1、 培优点三培优点三 含导函数的抽象函数的构造含导函数的抽象函数的构造 1对于 0fxa a，可构造 h xf xax 例 1：函数 f x的定义域为R，() 12f ，对任意Rx，( )2fx，则 24f xx的 解集为（ ） A()1,1 B()1， C() 1 ， D() ， 【答案】B 【解析】 构造函数 24G xf xx， 所以( )( )2G xfx， 由于对任意Rx，( )2fx， 所以( )( )20G xfx恒成立，所以 24G xf xx是R上的增函数， 又由于()()()112140Gf，所以 240G xf xx， 即 24f xx的解集为()1，故选 B 2对于 0x
2、fxf x，构造 h xxf x；对于 0xfxf x，构造 f x h x x 例 2：已知函数 yf x的图象关于y轴对称，且当,0x ， 0f xxfx成立， 0.20.2 22af，log 3log 3bf ， 33 log 9log 9cf，则a，b，c的大小关系是（ ） Aabc Bacb Ccba Dbac 【答案】D 【解析】因为函数 yf x关于y轴对称，所以函数 yxf x为奇函数 因为 xf xf xxfx ，所以当,0x 时， 0xf xf xxfx ，函数 yxf x单调递减，当0,x时，函数 yxf x单调递减 因为 0.2 122，0log 31 ， 3 log
3、92，所以 0.2 3 0log 32log 9 ，所以bac故 选 D 3对于( )( )0fxf x，构造 exh xf x；对于( )( )fxf x或( )( )0fxf x，构造 ( ) ( ) ex f x h x 例 3：已知 f x为R上的可导函数，且Rx ，均有 f xfx，则有（ ） A 2016 e( 2016)(0)ff， 2016 (2016)e(0)ff B 2016 e( 2016)(0)ff， 2016 (2016)e(0)ff C 2016 e( 2016)(0)ff， 2016 (2016)e(0)ff D 2016 e( 2016)(0)ff， 2016
4、(2016)e(0)ff 【答案】D 【解析】构造函数 ex f x g x ，则 2 ee e e xx x x fxf x fxf x gx ， 因为Rx 均有 f xfx并且e0 x ，所以 0g x，故函数 ex f x g x 在R上单调 递减， 所以( 2016)(0)gg，(2016)(0)gg，即 2016 ( 2016) (0) e f f ， 2016 (2016) (0) e f f， 也就是 2016 e( 2016)(0)ff， 2016 (2016)e(0)ff 4( )f x与sin x，cosx构造 例 4：已知函数 yf x对任意的, 2 2 x 满足 cos
5、sin0fxxf xx，则（ ） A 02 4 ff B 0 3 ff C2 34 ff D2 34 ff 【答案】D 【解析】提示：构造函数 ( ) ( ) cos f x g x x 对点增分集训对点增分集训 一、选择题 1若函数 yf x在R上可导且满足不等式( )( )0xfxf x恒成立，对任意正数a、b， 若ab， 则必有（ ） A( )( )af bbf a B( )( )bf aaf b C( )( )af abf b D( )( )bf baf a 【答案】C 【解析】由已知( )( )0xfxf x构造函数 F xxf x， 则( )( )( )0F xxfxf x，从而
6、F x在R上为增函数。 ab，( )( )F aF b，即( )( )af abf b，故选 C 2已知函数 Rf xx满足 11f，且 1 2 fx，则 1 22 x f x 的解集为（ ） A11xx B1x x C 11x xx或 D1x x 【答案】D 【解析】构造新函数 1 ( )( ) 22 x F xf x ，则 11 (1)(1)1 10 22 Ff ， 1 ( )( ) 2 F xfx，对任意Rx，有 1 ( )( )0 2 F xfx，即函数 F x在R上单调递减， 所以( )0F x 的解集为(1,)，即 1 22 x f x 的解集为(1,)，故选 D 3已知函数 f
7、x的定义域为R， fx为 f x的导函数，且 10f xxfx，则 （ ） A 10f B 0f x C 0f x D 10xf x 【答案】C 【解析】由题得 10xf x，设 1g xxf x，所以函数 g x在R上单调递增， 因为 10g，所以当1x 时， 0g x ；当1x 时， 0g x 当1x 时， 0g x ， 10xf x，所以 0f x 当1x 时， 0g x ， 10xf x，所以 0f x 当1x 时， 11 110ff，所以 10f 综上所述，故答案为 C 4设函数 fx是函数 Rf xx的导函数，已知 fxf x，且 4fxfx， 40f， 21f则使得 2e0 x
