1、 培优点二培优点二 函数零点函数零点 1零点的判断与证明 例 1:已知定义在1,上的函数 ln2f xxx, 求证: f x存在唯一的零点,且零点属于3,4 【答案】见解析 【解析】 11 1 x fx xx , 1,x, 0fx , f x在1,+单调递增, 31 ln30f , 42ln20f, 340ff, 0 3,4x,使得 0 0f x 因为 f x单调,所以 f x的零点唯一 2零点的个数问题 例 2:已知函数 f x满足 3f xfx,当1,3x, lnf xx,若在区间1,9内, 函数 g xf xax有三个不同零点,则实数a的取值范围是( ) A ln3 1 , 3e B l
2、n3 1 , 93e C ln3 1 , 92e D ln3 ln3 , 93 【答案】B 【解析】 3 3 x f xfxf xf ,当3,9x时, ln 33 xx f xf , 所以 ln13 ln39 3 xx f x x x , 而 gxf xa x有三个不同零点 yf x与yax有三 个不同交点, 如图所示, 可得直线yax应在图中两条虚线之间, 所以可解得:ln3 1 93e a 3零点的性质 例 3:已知定义在R上的函数 f x满足: 2 2 20,1 21,0 xx f x xx ,且 2f xf x, 25 2 x g x x ,则方程 f xg x在区间5,1上的所有实根
3、之和为( ) A5 B6 C7 D8 【答案】C 【解析】先做图观察实根的特点,在1,1中,通过作图可发现 f x在1,1关于0,2中 心对称, 由 2f xf x可得 f x是周期为 2 的周期函数,则在下一个周期3, 1 中, f x关 于2,2中心对称,以此类推。 从而做出 f x的图像(此处要注意区间端点值在何处取到) ,再看 g x图像, 251 2 22 x g x xx ,可视为将 1 y x 的图像向左平移 2 个单位后再向上平移 2 个单位, 所以对称中心移至2,2,刚好与 f x对称中心重合,如图所示:可得共有 3 个交点 123 xxx, 其中 2 3x , 1 x与 3
4、 x关于2,2中心对称,所以有 13 4xx 。所以 123 7xxx 故 选 C 4复合函数的零点 例 4:已知函数 2 43f xxx,若方程 2 0f xbf xc 恰有七个不相同的实根, 则实数b的取值范围是( ) A2,0 B2, 1 C0,1 D0,2 【答案】B 【解析】考虑通过图像变换作出 f x的图像(如图) ,因为 2 0f xbf xc 最多只能 解出 2 个 f x,若要出七个根,则 1 1fx , 2 0,1fx ,所以 12 1,2bfxfx , 解得:2, 1b 一、选择题 1设 ln2f xxx,则函数 f x的零点所在的区间为( ) A0,1 B1,2 C2,
5、3 D3,4 【答案】B 【解析】 1ln1 1 210f , 2ln20f, 120ff, 函数 ln2f xxx的图象是连续的,且为增函数, f x的零点所在的区间是1,2故选 B 2已知a是函数 1 2 log2xxf x 的零点,若 0 0xa,则 0 f x的值满足( ) A 0 0f x B 0 0f x C 0 0f x D 0 f x的符号不确定 【答案】C 【解析】 f x在(0,)上是增函数,若 0 0xa,则 0 0f xf a 3函数 2 ( )2f xxa x 的一个零点在区间 1,2内,则实数a的取值范围是( ) 对点增分集训对点增分集训 A1,3 B1,2 C0,
6、3 D0,2 【答案】C 【解析】因为 f x在(0,)上是增函数,则由题意得 ()()12030ffaa,解得 03a, 故选 C 4若abc,则函数 ()()()()()()f xxa xbxb xcxc xa的两个零点分别位 于区间( ) A(), a b和(), b c内 B(, )a和(), a b内 C(), b c和(), c 内 D(, )a和(), c 内 【答案】A 【解析】abc, ()()0f aab ac, ()()0f bbc ba, ()()0f cca cb, 由函数零点存在性定理可知,在区间(), a b,(), b c内分别存在零点,又函数 f x是二次函
