1、第二讲第二讲 参数方程参数方程 二、圆锥曲线的参数方程二、圆锥曲线的参数方程 第第 2 课时课时 双曲线的参数方程和双曲线的参数方程和 抛物线的参数方程抛物线的参数方程 学习目标学习目标 1.了解抛物线和双曲线的参数方程了解抛物线和双曲线的参数方程，了了 解抛物线参数方程中参数的几何意义解抛物线参数方程中参数的几何意义(重点重点) 2.利用抛利用抛 物线和双曲线的参数方程处理问题物线和双曲线的参数方程处理问题(重点、难点重点、难点) 知识提炼知识提炼 梳理梳理 1双曲线的参数方程双曲线的参数方程 双曲线双曲线x 2 a2 y 2 b2 1 的参数方程为的参数方程为_ 为参数为参数，0，2）且）
2、且 2， ，3 2 . x asec ， ybtan 温馨提示温馨提示 参数参数 是点是点 M 所对应的圆的半径的旋转所对应的圆的半径的旋转 角角(称为点称为点 M 的离心角的离心角)，而不是而不是 OM 的旋转角的旋转角 2抛物线的参数方程抛物线的参数方程 如图如图，抛物线抛物线 y22px(p0)的参数方程为的参数方程为 _ t为参数为参数，t 1 tan . x 2pt2， y2pt 温馨提示温馨提示 t 1 sin ( 是以射线 是以射线 OM 为终边的角为终边的角)， 即即 参数参数t表示抛物线上除顶点之外的任意一表示抛物线上除顶点之外的任意一点与原点连线的点与原点连线的 斜率的倒数
3、斜率的倒数 思考尝试思考尝试 夯基夯基 1思思考判断考判断(正确的打正确的打“”，错误的打错误的打“”“”) (1)双曲线双曲线 x2 16 y 2 9 1 的参数方程为的参数方程为 x 4sec ， y3tan ( 为为 参数参数)，0，2)( ) (2)抛物线抛物线 y22px(p0)的参数方程是的参数方程是 x 2pt2， y2pt (t 为参数为参数)( ) (3)圆锥曲线圆锥曲线 x t2， y2t (t 为参数为参数)的焦点坐标是的焦点坐标是(1， 0)( ) 解析：解析：(1)由双曲线的参数方程易知其参数方程为由双曲线的参数方程易知其参数方程为 x 4sec ， y3tan (
4、为参数为参数)，但但 0，2)且且 2， ， 3 2 ， 故故(1)错误错误 (2)由参数方程消去参数由参数方程消去参数 t 可得普通方程为可得普通方程为 y2 2px(p0)，故故(2)正确正确 (3)由由 x t2， y2t 得得 y24x 为抛物线方程为抛物线方程，故其焦点为故其焦点为 (1，0) 答案：答案：(1) (2) (3) 2双曲线双曲线 x 2 3tan ， y6sec ( 为参数为参数)的两焦点坐标是的两焦点坐标是 ( ) A(0，4 3)，(0，4 3)B(4 3，0)，(4 3，0) C(0， 3)，(0， 3) D( 3，0)，( 3，0) 解析：解析：tan x 2
5、 3， ，sec y 6， ， 由由 sec2tan21， 得得y 2 62 x2 （2 3）2 1， 即即 y2 36 x2 12 1. 焦点在焦点在 y 轴上轴上，且且 c2a2b248，易得双曲线的焦易得双曲线的焦 点坐标是点坐标是(0，4 3)，(0，4 3) 答案：答案：A 3过过点点 M(2，4)且与抛物线且与抛物线 x 2t2， y4t 只有一个公共只有一个公共 点的直线有点的直线有( ) A0 条条 B1 条条 C2 条条 D3 条条 解析：解析：由由 x 2t2， y4t 得得 y28x. 所以点所以点 M(2，4)在抛物线上在抛物线上 所以过点所以过点 M(2，4)与抛物线
6、只有一个公共点的直线有与抛物线只有一个公共点的直线有 2 条条 答案：答案：C 4 双双曲线曲线 x2y21 的参数方程是的参数方程是_ 解析：解析：由由 x2y21， 又又 sec2tan21， 所以令所以令 xsec ，ytan . 故参数方程为故参数方程为 x sec ， ytan ( 为参数为参数) 答案：答案： x sec ， ytan ( 为参数为参数) 5 设设曲线曲线 C 的参数方程为的参数方程为 x t， yt2 (t 为参数为参数)， 若以直若以直 角坐标系的原点为极点角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标轴的正半轴为极轴建立极坐标 系系，则曲线则曲线 C
7、的极坐标方程为的极坐标方程为_ 解析：解析：由由 x t， yt2 得得 yx2， 令令 xcos ，ysin ， 代入整理得代入整理得 cos2sin 0， 即曲线即曲线 C 的极坐标方程是的极坐标方程是 cos2sin 0. 答案：答案：cos2sin 0 类型类型 1 双曲线的参数方程及其应用双曲线的参数方程及其应用(互动探究互动探究) 典例典例 1 已知点已知点 P(0，2)与双曲线与双曲线 x2y21 上一点上一点 Q，求求 P、Q 两点间距离的最小两点间距离的最小值值 解：解：把双曲线方程化为参数方程把双曲线方程化为参数方程 x sec ， ytan ( 为参为参 数数)， 设双曲