8、f x 成立的x的取值范围是（ ） A2， B0 ， C1 ， D4 ， 【答案】B 【解析】设 ex f x F x ，则 e 0 x fxf x Fx ，即函数 F x在R上单调递减， 因为 4fxfx，即导函数 yfx关于直线2x 对称， 所以函数 yf x是中心对称图形，且对称中心2,1（）， 由于 40f，即函数 yf x过点4,0（）， 其关于点2,1（）的对称点0,2（）也在函数 yf x上， 所以有02f（ ），所以 0 0 2 e 0 f F， 而不等式 2e0f xx，即 e 2 x f x ，即 0F xF，所以0x ， 故使得不等式 2e0f xx成立的x的取值范围是0
9、 （ ，）故选 B 5已知函数1yf x的图象关于点1,0对称，函数 yf x对于任意的0,x满足 sincosfxxf xx （其中 fx 是函数 f x的导函数） ，则下列不等式成立的是（ ） A 3 36 ff B 3 2 42 ff C 32 23 ff D 53 2 64 ff 【答案】C 【解析】由已知， f x为奇函数，函数 yf x对于任意的0,x满足 sincosfxxf xx ， 得 sincos0fxxf xx，即 0 sin f x x ， 所以 sin f x y x 在0,上单调递增；又因为 sin f x y x 为偶函数， 所以 sin f x y x 在,0上
10、单调递减所以 32 sinsin 32 ff ，即32 23 ff 故选 C 6定义在R上的函数 f x的导函数为 fx，若对任意实数x，有 f xfx，且 2018f x 为奇函数，则不等式 2018e0 x f x 的解集为（ ） A,0 B0, C 1 e , D 1 e , 【答案】B 【解析】构造函数 ex f x g x ，则 0 ex fxf x gx ，所以 g x在R上单独递减， 因为 2018f x 为奇函数，所以 020180f， 02018f， 02018g 因此不等式 2018e0 x f x 等价于 0g xg，即0x ，故选 B 7已知函数2f x是偶函数，且当2
11、x 时满足 2xfxfxf x，则（ ） A 214ff B 3 23 2 ff C 5 04 2 ff D 13ff 【答案】A 【解析】2f x是偶函数，则 f x的对称轴为2x ， 构造函数 2 f x g x x ，则 g x关于2,0对称， 当2x 时，由 2xfxfxf x，得 2 2 0 2 xfxf x gx x ， 则 g x在2,上单调递增， g x在,2上也单调递增， 故 134 123242 fff ， 214ff本题选择 A 选项 8 已知定义域为R的奇函数 yf x的导函数为 yfx， 当0x 时， 0 f x fx x ， 若 11 33 af ，33bf， 11
12、 lnln 33 cf ，则a，b，c的大小关系正确的是（ ） Aabc Bbca Cacb Dcab 【答案】C 【解析】定义域为R的奇函数 yf x， 设 F xxf x， F x为R上的偶函数， F xf xxfx， 当0x 时， 0 f x fx x ，当0x 时， 0x fxf x 当0x 时， 0x fxf x ，即 F x在0,（）单调递增，在,0-单调递减 3 111 lne 333 FafF ， 3333FbfF， 111 lnlnlnln3 333 FcfF ， 3 lneln33， 3 lneln33FFF即acb，故选 C 9已知定义在R上的函数 f x的导函数为 fx
13、， 2 2 2e x fxf x （e为自然对数的 底数） ， 且当1x 时， 10xfxf x ，则（ ） A 10ff B 2e0ff C 3 3e0ff D 4 4e0ff 【答案】C 【解析】令 e x F xf x ， e x Fxfxf x ， 10xfxf x ，1x 时，10x ，则 0fxf x， 0Fx， F x在,1上单调递减， 210FFF， 即 2 2 e1 e0fff， 2 2 2e x fxf x ， 6 42 eff， 4 31 eff 4 40 eff， 3 30 eff，故选 C 10定义在R上的函数 f x的导函数为 fx， 00f若对任意Rx，都有 1f
