使得.若 ， 则_ 【答案】3 【解析】设连接 AG
11、并延长交 BC 于 M，此时 M为 BC 的中点，故 故 存在实数 t使得，得到 故答案为：3. 点睛：本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、考查了推理能力与计算能力，属于中档题在解决 多元的范围或最值问题时，常用的解决方法有：多元化一元，线性规划的应用，均值不等式的应用,“乘 1 法”与基本不等式的性质，等. 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17. 在中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 . （1）求角 的大小； （2）若的面积， 为
12、边的中点，求. 【答案】(1)；(2)5. 【解析】试题分析：(1) 由正弦定理，得，又，进而得到； （2） 的面积，得，两边平方得到，结合两个方程得到结果. 解析： （1）因为，由正弦定理，得. 又， 所以， 即. 因为，故. 所以. （2）由的面积，得. 又 为边的中点，故， 因此， 故， 即， 故. 所以. 18. 市场份额又称市场占有率，它在很大程度上反映了企业的竞争地位和盈利能力，是企业非常重视的一个 指标.近年来，服务机器人与工业机器人以迅猛的增速占领了中国机器人领域庞大的市场份额，随着“一带 一路”的积极推动，包括机器人产业在内的众多行业得到了更广阔的的发展空间，某市场研究人员为
13、了了 解某机器人制造企业的经营状况，对该机器人制造企业 2017 年 1 月至 6 月的市场份额进行了调查，得到如 下资料： 月份 1 2 3 4 5 6 市场份额 11 163 16 15 20 21 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程，并预测该企业 2017 年 7 月份的市场份 额. 如图是该机器人制造企业记录的 2017 年 6 月 1 日至 6 月 30 日之间的产品销售频数（单位：天）统计图.设 销售产品数量为 ，经统计，当时，企业每天亏损约为 200 万元； 当时，企业平均每天收入约为 400 万元； 当时，企业平均每天收入约为 700 万元. 设该企业
14、在六月份每天收入为 ，求 的数学期望； 如果将频率视为概率，求该企业在未来连续三天总收入不低于 1200 万元的概率. 附：回归直线的方程是，其中 ， 【答案】 （1）;预测该企业 2017 年 7 月份的市场份额为 23%. (2) ;. 【解析】 试题分析： （1） 根据题中数据得到， 代入样本中心值得到， 进而得到方程，将 x=7代入方程即可； （2）由题干知设该企业每天亏损约为 200万元为事件 ，平均每天收 入约达到 400万元为事件 ，平均每天收入约达到 700 万元为事件 ，则， 进而得到分布列和均值；由第一小问得到未来连续三天该企业收入不低于 1200 万元包含五种情况，求概率
15、 之和即可. 解析： （1）由题意， ， 故， 由得， 则. 当时， 所以预测该企业 2017 年 7 月的市场份额为 23%. （2）设该企业每天亏损约为 200 万元为事件 ，平均每天收入约达到 400 万元为事件 ，平均每天收入约 达到 700 万元为事件 ， 则，. 故 的分布列为 -200 400 700 0.1 0.2 0.3 所以（万元）. 由知，未来连续三天该企业收入不低于 1200 万元包含五种情况. 则. 所以该企业在未来三天总收入不低于 1200 万元的概率为 0.876. 19. 如图，在三棱柱中，侧面为矩形， 为棱 的中点，与 交于点 ，侧面， 为的中点. （1）证明
16、：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】试题分析： （1）取中点为 ，连接，可证明四边形为平行四边形，进而得到线 面平行； （2）建立坐标系得到直线的方向向量和面的法向量，由向量的夹角公式得到要求的线面角. 解析： （1）取中点为 ，连接， 由， 得，且， 所以四边形为平行四边形. 所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）由已知. 又平面， 所以，两两垂直. 以 为坐标原点，所在直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则经计算得， 因为， 所以， 所以， . 设平面 一个法向量为， 由 令，得. 设直线与平面所成的角为 ，
17、 则. 20. 已知焦点为 的的抛物线 ：（） 与圆心在坐标原点 ， 半径为 的交于 ， 两点， 且， ，其中 ， ， 均为正实数. （1）求抛物线 及的方程； （2）设点 为劣弧上任意一点，过 作的切线交抛物线 于 ， 两点，过 ，的直线 ， 均于抛物线 相切，且两直线交于点，求点的轨迹方程. 【答案】(1)答案见解析；(2). 【解析】 试题分析:(1)由题意可得到将点 A坐标代入方程可得到 m=2,进而得到点 A 的坐标，由点点距得到半径； （2）设，,由直线和曲线相切得到， ：，同理 ： ，联立两直线得，根据点在圆上可消参得到轨 迹. 解析： （1）由题意，故。 所以抛物线 的方程为.
