1、第一讲第一讲 坐标系坐标系 四、四、 柱坐标系与球坐标系柱坐标系与球坐标系 简介简介 学习目标学习目标 1.了解刻画空间中点的柱坐标和球坐标了解刻画空间中点的柱坐标和球坐标 (重点重点) 2.了解柱坐标及球坐标与直角坐标间的变换公了解柱坐标及球坐标与直角坐标间的变换公 式式(重点重点) 3.通过介绍柱坐标系与球坐标系通过介绍柱坐标系与球坐标系，对坐标系对坐标系 有一个完整的认识有一个完整的认识，能更好地体会和理解坐标思想能更好地体会和理解坐标思想(难难 点点) 知识提炼知识提炼 梳理梳理 1柱坐标系柱坐标系 (1)定义：一般地定义：一般地，如图建立空间如图建立空间 直角坐标系直角坐标系 Oxy
2、z.设设 P 是空间是空间任意任意一点一点， 它在它在 Oxy 平面上的射影为平面上的射影为 Q，用用(，)(0，02) 表示点表示点 Q 在平面在平面 Oxy 上的上的极坐标极坐标，这时点这时点 P 的位置可用的位置可用 有序数组有序数组(，z)(zR)表示表示 这这样样，我们建立了空间的点与有序数组我们建立了空间的点与有序数组(，z)之之 间的一种对应关间的一种对应关系把系把建立上述对应关系的坐标系叫作建立上述对应关系的坐标系叫作 柱坐标系柱坐标系，有序数组有序数组(，z)叫作点叫作点 P 的柱坐标的柱坐标，记作记作 P(，z)，其中其中 0，02，zR (2)空间点空间点 P 的直角坐标
3、的直角坐标(x，y，z)与柱坐标与柱坐标(，z) 之间的变换公式为之间的变换公式为_ xcos ， ysin ， zz 温馨提示温馨提示 柱坐标系又称半极坐标系柱坐标系又称半极坐标系， 它由平面极坐它由平面极坐 标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的 2球坐标系球坐标系 (1)定义：一般地定义：一般地，如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系 Oxyz. 设设 P 是空间是空间任意任意一点一点，连接连接 OP，记记|OP|r，OP 与与 Oz 轴轴正向正向所夹的角为所夹的角为 ，设设 P 在在 Oxy 平面上的平面上的射影射影为为 Q， Ox 轴按
4、轴按逆时针逆时针方向旋转到方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角时所转过的最小正角 为为 ，这样点这样点 P 的位置就可以用有序数组的位置就可以用有序数组(r，)表示表示， 这样这样，空间的点与有序数组空间的点与有序数组(r，)之间建立了一种对之间建立了一种对 应关应关系把系把建立上述对应关系的坐标系叫作球坐标系建立上述对应关系的坐标系叫作球坐标系(或或 空间极坐标系空间极坐标系)，有序数组有序数组(r，)，叫作点叫作点 P 的球坐标的球坐标， 记作记作 P(r，)，其中其中 r0，0，02 (2)空间点空间点 P 的直角坐标的直角坐标(x，y，z)与球坐标与球坐标(r，) 之间的变换公式为之间
5、的变换公式为_ xrsin cos ， yrsin sin ， zrcos 温馨提示温馨提示 在测量实践中在测量实践中， 球坐标中的角球坐标中的角 称为被测称为被测 点点 P(r，)的方位角的方位角，90 为高低角为高低角 思考尝试思考尝试 夯基夯基 1思思考判断考判断(正确的打正确的打“”，错误的打错误的打“”“”) (1)点点 M 的直角坐标为的直角坐标为(1， 3，4)，则点则点 M 的柱坐的柱坐 标为标为 2，5 3 ，4 .( ) (2)点点 N 的柱坐标为的柱坐标为 2，7 6 ，1 ，则点则点 N 的直角坐的直角坐 标为标为( 3，1，1)( ) (3)点点 S 的直角坐标的直角