7、数, 最多有两个零点因此函数 f x的两个零点分别位于区间(), a b,(), b c内,故选 A 5设函数 f x是定义在R上的奇函数,当0x 时, e3 x f xx,则 f x的零点个 数为( ) A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】因为函数 f x是定义域为R的奇函数,所以 00f,即 0 是函数 f x的一个 零点, 当0x 时, 令 3e0 x f xx, 则e3 x x , 分别画出函数 1 exy 和 2 3yx 的图象, 如图所示,两函数图象有一个交点,所以函数 f x有一个零点, 根据对称性知,当0x 时函数 f x也有一个零点 综上所述, f x的零点个数为 3
8、故选 C 6函数 2 20 1ln0 xxx xx f x 的零点个数为( ) A3 B2 C7 D0 【答案】B 【解析】方法一:由 0f x 得 2 0 20 x xx 或 2 0 20 x xx ,解得2x 或ex , 因此函数 f x共有 2 个零点 方法二:函数 f x的图象如图所示,由图象知函数 f x共有 2 个零点 7已知函数 10 1 0 x x x f x ,则使方程 xf xm有解的实数m的取值范围是( ) A1,2 B(, 2 C()(),12, D(),12, 【答案】D 【解析】当0x 时, xf xm,即1xm ,解得1m ;当0x 时, xf xm,即 1 xm
9、 x , 解得2m ,即实数m的取值范围是(),12,故选 D 8若函数 31 2f xaxa 在区间()1,1内存在一个零点,则a的取值范围是( ) A 1 , 5 B 1 , 1, 5 C 1 1, 5 D(), 1 【答案】B 【解析】当0a 时, 1f x 与x轴无交点,不合题意,所以0a ;函数 31 2f xaxa 在区间()1,1内是单调函数,所以 0( 11)ff,即()(10)51aa,解得1a 或 1 5 a 故选 B 9已知函数 00 e0 x x x f x ,则使函数 g xf xxm有零点的实数m的取值范围 是( ) A0,1 B(1), C(),12, D(),0
10、1, 【答案】D 【解析】函数 g xf xxm的零点就是方程 f xxm的根,画出 0 e0 x xx h xf xx xx 的大致图象(图略) 观察它与直线ym的交点,得知当 0m 或1m 时,有交点,即函数 g xf xxm有零点故选 D 10已知 f x是奇函数且是R上的单调函数,若函数 2 21()()yfxfx只有一个零 点,则实数 的值是( ) A 1 4 B 1 8 C 7 8 D 3 8 【答案】C 【解析】 令 2 ()21(0)yfxfx, 则 2 ()()21(fxfxf x, 因为 f x是R 上的单调函数,所以 2 21xx ,只有一个实根,即 2 210xx 只有
11、一个实根,则 1 8 10(),解得 7 8 11已知当0,1x时,函数 2 1()ymx的图象与yxm的图象有且只有一个交点,则 正实数m的取值范围是( ) A(0,12 3,+ ) B0,13), C(0, 22 3,+ ) D(0, 23,+ ) 【答案】B 【解析】 在同一直角坐标系中, 分别作出函数 2 22 1 ( )(1)f xmxmx m 与( )g xxm 的大致图象分两种情形: (1)当01m时, 1 1 m ,如图,当 0,1x时, f x与 g x的图象有一个交点,符 合题意 (2)当1m 时, 1 01 m ,如图,要使 f x与 g x的图象在0,1上只有一个交点,
