1、第一讲 坐 标 系 一 平面直角坐标系 【自主预习自主预习】 1.1.直角坐标系直角坐标系 (1)(1)数轴数轴. . 定义定义: :规定了原点、正方向和规定了原点、正方向和_的直线的直线. . 对应关系对应关系: :数轴上的点与数轴上的点与_之间一一对应之间一一对应. . 单位长度单位长度 实数实数 (2)(2)直角坐标系直角坐标系. . 定义定义: :在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条 数轴构成平面直角坐标系数轴构成平面直角坐标系, ,简称直角坐标系简称直角坐标系. . 相关概念相关概念: : 数轴的正方向数轴的正方向: :水平放置的数轴水平放
2、置的数轴_的方向、竖直放的方向、竖直放 置的数轴置的数轴_的方向分别是数轴的正方向的方向分别是数轴的正方向. . 向右向右 向上向上 x x轴或横轴轴或横轴: :坐标轴坐标轴_的数轴的数轴. . y y轴或纵轴轴或纵轴: :坐标轴坐标轴_的数轴的数轴. . 坐标原点坐标原点: :坐标轴的坐标轴的_._. 对应关系对应关系: :平面直角坐标系内的点与平面直角坐标系内的点与_ _之间一一对应之间一一对应. . 水平水平 竖直竖直 公共原点公共原点O O 有序实数对有序实数对 (x,y)(x,y) 公式公式: : 设平面直角坐标系中设平面直角坐标系中, ,点点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1
3、),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2),),线段线段P P1 1P P2 2 的中点为的中点为P,P,填表填表: : 两点间的距离公式两点间的距离公式 中点中点P P的坐标公式的坐标公式 |P|P1 1P P2 2|=_|=_ _ 22 1212 (xx )(yy ) 1212 xxyy ( 22 ，） 2.2.平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换 设点设点P(x,y)P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点是平面直角坐标系中的任意一点, ,在变换在变换 :_:_的作用下的作用下, ,点点P(x,y)P(x,y)对应到点对应到点P(x,P(x, y),y),称称为平面
4、直角坐标系中的坐标伸缩变换为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, ,简称简称 伸缩变换伸缩变换. . xx (0) yy (0) ， ， 【即时小测即时小测】 1.1.函数函数y=ln|x|y=ln|x|的图象为的图象为 ( ( ) ) 【解析解析】选选D.D.函数函数y=ln|x|y=ln|x|是偶函数是偶函数, ,图象关于图象关于y y轴对称轴对称, , 又又y=lnxy=lnx在在(0,+)(0,+)上为增函数上为增函数, ,故选故选D.D. 2.2.曲线曲线C C经过伸缩变换经过伸缩变换 后后, ,对应曲线的方程对应曲线的方程 为为:x:x2 2+y+y2 2=1,=1,则曲线则曲线C C
5、的方程为的方程为 ( ( ) ) 1 xx, 2 y3y 22 22 22 22 xy A.9y1 B.4x1 49 xy C.1 D.4x9y1 49 【解析解析】选选A.A.曲线曲线C C经过伸缩变换经过伸缩变换 后后, ,对应对应 曲线的方程为曲线的方程为xx2 2+y+y2 2=1=1, , 把代入得到把代入得到: +9y: +9y2 2=1.=1. 1 xx, 2 y3y 2 x 4 【知识探究知识探究】 探究点探究点 平面直角坐标系中点的位置平面直角坐标系中点的位置 1.1.平面直角坐标系中点的坐标的符号有什么特点平面直角坐标系中点的坐标的符号有什么特点? ? 提示提示: :平面直