6、坐标(1，0，1)化为球坐标化为球坐标为为 2， 4， ，0 .( ) (4)点点 t 的球坐标的球坐标 2，3 4 ，5 4 化为直角坐标为化为直角坐标为(1， 1， 2)( ) 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2在球坐标系中在球坐标系中，方程方程 r2 表示空间的表示空间的( ) A球球 B球面球面 C圆圆 D直线直线 解析：解析：设方程设方程 r2 的解在空间对应点的解在空间对应点 P 的球坐标为的球坐标为 P(2，)，直角坐标为直角坐标为 P(x，y，z) 则则 x2sin cos ，y2sin sin ，z2cos ，所以所以 |OP|x2y2z24sin2cos24si
7、n2sin24cos2 2. 所以所以 P 点的轨迹是以原点为球心点的轨迹是以原点为球心，2 为半径的球面为半径的球面 答案：答案：B 3点点 P 的柱坐标是的柱坐标是 4，5 4 ，3 ，则其直角坐标为则其直角坐标为 ( ) A(2 2，2 2，3) B(2 2，2 2，3) C(2 2，2 2，3) D(2 2，2 2，3) 解析：解析：xcos 4cos5 4 2 2， ysin 4sin 5 4 2 2， 故其直角坐标为故其直角坐标为(2 2，2 2，3) 答案：答案：C 4.如图所示如图所示，正方体正方体 OABC-O1A1B1C1中中，棱长为棱长为 1. (1)在柱坐标系中在柱坐标
8、系中，点点 B1的坐标为的坐标为 _ (2)在球坐标系中在球坐标系中，点点 C1的坐标为的坐标为 _ 解析：解析： (1)易知易知 |OB| 2， AOB 4， ， z|BB1| 1，故点故点 B1的柱坐标为的柱坐标为 2， 4， ，1 . (2)易知易知 r|OC1| 2，O1OC1 4， ， AOC 2， ，故点故点 C1的球坐标为的球坐标为 2， 4， ， 2 . 答案：答案：(1) 2， 4， ，1 (2) 2， 4， ， 2 5已已知点知点 M 的直角坐标为的直角坐标为(1，2，3)，球坐标为球坐标为(r， ，)，则则 tan _，tan _ 解析：解析：如图所示如图所示， tan
9、x2y2 z 5 3 ， tan y x 2. 答案：答案： 5 3 2 类型类型 1 柱坐标、球坐标的确定柱坐标、球坐标的确定(自主研析自主研析) 典例典例 1 已知正方体已知正方体 ABCD- A1B1C1D1的棱长为的棱长为 1，如右图所示如右图所示， 建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系 Axyz，以以 Ax 为极轴为极轴 (1)求点求点 C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标；的直角坐标、柱坐标以及球坐标； (2)求点求点 C 的和点的和点 D 的直角坐标、 柱坐标以及球坐标的直角坐标、 柱坐标以及球坐标 解：解：(1)点点 C1的直角坐标为的直角坐标为(1，1，1)，设点设点 C1的柱的
10、柱 坐标为坐标为(，z)，球坐标为球坐标为(r，)，其中其中 0，r0， 0，02， 由公式由公式 x cos ， ysin ， zz 及及 x rsin cos ， yrsin sin ， zrcos 得得 x2y2， tan y x（ （x0） 及及 r x2y2z2， cos z r. 所以所以 2， tan 1 及及 r 3， cos 3 3 . 结合图得结合图得 4， ，由由 cos 3 3 得得 tan 2. 所以点所以点 C1的直角坐标为的直角坐标为(1，1，1)柱坐标为柱坐标为 2， 4， ，1 ，球坐标为球坐标为 3， 4 ，其中其中 tan 2，0 . (2)同理可求得点同
11、理可求得点 C 的直角坐标为的直角坐标为(1，1，0)，柱坐标柱坐标 为为 2， 4， ，0 ，球坐标为球坐标为 2， 2， ， 4 ，点点 D 的直角坐标为的直角坐标为 (0，1，0)，柱坐标为柱坐标为 1， 2， ，0 ，球坐标为球坐标为 1， 2， ， 2 . 归纳升华归纳升华 将点将点 M 的直角坐标的直角坐标(x，y，z)化为柱坐标化为柱坐标(，z)或球或球 坐标坐标(r，)，需要对公式需要对公式 x cos ， ysin ， zz 及及 x rsin cos ， yyrsin sin ， zrcos 进行逆向变换进行逆向变换，得到得到 x2y2， tan y x（ （x0）， zz
