1、长江大学机械工程学院长江大学机械工程学院黄清世黄清世 8601660860166011/14/20221 绪绪 论论一.一.机械的设计方法机械的设计方法二.二.优化设计方法简介优化设计方法简介三.三.最优化方法的发展概况最优化方法的发展概况11/14/20222绪绪 论论一一.机械的设计方法机械的设计方法二二)机械的现代优化设计方法机械的现代优化设计方法-基于手工劳动或简易计算工具基于手工劳动或简易计算工具设计过程设计过程-特特 点点-基于计算机的应用基于计算机的应用低效低效,一般只能获得一个可行的设计方案一般只能获得一个可行的设计方案.从实际问题中抽象出数学模型从实际问题中抽象出数学模型;选
2、择合适的优化方法求解选择合适的优化方法求解数学模型数学模型.以人机配合或自动搜索方式进行以人机配合或自动搜索方式进行,能从能从“所有的所有的”可行方案中找出可行方案中找出“最优的最优的”设设计方案计方案.一一)机械的传统设计方法机械的传统设计方法11/14/20223 二二.优化设计方法简介优化设计方法简介 1)1)古典方法古典方法:2)2)现代方法现代方法:有线性规划、非线性规划、几何规划、动态规有线性规划、非线性规划、几何规划、动态规划和混合离散规划等。划和混合离散规划等。微分法微分法;变分法变分法.-仅能解决简单的极值问题仅能解决简单的极值问题数学规划方法数学规划方法 -可求解包含等式约
3、束和不等式约束可求解包含等式约束和不等式约束 的复杂的优化问题的复杂的优化问题.11/14/20224三三.最优化方法的发展概况最优化方法的发展概况-是适于生产建设、计划管理、科学实验和战争的需要发展起来的。是适于生产建设、计划管理、科学实验和战争的需要发展起来的。1 1）二十世纪三十年代）二十世纪三十年代.前苏联前苏联 根据生产组织和计划管理的需要提出线性规划问题根据生产组织和计划管理的需要提出线性规划问题.在在第二次世界大战期间出于战争运输需要，提出第二次世界大战期间出于战争运输需要，提出线性规划线性规划问题的解法；问题的解法；2 2）二十世纪五十年代末）二十世纪五十年代末.H.W.Kuh
4、n&A.W.Tucker.H.W.Kuhn&A.W.Tucker提出提出非线性规划非线性规划的基本定理的基本定理,奠定了非线性规划的理论基础奠定了非线性规划的理论基础.其求解方法在六十年代获得飞速发展其求解方法在六十年代获得飞速发展;11/14/202253)3)二十世纪六十年代二十世纪六十年代.美数学家美数学家 R.J.DuffinR.J.Duffin 提出了提出了几几何规划何规划,可把高度非线性的问题转化为具有线性约束的可把高度非线性的问题转化为具有线性约束的问题来求解问题来求解,使计算大为简化使计算大为简化;4)4)动态规划动态规划由由 R.Bellman R.Bellman 创立创立,
5、可解与时间有关的最优可解与时间有关的最优化问题化问题;5)5)混合离散规划混合离散规划是二十世纪八十年代提出的是二十世纪八十年代提出的,目前仍在发目前仍在发展过程中展过程中.*最优化方法用于机械设计是从二十世纪六十年代开始的最优化方法用于机械设计是从二十世纪六十年代开始的,较早的成果主要反映在机构的优化设计方面较早的成果主要反映在机构的优化设计方面,现已广泛用现已广泛用于机械零部件设计和机械系统的优化设计于机械零部件设计和机械系统的优化设计.11/14/20226最优化设计的主要内容最优化设计的主要内容一）最优化设计概论一）最优化设计概论二）无约束优化方法二）无约束优化方法三）线性规划方法三）
6、线性规划方法四）约束优化方法四）约束优化方法五）多目标优化方法五）多目标优化方法六）混合离散规划六）混合离散规划七）机械优化设计实例七）机械优化设计实例11/14/20227第一章第一章 最优化设计概论最优化设计概论一.一.引例引例二.二.设计变量设计变量三.三.目标函数和等值线目标函数和等值线四.四.约束条件约束条件五.五.最优化设计的数学模型最优化设计的数学模型六.六.优化计算的迭代方法优化计算的迭代方法11/14/2022892477.13077214.1,154525.2,154351.2321fxxx其解为其解为：321,xxx321,xxx)(2),(313221321xxxxxx
7、xxxf500004321134231211xxxhxgxgxgxg解解:设货箱的长、宽、高分别为设货箱的长、宽、高分别为 ，该问题可表示为该问题可表示为：求求 使使 达到最小达到最小 满足于满足于3m一.一.引例引例 1.要用薄钢板制造一体积为要用薄钢板制造一体积为5 的长方形汽车货箱的长方形汽车货箱(无上盖无上盖),),其长度要求不超过其长度要求不超过4m4m.问如何设计可使耗用的钢板表面积问如何设计可使耗用的钢板表面积最小最小?1x2x3x11/14/202290min42102305.4436969.9501181.6553377.25:lll求解结果min421,lll3221423