18、 将代入抛物线方程，解得， 因此， 故， 的方程为. （2）设， 设 ：， 则由 得， 令，解得， 故 ：， 同理 ： . 则由 解得 因直线 ，. 则由 得， 则 因此根据点在圆上满足方程，消参得到. 点睛：这道题考查圆锥曲线中的求轨迹方程的方法；常见的方法有：数形结合法即几何法；相关点法，直 接法；定义法，代入法，引入参数再消参的方法，交轨法是一种解决两直线交点的轨迹的方法，也是一种 消参的方法. 21. 已知函数，其中 为常数， 是自然对数的底数. （1）设，若函数在区间上有极值点，求实数 的取值范围； （2）证明：当时，恒成立. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：
19、（1），则，若在上有极值点，则在上 有变号零点，设研究单调性使得函数和 x 轴有两个交点即可； （2）要证 成立， 分别求得左式的最大值和右式的最小值，证得最大值小于最小值即可. 解析： （1）由题意，则， 由题意，若在上有极值点， 则在上有变号零点. 令，即， 设， 故， 则， 又， ， 即. 故若函数在上有极值点， 只需 则， 所以 的取值范围为. （2）由题意，知要证成立. 设， 则， 当时， 当时， 所以当时，取得最大值. 所以. 设， 则， 因为，则， 故在区间内单调递增， 故，即. 所以， 故. 综上，当时，. 命题得证. 点睛： 利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差
20、函数.根据差函数导函数符号， 确 定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为 利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22. 在平面直角坐标系中，已知曲线 的参数方程为， （ 为参数） ，直线 的参数方程为 （ 为参数， 为实数） ，直线 与曲线 交于 两点. （1）若，求的长度； （2）当面积取得最大值时（ 为原点） ，求 的值. 【答案】(1
21、)；(2)0. 【解析】试题分析： （1）联立直线的参数方程和曲线，根据弦长公式可求解； （2）点 到直线的距离为 ， 则，若要面积取得最大值，则，可求得参数值，进而得到点 的坐标. 解析： （1）由（ 为参数） ， 可得曲线 的普通方程为. 由直线 的参数方程为（ 为参数） ， 可知直线 的普通方程为. 由得，. 故， 所以的长度. （2）由直线 的参数方程为（ 为参数， 为实数） ， 可知直线 过定点， 经验证该点在椭圆上， 不妨设为点 ，则直线的方程为. 设，点 到直线的距离为 ， 则. 若要面积取得最大值， 则， 得，. 此时或. 将代入直线 的参数方程为，解得. 将代入直线 的参数方程为，解得 不存在. 所以. 23. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若证明：不等式恒成立. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】试题分析： （1）零点分区间去掉绝对值，分段求解即可； （2）将表达式去掉绝对值，可求得取 最小值即证即可. 解析： （1） ， 即或或 解得. （2） 当时，单调递减， 当时，单调递增， 故时， 取最小值. 当时，恒成立， 即，故， 当时，在时取最大值， 所以不等式恒成立. 综上，不等式恒成立.