12、 及及 r x2y2z2， cos z r. 在用三角函数值求角时在用三角函数值求角时， 要结合图形确定角的取值范要结合图形确定角的取值范 围再围再求值；若不是特殊角求值；若不是特殊角，可以设定角，然后明确其余弦，可以设定角，然后明确其余弦 值或正切值，并标注角的取值或正切值，并标注角的取值范围即可值范围即可 变式训练变式训练如图所示如图所示，已知长方体已知长方体 ABCD-A1B1C1D1的边长的边长 AB6 3， AD6，AA112，以这个长方体的顶点以这个长方体的顶点 A 为坐标原点为坐标原点，以射线以射线 AB、AD、AA1分别分别 为为 x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴的正半轴轴的正半
13、轴，建立空间直建立空间直 角坐标系角坐标系，求长方体顶点求长方体顶点 C1的空间直的空间直角坐标、柱坐标、角坐标、柱坐标、 球坐标球坐标 解：解：如题图所示如题图所示，点点 C1的的(x，y，z)分别对应着分别对应着 CD、 BC、CC1，点点 C1的的(，z)分别对应着分别对应着 CA、BAC、 CC1， 点点 C1的的(r， ， )分别对应着分别对应着 AC1、 A1AC1、 BAC. 所以点所以点 C1的空间直角坐标为的空间直角坐标为(6 3，6，12)，点点 C1的柱坐的柱坐 标为标为 12， 6， ，12 ，点点 C1的球坐标为的球坐标为 12 2， 4， ， 6 . 类型类型 2
14、直角坐标与柱坐标的互化直角坐标与柱坐标的互化(互动探究互动探究) 典例典例 2 (1)已知点已知点 M 的直角坐标为的直角坐标为(1，1，1)，求求 点点 M 的柱坐标；的柱坐标； (2)已知点已知点 N 的柱坐标为的柱坐标为 2，3 4 ，2 ， 求点求点 N 的直角的直角 坐坐标标 解：解：(1)由公式由公式 2112， 2，tan y x 1， 且角且角 的终边经过点的终边经过点(1，1，0)，所以所以 4， ， 所以点所以点 M 的柱坐标为的柱坐标为 2， 4， ，1 . (2)设点设点 P 的直角坐标为的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为柱坐标为(， z)， 因为因为(，z) 2，3
15、 4 ，2 ， 由公式由公式 x cos ， ysin ， zz 得得 x 2cos 3 4 ， y 2sin 3 4 ， z2， 即即 x 1， y1， z2. 所以点所以点 2，3 4 ，2 的直角坐标为的直角坐标为(1，1，2) 归纳升华归纳升华 (1)直角坐标化为柱坐标时直角坐标化为柱坐标时，利用公式利用公式 x2y2， tan y x（ （x0） 求解求解，即直角坐标为即直角坐标为(x，y，z)的点的的点的 柱坐标为柱坐标为(，z)(x2y2，z)，其中角其中角 由由 tan y x及 及 角终边经过的点角终边经过的点(x，y，0)确定确定 ( (2)柱坐标化为直角坐标时柱坐标化为直
16、角坐标时，利用公式利用公式 x cos ， ysin 求求 解解，即柱坐标为即柱坐标为(，z)的点的直角坐标为的点的直角坐标为(cos ，sin ，z) 迁移探究迁移探究 (变换条件变换条件)(1)设点设点 M 的直角坐标为的直角坐标为(1， 1，3)，求它的柱坐标；求它的柱坐标； (2)设点设点 N 的柱坐标为的柱坐标为 2，5 6 ，3 ，求它的直角坐求它的直角坐标标 解：解：(1)由变换公式由变换公式，得得 2x2y212122， 2， tan y x 1 1 1， 4(点 点 M 在第一象限在第一象限) 因此点因此点 M 的柱坐标为的柱坐标为 2， 4， ，3 . (2)设点的直角坐标
17、为设点的直角坐标为(x，y，z) 因为因为(，z) 2，5 6 ，3 ， 所以所以 x cos 2cos 5 6 ， ysin 2sin 5 6 ， z3， 即即 x 3， y1， z3. 所以点所以点 2，5 6 ，3 的直角坐标为的直角坐标为( 3，1，3) 类型类型 3 球坐标与直角坐标互化球坐标与直角坐标互化(互动探究互动探究) 典例典例 3 (1)将点将点 A 的直角坐标的直角坐标(1，1， 2)化为球坐化为球坐 标；标； (2)将点将点 B 的球坐标的球坐标 4， 3， ， 4 化为直角坐标化为直角坐标 解：解：(1)设点设点 A 的球坐标为的球坐标为(，) 由由(x，y，z)(1