6、角坐标系内的点平面直角坐标系内的点, ,第一象限符号全正第一象限符号全正, ,第二第二 象限横坐标为负象限横坐标为负, ,纵坐标为正纵坐标为正, ,第三象限全负第三象限全负, ,第四象限第四象限 横坐标为正横坐标为正, ,纵坐标为负纵坐标为负, ,即一三同号即一三同号, ,二四异号二四异号. . 2.2.伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗? ? 提示提示: :不一定不一定. .伸缩变换对原点的位置没有影响伸缩变换对原点的位置没有影响. .但是会但是会 改变除原点外的点的坐标和位置改变除原点外的点的坐标和位置, ,但是象限内的点伸缩但是象限内的点伸缩 变换后仍在
7、原来的象限变换后仍在原来的象限. . 【归纳总结归纳总结】 1.1.平面直角坐标系的作用与建立平面直角坐标系的作用与建立 平面直角坐标系是确定点的位置、刻画方程的曲线形平面直角坐标系是确定点的位置、刻画方程的曲线形 状和位置的平台状和位置的平台. .建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系, ,常常利用垂直常常利用垂直 直线为坐标轴直线为坐标轴, ,充分利用图形的对称性等特征充分利用图形的对称性等特征. . 2.2.伸缩变换的类型与特点伸缩变换的类型与特点 伸缩变换包括点的伸缩变换伸缩变换包括点的伸缩变换, ,以及曲线的伸缩变换以及曲线的伸缩变换, ,曲曲 线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化线经
8、过伸缩变换对应的曲线方程就会变化, ,通过伸缩变通过伸缩变 换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系. . 特别提醒特别提醒: :实数与数轴上的点是一一对应的实数与数轴上的点是一一对应的, ,所以一个所以一个 实数就能确定数轴上一个点的位置实数就能确定数轴上一个点的位置. . 类型一类型一 坐标法求轨迹方程坐标法求轨迹方程 【典例典例】已知已知ABCABC的边的边ABAB长为长为2a,2a,若若BCBC的中线为定长的中线为定长m,m, 求顶点求顶点C C的轨迹方程的轨迹方程. . 【解题探究解题探究】求轨迹方程的一般步骤是什么求轨迹方程的一般步骤是什么?
9、 ? 提示提示: :建系建系- -设点设点- -列条件列条件- -得方程、整理得方程、整理. . 【解析解析】由题意由题意, ,以线段以线段ABAB的中点为原点的中点为原点,AB,AB边所在的边所在的 直线为直线为x x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系, ,如图所示如图所示, , 则则A(A(- -a,0),B(a,0).a,0),B(a,0). 设设C(x,y),C(x,y), 则线段则线段BCBC的中点为的中点为 因为因为|AE|=m,|AE|=m,所以所以 xa y E(,). 22 22 xay (a)( )m 22 ， 化简得化简得(x+3a)(x+3a)2 2+y+y2 2=4m=
10、4m2 2. . 由于点由于点C C在直线在直线ABAB上时上时, ,不能构成三角形不能构成三角形, ,故去掉曲线与故去掉曲线与 x x轴的两个交点轴的两个交点, ,从而所求的轨迹方程是从而所求的轨迹方程是(x+3a)(x+3a)2 2+y+y2 2 =4m=4m2 2(y0).(y0).(建系不同建系不同, ,轨迹方程不同轨迹方程不同) ) 【方法技巧方法技巧】 1.1.建立平面直角坐标系的技巧建立平面直角坐标系的技巧 (1)(1)如果平面几何图形有对称中心如果平面几何图形有对称中心, ,可以选对称中心为可以选对称中心为 坐标原点坐标原点. . (2)(2)如果平面几何图形有对称轴如果平面几
11、何图形有对称轴, ,可以选择对称轴为坐可以选择对称轴为坐 标轴标轴. . 特别提醒特别提醒: :建系时尽量使平面几何图形上的特殊点在坐建系时尽量使平面几何图形上的特殊点在坐 标轴上标轴上. . 2.2.运用解析法解决实际问题的步骤运用解析法解决实际问题的步骤 (1)(1)建系建系建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系. .建系原则是利于运建系原则是利于运 用已知条件用已知条件, ,使表达式简明使表达式简明, ,运算简便运算简便. .因此因此, ,要充分利要充分利 用已知点和已知直线作为原点和坐标轴用已知点和已知直线作为原点和坐标轴. . (2)(2)建模建模选取一组基本量选取一组基本量, ,用字