14、 xfx，则使得 e1f xx成立的x的取值范围为（ ） A,1- B,0- C1,- D0,（） 【答案】D 【解析】构造函数： 1 ex f x g x ， 0 01 e 01 f g ， 对任意Rx，都有 1f xfx， 2 e1 e1 0 e e xx x x fxf xfxf x gx ， 函数 g x在R单调递减，由 e1 x f x 化为： 1 10 ex f x g xg ， 0x 使得 e1 x f x 成立的x的取值范围为0,（）故选 D 11已知函数 f x是定义在区间0,上的可导函数，满足 0f x 且 0f xfx （ fx为函数的导函数） ，若01ab 且1ab ，
15、则下列不等式一定成立的是（ ） A 1f aaf b B 1f ba f a C af abf b D af bbf a 【答案】C 【解析】 构造函数 e0 x F xf xx， e0 x Fxf xfx ， 所以 F x是0, 上的减函数 令01x，则 1 x x ，由已知 1 F xF x ，可得 1 1 e x x f xf x ，下面证明 1 2 e 1 x x x ， 即证明 1 2ln0xx x ， 令 1 2lng xxx x ，则 2 2 1 0 x gx x ，即 g x在0,1上递减， 1g xg，即 1 2 e 1 x x x ， 所以 11 xf xf xx ，若01
16、ab ，1ab ，则 af abf b故选 C 12定义在R上的奇函数 yf x满足 30f，且当0x 时，不等式 f xxfx恒成 立，则函数 lg1g xxf xx的零点的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】定义在R上的奇函数 f x满足： 0033fff，且 fxf x， 又0x 时， f xxfx，即 0f xxfx， 0xf x ，函数 h xxf x在0x 时是增函数， 又 hxxfxxf x， h xxf x是偶函数； 0x 时， h x是减函数，结合函数的定义域为R，且 0330fff， 可得函数 1 yxf x与 2 lg1yx的大致图象如图所示， 由图
17、象知，函数 lg1g xxf xx的零点的个数为 3 个故选 C 二、填空题 13设( )f x是R上的可导函数，且( )( )fxf x ，(0)1f， 2 1 (2) e f则(1)f的值为 _ 【答案】 1 e 【解析】由( )( )fxf x 得( )( )0fxf x，所以e( )e( )0 xx fxf x，即e( )0 x f x， 设函数( )e( ) x F xf x，则此时有1(2)(0)1FF，故( )e( )1 x F xf x， 1 (1) e f 14已知, 2 2 x ， 1yf x为奇函数， tan0fxf xx，则不等式 cosf xx 的解集为_ 【答案】0
18、, 2 【解析】 1yf x为奇函数， 010f ，即 01f， 令 cos f x g x x ，, 2 2 x ，则 2 cossin 0 cos fxxf xx gx x ， 故 g x在, 2 2 x 递增， cosf xx，得 10 cos f x g xg x ， 故0x ，故不等式的解集是0, 2 ，故答案为0, 2 15已知定义在实数集R的函数 f x满足 27f，且 f x导函数 3fx，则不等式 ln3ln1fxx的解集为_ 【答案】 2 0,e 【解析】设lntx，则不等式ln3ln1fxx等价为 31f tt， 设 31g xf xx，则 3gxfx， f x的导函数
19、3fx ， 30gxfx ，函数 31g xf xx单调递减， 27f， 223 2 1 0gf ，则此时 3102g tf ttg ，解得2t ， 即 31f tt的解为2t ，所以ln2x ，解得 2 0ex， 即不等式ln3ln1fxx的解集为 2 0,e，故答案为 2 0,e 16已知函数 f x是定义在,00,上的奇函数，且 10f若0x 时， 0xfxf x， 则不等式 0f x 的解集为_ 【答案】, 10,1 【解析】设 f x g x x ，则 2 xfxf x gx x ，当0x 时，由已知得 0gx ， g x 为增函数， 由 f x为奇函数得 110ff，即10g ， 当1x 时 0 f x g x x ， 0f x ， 当10x 时， 0 f x g x x ， 0f x ，又 f x是奇函数， 当01x时， 0f x ，1x 时， 0f x 不等式 0f x 的解集为, 10,1 故答案为, 10,1