18、，1， 2)， 得得 rx2y2z2 42. 由由 zrcos (0)， 得得 cos z r 2 2 得得 4； ； 又又 tan 1，且且 (02)角角的终边过点的终边过点(1，1)，得得 4. 所以点所以点 A 的直角坐标的直角坐标(1，1， 2)化为球坐标为化为球坐标为 2， 4， ， 4 . (2)因为因为(r，) 4， 3， ， 4 ， 所以所以 x rsin cos 4sin 3cos 4 6， yrsin sin 4sin 3sin 4 6， zrcos 4cos 3 2. 所以点所以点 B 4， 3， ， 4 的直角坐标为的直角坐标为( 6， 6，2) 归纳升华归纳升华 1(
19、1)直角坐标化为球坐标的公式为：直角坐标化为球坐标的公式为： r x2y2z2， cos z r（ （0）， tan y x（ （x0，02）， (2)直角坐标直角坐标(x，y，z)化为球坐标的步骤为：先求化为球坐标的步骤为：先求 OP rx2y2z2，再求再求 ，最后求最后求 ，将球坐标表示为将球坐标表示为 (r，) 2 球坐标化为直角坐标的公式为：球坐标化为直角坐标的公式为： x rsin cos ， yrsin sin ， zrcos . 球坐标球坐标(r， ， )的直角坐标为的直角坐标为(x， y， z)(rsin cos ， rsin sin ，rcos ) 迁移探究迁移探究 (变换
20、条件变换条件)(1)设点设点 A 的直角坐标为的直角坐标为( 1，1， 2)，求它的球坐标；求它的球坐标； (2)设点设点 B 的球坐标为的球坐标为 2，3 4 ，5 4 ， 求它的直角坐求它的直角坐标标 解：解：(1)设点设点 A 的球坐标为的球坐标为(r，)， 则则 rx2y2z2 （1）2（1）2（ 2）22， 又又 22cos ，故故 cos 2 2 ， 4， ， 又又 tan 1 1 1， 的终边过点的终边过点(1，1，0)， 故故 5 4 . 故点故点 A 的球坐标为的球坐标为 2， 4， ，5 4 . (2)因为因为(r，) 2，3 4 ，5 4 ， 所以所以 x rsin co
21、s 2sin 3 4 cos 5 4 1， yrsin sin 2sin 3 4 sin 5 4 1， zrcos 2cos 3 4 2. 所以点所以点 B 2，3 4 ，5 4 的直角坐标为的直角坐标为(1， 1， 2) 1空空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐 标系中的竖坐标组成的标系中的竖坐标组成的，表示为表示为(，z)因因此此，在在求求 空间一点空间一点 P 的柱坐标时的柱坐标时，先确定先确定 P 在在 xOy 平面上的射影平面上的射影 Q 的极坐标的极坐标(，)，它的柱坐标中的它的柱坐标中的 z 与空间直角坐标系与空间直角坐标系 的的 z
22、 相相同同 2求求空间一点空间一点 P 的球坐标的球坐标，先求先求|OP|r，再求再求 OP 与与 Oz 轴正方向所夹的角轴正方向所夹的角 ，设设 OP 在平面在平面 Oxy 上的射影上的射影 为为 OQ，则则 Ox 轴按逆时针方向旋转到轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最时所转过的最 小正角为小正角为 ，则点则点 P 的球坐标确定为的球坐标确定为(r，) 注意球坐标的排列顺序：注意球坐标的排列顺序：r(P 到原点的距离到原点的距离)； (OP 与与 z 轴正方向所夹的角轴正方向所夹的角)；(OP 在面在面 Oxy 内的内的 射影与射影与 x 轴正方向成的角轴正方向成的角) 3在在多种坐标系并存的情况下多种坐标系并存的情况下，通常统一到直角坐通常统一到直角坐 标系中去研标系中去研究究