8、22min2)(cosminllllll0cos)2/(sin20180)(2)(arccos)(2)(arccos00002122223222141223242124122324212101432143214321lllllllllllllllllllllllllllllllll该问题可表示为该问题可表示为求求使使满足于满足于,25.1k002011180kk解：由解：由 有有.25.1,32,10003kmml,20101mmllmin2.设计一曲柄摇杆机构设计一曲柄摇杆机构.已知已知:要求要求:使使 达到最大达到最大.1O2O1A2A1B2B123411/14/202210二二.设计变量
9、设计变量1.1.设计变量设计变量 在设计中需进行优选的独立的待求参数；在设计中需进行优选的独立的待求参数；*)设计常量设计常量预先已给定的参数；预先已给定的参数；)设计方案设计方案由设计常量和设计变量组成。由设计常量和设计变量组成。)维维 数数设计变量的个数设计变量的个数n.n.大型问题中型问题小型问题50501110nnn,n通常通常,设计自由度设计自由度 ,越能获得理想的结果越能获得理想的结果,但求解难度但求解难度 .11/14/202211)设计点设计点与与设计向量设计向量每组设计变量值对应于以每组设计变量值对应于以n n个设计变个设计变量为坐标轴的量为坐标轴的n n维空间上的一个点，该
10、点称设计点维空间上的一个点，该点称设计点.原点到原点到该点的向量称设计向量该点的向量称设计向量.TnxxxX.21*可用数组表示：可用数组表示：1R2R3R)4(nRn当设计点连续时当设计点连续时,为直线为直线;为平面为平面;为立体空间为立体空间;为超越空间为超越空间.)设计空间设计空间设计点的集合（设计点的集合（维实欧氏空间维实欧氏空间 ）。）。nnRX2.2.设计空间设计空间 *设计点有连续与不连续之分设计点有连续与不连续之分;11/14/202212三三.目标函数和等值线目标函数和等值线 1x2x)1,2(1f4f0f 在无约束极小点处，等值线一般收缩一个点在无约束极小点处，等值线一般收
11、缩一个点。2221)1()2()(xxXf如如:2.等值线等值线（面面）能使目标函数取某一定值的所有设计能使目标函数取某一定值的所有设计点的集合点的集合;最好的性能最好的性能;最小的重量最小的重量;最紧凑的外形最紧凑的外形;最小的生产成本最小的生产成本;最大的经济效益等最大的经济效益等.-对极大化问题可取原函数的负值对极大化问题可取原函数的负值常处理为极小化形式常处理为极小化形式;单目标和多目标单目标和多目标；常用指标常用指标:),.,()(21nxxxfXf 数学模型中用来评价设计方案优劣的函数学模型中用来评价设计方案优劣的函数式数式 (又称评价函数又称评价函数):):1.目标函数目标函数1
12、1/14/202213四四.约束条件约束条件 puuXg,.,2,1,0)(qvvXh,.,2,1,0)(为使为使问题有解，须使问题有解，须使.qn*此外，也有将约束分成此外，也有将约束分成显约束显约束和和隐约束隐约束的。的。-由需满足的某种性能条件而导出的约束由需满足的某种性能条件而导出的约束(如如强度条件、刚度条件、曲柄存在条件等）。强度条件、刚度条件、曲柄存在条件等）。041x-对某个设计变量直接给出取值范围对某个设计变量直接给出取值范围:边界约束边界约束性能约束性能约束(2)(2)按约束的作用分按约束的作用分(1)(1)按约束的数学形式分按约束的数学形式分 不等式约束：不等式约束：等式
13、约束：等式约束：1.1.分类分类对设计变量的取值范围加以限制的条件；对设计变量的取值范围加以限制的条件；11/14/2022142.2.可行域与不可行域可行域与不可行域DX1x2xO0)(*Xgu 满足满足 的约束为起作用约束的约束为起作用约束,否则为否则为不起不起作用的约束作用的约束.(.(等式等式约束一定是起作用约束约束一定是起作用约束)起作用的约束与不起作用的约束起作用的约束与不起作用的约束约束边界上的可行点为边界点约束边界上的可行点为边界点,其余可行点为内点其余可行点为内点.)边界点边界点与与内点内点D D内的设计点为可行点内的设计点为可行点,否则为否则为不可行点不可行点.*)可行点与