12、 只需 11gf,即 2 11()mm,解得3m 或0m (舍去) 综上所述,0,13),m故选 B 12已知函数 yf x和 yg x在2,2的图像如下,给出下列四个命题: (1)方程 0fg x 有且只有 6 个根 (2)方程 0gf x 有且只有 3 个根 (3)方程 0ff x 有且只有 5 个根 (4)方程 0g g x 有且只有 4 个根 则正确命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】每个方程都可通过图像先拆掉第一层,找到内层函数能取得的值,从而统计出x的 总数 (1)中可得 1 2, 1gx , 2 0gx , 3 1,2gx ,进而 1 gx有 2 个对
13、应的x, 2 gx 有 2 个, 3 gx有 2 个,总计 6 个, (1)正确; (2)中可得 1 2, 1fx , 2 0,1fx ,进而 1 fx有 1 个对应的x, 2 fx有 3 个,总 计 4 个, (2)错误; (3)中可得 1 2, 1fx , 2 0fx , 3 1,2fx ,进而 1 fx有 1 个对应的x, 2 fx 有 3 个, 3 fx有 1 个,总计 5 个, (3)正确; (4)中可得: 1 2, 1gx , 2 0,1gx ,进而 1 gx有 2 个对应的x, 2 gx有 2 个, 共计 4 个, (4)正确 则综上所述,正确的命题共有 3 个 二、填空题 13
14、函数 0 5 2log| x f xx 的零点个数为_ 【答案】2 【解析】由 0f x ,得 0.5 1 |log| 2 x x ,作出函数 10 5 log|yx 和 2 1 2 x y 的图象, 由上图知两函数图象有 2 个交点,故函数 f x有 2 个零点 14设函数 3 1 yx与 2 2 1 2 x y 的图象的交点为 00 (,)xy,若 0 ,1()xn n,n,则 0 x所 在的区间是_ 【答案】1,2 【解析】令 2 3 1 2 x f xx ,则 0 0f x,易知 f x为增函数,且 10f, 20f, 0 x所在的区间是1,2 15函数 2 20 26ln0 f x
15、xx xxx 的零点个数是_ 【答案】2 【解析】当0x 时,令 2 20x ,解得2x (正根舍去) ,所以在(0,上有一个零点; 当0x 时, 1 ( )20fx x 恒成立,所以 f x在(0,)上是增函数又因为 22ln20f, 3ln30f,所以 f x在(0,)上有一个零点,综上,函数 f x 的零点个数为 2 16已知函数 2 3|f xxx,Rx,若方程 1|0|f xa x恰有 4 个互异的实数根, 则实数a的取值范围是_ 【答案】0,19(), 【解析】设 2 1 |3 |yf xxx, 2 |1|ya x, 在同一直角坐标系中作出 2 1 |3yxx, 2 |1|ya x
16、的图象如图所示 由图可知 1|0|f xa x有 4 个互异的实数根等价于 2 1 |3yxx与 2 |1|ya x的图象 有 4 个不同的交点且 4 个交点的横坐标都小于 1,所以 2 3 1 yxx yax 有两组不同解, 消去y得 2 )0(3xa xa有两个不等实根, 所以 2 ()340aa,即 2 1090aa, 解得1a 或9a 又由图象得0a ,01a或9a 三、解答题 17关于x的二次方程 2 1()10xmx在区间0,2上有解,求实数m的取值范围 【答案】(, 1 【解析】显然0x 不是方程 2 1()10xmx的解, 02x时,方程可变形为 1 1mx x , 又 1 y
17、x x 在 0,1上单调递减,在1,2上单调递增, 1 yx x 在 0,2上的取值范围是2,),1 2m,1m , 故m的取值范围是(, 1 18设函数 1 ( )1(0)f xx x (1)作出函数 f x的图象; (2)当0ab且 f af b时,求 11 ab 的值; (3)若方程 f xm有两个不相等的正根,求m的取值范围 【答案】 (1)见解析; (2)2; (3)01m 【解析】 (1)如图所示 (2) 1 10,1 1 ( )1 1 11, x x f x x x x 故 f x在0,1上是减函数,而在(1,)上是增函数 由0ab且 f af b,得01ab 且 11 11 ab , 11 2 ab (3)由函数 f x的图象可知,当01m时,方程 f xm有两个不相等的正根