8、线上点设双曲线上点 Q(sec ，tan )，则则 |PQ|2sec2(tan 2)2 (tan21)(tan24tan 4) 2tan24tan 52(tan 1)23， 当当 tan 10，即即 4时 时， |PQ|2取最小值取最小值 3，此时有此时有|PQ| 3. 即即 P、Q 两点间的最小距离为两点间的最小距离为 3. 迁移探究迁移探究 (变换条件变换条件)已知圆已知圆 O1：x2(y2)21 上一点上一点 P 与双曲线与双曲线 x2y21 上一点上一点 Q，求求 P，Q 两点间两点间 距离的最小距离的最小值值 解：解：设设 Q(sec ，tan )， 由题意知由题意知|O1P|PQ|
9、O1Q|. |O1Q|2sec2(tan 2)2 (tan21)(tan24tan 4) 2tan24tan 52(tan 1)23， 当当 tan 1 时时，|O1Q|2取得最小值为取得最小值为 3， 此时有此时有|O1Q|min 3，|PQ|min 31. 归纳升华归纳升华 当点当点 P 在双曲线在双曲线x 2 a2 y 2 b2 1 上时上时， 可设可设 P(asec ， btan )，其中其中 0，2)，且且 2， ， 3 2， ，从而把与双曲线从而把与双曲线 上的点的坐标有关的问题转化为三角函数问题来处理上的点的坐标有关的问题转化为三角函数问题来处理 类型类型 2 抛物线的参数方程及
10、其应用抛物线的参数方程及其应用(规范解答规范解答) 典例典例 2 (本小题满分本小题满分 10 分分)如图所示如图所示， O 是直角坐标系的原点是直角坐标系的原点，A、B 是抛物线是抛物线 y22px(p0)上异于顶点的两个动点上异于顶点的两个动点，且且 OAOB 于于 O， A、 B 在什么位置时在什么位置时， AOB 的面积最小？的面积最小？ 最小值是多少？最小值是多少？ 审题指导：审题指导：利用抛物线的参数方程利用抛物线的参数方程，将将AOB 的面的面 积用其参数表示积用其参数表示，再利用均值不等式求最值再利用均值不等式求最值 规范解答规范解答 根据题意设点根据题意设点 A，B 的坐标分
11、别为的坐标分别为 A(2pt2 1， ，2pt1)，B(2pt2 2， ，2pt2)(t1 t2，且且 t1t2 0)，(1 分分) 则：则：|OA|（2pt2 1） ）2（2pt1）22p|t1|t2 1 1，(2 分分) |OB|（2pt2 2） ）2（2pt2）22p|t2|t2 2 1，(3 分分) 因为因为 OAOB，所以所以OA OB 0， 即即 2pt2 1 2pt 2 2 2pt1 2pt20，所以所以 t1 t21.(4 分分) AOB 的 面 积 为的 面 积 为 S AOB 1 2 |OA| |OB| 1 2 2p|t1|.t2 1 1 2p|t2|t2 2 1(5 分分
12、) 2p2|t1t2|（t2 1 1）（）（t2 2 1）2p2t2 1 t2 2 2 2p2t2 1 1 t2 1 2(6 分分) 2p2224p2，(7 分分) 当且仅当当且仅当 t2 1 1 t2 1， ，即即 t11，t21 或或 t11，t21 时时， 等号成立等号成立(9 分分) 失分警示：失分警示：若漏掉一组解扣若漏掉一组解扣 1 分分 所以所以 A，B 的坐标分别为的坐标分别为(2p，2p)，(2p，2p)或或(2p， 2p)，(2p，2p)时时， AOB 的面积最小的面积最小，最小值为最小值为 4p2.(10 分分) 归纳升华归纳升华 若点若点 M 在抛物线在抛物线 y22p
13、x(p0)上上，可根据其参数方可根据其参数方 程设程设 M(2pt2，2pt)，从而把与抛物线上的点的坐标有关的从而把与抛物线上的点的坐标有关的 问题转化为与参数问题转化为与参数 t 有关的问题有关的问题 变式训练变式训练 已知抛物线已知抛物线 y22px(p0)，过顶点的两过顶点的两 弦弦 OAOB 于于 O，求分别以求分别以 OA，OB 为直径的两圆的另为直径的两圆的另 一交点一交点 Q 的轨的轨迹迹 解：解：设设 A(2pt2 1， ，2pt1)，B(2pt2 2， ，2pt2)， 则以则以 OA 为直径为直径的圆的方程为的圆的方程为 x2y22pt2 1x 2pt1y0， 以以OB为直
14、径的圆的方程为为直径的圆的方程为x2y22pt2 2x 2pt2y0， 即即 t1，t2为方程为方程 2pxt22pytx2y20 的两根的两根， 所以所以 t1t2 （x2y2） 2px . 又又 OAOB，所以所以 t1t21，即即 x2y22px0， 所以另一交点所以另一交点 Q 的轨迹是以的轨迹是以(p，0)为圆为圆心心，p 为半径为半径 的圆的圆 1双双曲线的参数方程主要应用价值在于：曲线的参数方程主要应用价值在于： (1)通过参数通过参数(角角)简明地表示曲线上任一点的坐标；简明地表示曲线上任一点的坐标； (2)将解析几何中的计算问题转化为三角函数问题将解析几何中的计算问题转化为三角函数问题， 从而运用三角函数性质及变换公式帮助求解最值、参数从而运用三角函数性质及变换公式帮助求解最值、参数 的取值范围等问的取值范围等问题题 2在在利用参数方程求焦点坐标、准线方程时利用参数方程求焦点坐标、准线方程时，应先应先 判断抛物线的对称轴及开口方向判断抛物线的对称轴及开口方向，在方程的转化过程中在方程的转化过程中 要注意参数的范围限制要注意参数的范围限制.