12、母表示出题目涉及用字母表示出题目涉及 的点的坐标和曲线的方程的点的坐标和曲线的方程. . (3)(3)运算运算通过运算通过运算, ,得到所需要的结果得到所需要的结果. . (4)(4)回归回归回归到实际问题作答回归到实际问题作答. . 【变式训练变式训练】1.1.已知点已知点(5(5- -m,3m,3- -2m)2m)不在第四象限不在第四象限, ,求实求实 数数m m的取值范围的取值范围. . 【解析解析】若点若点(5(5- -m,3m,3- -2m)2m)在第四象限在第四象限, , 则则5 5- -m0,m0,且且3 3- -2m0,2m0,解得解得 m5,m5, 故点故点(5(5- -m,
13、3m,3- -2m)2m)不在第四象限时不在第四象限时, , 实数实数m m的取值范围是的取值范围是m m 或或m5.m5. 3 2 3 2 2.2.四边形四边形ABCDABCD为矩形为矩形,P,P为矩形为矩形ABCDABCD所在平面内的任意所在平面内的任意 一点一点, ,求证求证:PA:PA2 2+PC+PC2 2=PB=PB2 2+PD+PD2 2. . 【证明证明】如图所示如图所示, , 以以A A为原点为原点,AB,AB所在直线为所在直线为x x轴轴,AD,AD所在所在 直线为直线为y y轴轴, ,建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系, ,设设 A(0,0),B(a,0),C(a,b)
14、,D(0,b),P(x,y),A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P(x,y), 则则PAPA2 2=x=x2 2+y+y2 2,PB,PB2 2=(x=(x- -a)a)2 2+y+y2 2, , PCPC2 2=(x=(x- -a)a)2 2+(y+(y- -b)b)2 2,PD,PD2 2=x=x2 2+(y+(y- -b)b)2 2. . 所以所以PAPA2 2+PC+PC2 2=2x=2x2 2+2y+2y2 2- -2ax2ax- -2by+a2by+a2 2+b+b2 2, , PBPB2 2+PD+PD2 2=2x=2x2 2+2y+2y2 2- -2ax2
15、ax- -2by+a2by+a2 2+b+b2 2. . 故故PAPA2 2+PC+PC2 2=PB=PB2 2+PD+PD2 2. . 类型二类型二 伸缩变换公式与应用伸缩变换公式与应用 【典例典例】求曲线求曲线x x2 2+y+y2 2=1=1经过经过: : 变换后得到的变换后得到的 新曲线的方程新曲线的方程. . x3x, y4y 【解题探究解题探究】如何求变换后的新曲线的方程如何求变换后的新曲线的方程? ? 提示提示: :将将x,yx,y表示出来表示出来, ,代入到原方程即可得到新曲线的代入到原方程即可得到新曲线的 方程方程. . 【解析解析】曲线曲线x x2 2+y+y2 2=1=1
16、经过经过: : 变换后变换后, , 即即 代入到圆的方程代入到圆的方程, ,可得可得 即所求新曲线的方程为即所求新曲线的方程为 x3x, y4y x x 3 y y 4 ， ， 22 xy 1 916 ， 22 xy 1 916 【延伸探究延伸探究】 1.1.若曲线若曲线C C经过经过 变换后得到圆变换后得到圆x x2 2+y+y2 2=1,=1,求曲线求曲线 C C的方程的方程. . 1 xx 2 1 yy 3 ， 【解析解析】将将 代入到方程代入到方程xx2 2+y+y2 2=1,=1, 得得 即曲线即曲线C C的方程的方程. . 1 xx 2 1 yy 3 ， 22 xy 1 49 ，
17、2.2.若圆若圆x x2 2+y+y2 2=1=1经过变换经过变换后得到曲线后得到曲线 求变换求变换的坐标变换公式的坐标变换公式. . 22 xy C1, 2516 ： 【解析解析】设设: 代入到代入到CC中得中得 与圆的方程比较得与圆的方程比较得=5,=4.=5,=4. 故故的变换公式为的变换公式为 xx yy ， ， 2222 xy 1 2516 ， x5x y4y. ， 【方法技巧方法技巧】与伸缩变换相关问题的处理方法与伸缩变换相关问题的处理方法 (1)(1)已知变换前的曲线方程及伸缩变换已知变换前的曲线方程及伸缩变换, ,求变换后的曲求变换后的曲 线方程的方法线方程的方法: :利用伸缩