14、不可行点可行点与不可行点D(2)不不可行域可行域:nRDX 满足约束条件的设计点的集合满足约束条件的设计点的集合 用用D D表示表示:(1)(1)可行域可行域11/14/202215五五.最优化设计的数学模型最优化设计的数学模型TnxxxX.*2*1*)(min)(*XfXfnRDX0)(Xgupu,.,2,10)(Xhvqv,.,2,1求求使使满足于满足于 1)1)按约束函数和目标函数的次数可分成按约束函数和目标函数的次数可分成线性规划线性规划、非线性规非线性规划划。二次规划二次规划是非线性规划的一种特殊情况。是非线性规划的一种特殊情况。)(:.:21XffxxxXTn最优值最优点最优解包括
15、两部分注意 2)2)按约束条件的数学形式可分成按约束条件的数学形式可分成IPIP型型问题问题(Problem with(Problem with inequality constraint)inequality constraint)、EPEP型型问题问题(Problem with equality constraint)和和GPGP型型问题问题(既含不等式约束也含等式约束的一般既含不等式约束也含等式约束的一般优化问题优化问题)。11/14/202216例例:求解二维问题求解二维问题05.0)(12xxXh2221)2()2()(minxxXf0)(11 xXg0)(22 xXg04)(222
16、13xxXgs.t.022)111fXT无约束最优解68629.0)22(222)2222fXT约束最优解2669.154.058.0)333fXT解加入等式约束时的最优X2X1f12311/14/202217六六.优化计算的迭代方法优化计算的迭代方法)1(X)2(X)0(X)0()0(s)()0(Xf,)1(X,.)2(X,.)(kX,)0(X)()1(Xf.)()2(Xf.)()(kXf 产生点列产生点列:使得使得:当满足终止迭代条件时当满足终止迭代条件时,便认为达到了最优点便认为达到了最优点.2.2.迭代过程迭代过程-利用计算机按某种逻辑方式反复利用计算机按某种逻辑方式反复运算运算,是是
17、最基本的最基本的方法方法.1.1.求解数学模型的方法求解数学模型的方法1)1)解析法解析法-对简单的无约束问题及等式约束问题对简单的无约束问题及等式约束问题;2)2)图解法图解法-对简单的低维问题对简单的低维问题;3)3)数值迭代法数值迭代法11/14/202218）迭代公式迭代公式:.27123113,12,11:)1()0()0()0(XSX例)0(X)(kS)(k 1.初始点初始点:2.搜索方向搜索方向:3.步长步长:4.是否终止迭代是否终止迭代.）需解决的问题需解决的问题：)()()()1(kkkkSXX,.2,1,)(kXk其中其中,称为迭代点称为迭代点.1x2xo-后三个问题是每次
18、迭代都要解决的问题后三个问题是每次迭代都要解决的问题11/14/2022193.3.算法的收敛性和收敛准则算法的收敛性和收敛准则 .,lim,.2,1,0,*)()(收敛的则称该迭代算法是为精确解这里有极限到的近似解系列若由某迭代算法计算得XXXkXkkk 一般根据算法对正定二次函数的求解能力来判一般根据算法对正定二次函数的求解能力来判断，能在有限步迭代中得到其极小点，称算法具有断，能在有限步迭代中得到其极小点，称算法具有二次收敛性二次收敛性。具有。具有二次收敛性的二次收敛性的算法是算法是收敛速度较收敛速度较高的方法高的方法。2)2)算法的收敛速度算法的收敛速度1)1)算法的收敛性算法的收敛性
19、11/14/2022203 3）收敛准则）收敛准则.112)()1(1)()1()()(nikikikkxxXX即数预先给定的足够小的正)1)()()()()1(2)1()()1(时适用kkkkXfXfXfXf)1)()()()1(3)()1(时适用kkkXfXfXf）相对下降量准则）相对下降量准则）绝对下降量准则）绝对下降量准则 点距准则点距准则 目标函数下降量准则目标函数下降量准则(1)(1)基于迭代信息的收敛准则基于迭代信息的收敛准则,531X122X17)51()32(2212 XX11/14/202221（2 2）基于极值存在条件的收敛准则）基于极值存在条件的收敛准则TnxfxfxfXf.)(214)1()(kXf 梯度准则梯度准则）梯度）梯度梯度是由函数各个一阶偏导数组成的矢量：梯度是由函数各个一阶偏导数组成的矢量：）梯度准则）梯度准则 *对无约束问题，最优点处的各个一阶偏导数均为对无约束问题，最优点处的各个一阶偏导数均为0 0，故函数梯度的模必为故函数梯度的模必为0 0。K-TK-T条件准则条件准则以上各准则单独使用时并非十分可靠，有时需几种准则联用。以上各准则单独使用时并非十分可靠，有时需几种准则联用。11/14/202222