18、变换用利用伸缩变换用(x,y)(x,y)表示出表示出(x,y),(x,y), 代入变换前的曲线方程代入变换前的曲线方程. . (2)(2)已知变换后的曲线方程及伸缩变换已知变换后的曲线方程及伸缩变换, ,求变换前的曲求变换前的曲 线方程线方程: :利用伸缩变换用利用伸缩变换用(x,y)(x,y)表示表示(x,y),(x,y),代入变代入变 换后的曲线方程换后的曲线方程. . (3)(3)已知变换前后的曲线方程求伸缩变换已知变换前后的曲线方程求伸缩变换, ,将变换前后将变换前后 的方程变形的方程变形, ,确定出确定出(x,y)(x,y)与与(x,y)(x,y)的关系即为所求的关系即为所求 的伸缩
19、变换的伸缩变换, ,也可用待定系数法也可用待定系数法. . 【补偿训练补偿训练】1.(20161.(2016蚌埠高二检测蚌埠高二检测) )在同一平面直在同一平面直 角坐标系中角坐标系中, ,经过伸缩变换经过伸缩变换 后后, ,曲线曲线C C变为曲线变为曲线 xx2 2+y+y2 2=1,=1,则曲线则曲线C C的方程为的方程为 ( ( ) ) x4x y3y ， 2222 2222 A 9x16y1 B 16x9y1 xyxy C1 D1 169916 【解析解析】选选B.B.设曲线设曲线C C上任意一点的坐标为上任意一点的坐标为P(x,y),P(x,y),按按 : : 变换后的对应的坐标为变
20、换后的对应的坐标为P(x,y),P(x,y),代入代入 xx2 2+y+y2 2=1,=1,得得16x16x2 2+9y+9y2 2=1.=1. x4x y3y ， 2.2.将曲线将曲线y=sin(2016x)y=sin(2016x)按按: : 变换后的曲线变换后的曲线 与直线与直线x=0,x=x=0,x= ,y=0,y=0围成图形的面积为围成图形的面积为_._. x2 016x 1 yy 2 ， 【解析解析】设曲线设曲线y=sin(2016x)y=sin(2016x)上任意一点的坐标为上任意一点的坐标为 P(x,y),P(x,y),按按变换后的对应点的坐标为变换后的对应点的坐标为P(x,y)
21、,P(x,y), 由由: : 代入代入y=sin(2016x),y=sin(2016x),得得2y=sinx,2y=sinx,所以所以y= sinx,y= sinx, 即即y= sinx,y= sinx,所以所以y= sinxy= sinx与直线与直线x=0,x=,y=0x=0,x=,y=0围成图围成图 1x2 016x xx 2 016 1 yy y 2y 2 ， ， 得 ， 1 2 1 2 1 2 形的面积为形的面积为S= S= 答案答案: :1 1 00 111 sin xdxcos x|(coscos 0)1 222 自我纠错自我纠错 伸缩变换公式的应用伸缩变换公式的应用 【典例典例】
22、将曲线将曲线 按照按照: : 变换为曲线变换为曲线 求曲线求曲线y=cos4xy=cos4x在在变换后变换后 的曲线的最小正周期与最大值的曲线的最小正周期与最大值. . y3sin(2x) 3 xx0 yy0 ，（）， ，（） ysinx 3 （）， 【失误案例失误案例】 分析解题过程分析解题过程, ,找出错误之处找出错误之处, ,并写出正确答案并写出正确答案. . 提示提示: :出错的根本原因是弄错了变换顺序出错的根本原因是弄错了变换顺序, ,错误代入方错误代入方 程程. .正确解答过程如下正确解答过程如下: : 【解析解析】由由: : 得得: : 将曲线将曲线 按照按照: : 变换为曲线的方程为变换为曲线的方程为 xx0 yy0 ，（）， ，（）， 1 xx0 1 yy0 ，（）， ，（）， y3sin2x 3 （） xx0 yy0 ，（）， ，（） 2 y3 sinx 3 （）， 由题意由题意, ,得得3=1, 3=1, 故故=2, =2, 则曲线则曲线y=cos4xy=cos4x在在变换后的曲线的方程为变换后的曲线的方程为 所以变换后的曲线的最小正周期为所以变换后的曲线的最小正周期为,最大值为最大值为 2 1 ， 1 . 3 1 ycos 2x 3 ， 1 . 3
