1、二 绝对值不等式 1.绝对值三角不等式 【自主预习自主预习】 1.1.绝对值的几何意义绝对值的几何意义 原点原点 距离距离 长度长度 a a 2.2.绝对值三角不等式绝对值三角不等式 (1)(1)定理定理1:1:如果如果a,bR,a,bR,则则|a+b|_,|a+b|_,当且仅当且仅 当当_时时, ,等号成立等号成立. . (2)(2)定理定理1 1的推广的推广: :如果如果a,ba,b是实数是实数, ,则则|a|a|- -|b|b| |a|ab|a|+|b|.b|a|+|b|. |a|+|b|a|+|b| ab0ab0 (3)(3)定理定理2:2:如果如果a,b,cR,a,b,cR,那么那么
2、|a|a- -c|ac|a- -b|+|bb|+|b- -c|,c|, 当且仅当当且仅当_时时, ,等号成立等号成立. . (a(a- -b)(bb)(b- -c)0c)0 【即时小测即时小测】 1.1.已知已知a,bR,a,bR,则使不等式则使不等式|a+b|0 B.a+b0 D.abm时时, ,求证求证: m|b|且且|x|m1,|x|m1, 所以所以|x|x2 2|b|.|b|. 又因为又因为|x|m|a|,|x|m|a|, 所以所以 故原不等式成立故原不等式成立. . 2 2222 abxxabab | |2, xxxxxx xx 2.2.若若f(x)=xf(x)=x2 2- -x+c
3、(cx+c(c为常数为常数),|x),|x- -a|a的解集不是的解集不是R,R,求求a a 的取值范围的取值范围. . 【解析解析】只要只要a a不小于不小于|x|x- -3|+|x+1|3|+|x+1|的最小值的最小值, , 则则|x|x- -3|+|x+1|a3|+|x+1|a的解集不是的解集不是R,R, 而而|x|x- -3|+|x+1|=|33|+|x+1|=|3- -x|+|x+1|3x|+|x+1|3- -x+x+1|=4,x+x+1|=4, 当且仅当当且仅当(3(3- -x)(x+1)0,x)(x+1)0,即即- -1x31x3时取最小值时取最小值4,4, 所以所以a a的取值
4、范围是的取值范围是4,+).4,+). 【方法技巧方法技巧】求求f(x)=|x+a|+|x+b|f(x)=|x+a|+|x+b|和和f(x)=|x+a|f(x)=|x+a|- - |x+b|x+b|的最值的三种方法的最值的三种方法 (1)(1)转化法转化法: :转化为分段函数进而利用分段函数的性质转化为分段函数进而利用分段函数的性质 求解求解. . (2)(2)利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解, ,但要注但要注 意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值. . (3)(3)利用绝对值的几何意义利用绝对值的几何意义. .
5、【变式训练变式训练】已知已知xR,xR,求函数求函数f(x)=|x+1|f(x)=|x+1|- -|x|x- -2|2|的最的最 大值大值. . 【解析解析】根据绝对值的三角不等式根据绝对值的三角不等式, ,有有|x+1|x+1|- -|x|x- -2| 2| |(x+1)|(x+1)- -(x(x- -2)|=3.2)|=3.当且仅当当且仅当x x2 2时等号成立时等号成立. .故函数故函数 f(x)=|x+1|f(x)=|x+1|- -|x|x- -2|2|3,3,所以最大值为所以最大值为3.3. 类型三类型三 绝对值三角不等式的综合应用绝对值三角不等式的综合应用 【典例典例】(2014(
6、2014全国卷全国卷)设函数设函数f(x)= +|xf(x)= +|x- -a|a| (a0).(a0). (1)(1)证明证明:f(x)2.:f(x)2. (2)(2)若若f(3)0,有有f(x)= f(x)= 所以所以f(x)2.f(x)2. (2)f(3)= +|3(2)f(3)= +|3- -a|.a|.当当a3a3时时,f(3)=a+ ,f(3)=a+ , 由由f(3)0,即即u u1 1uu2 2. . 又在又在 - -1,11,1上上u0,u0,故故lgulgu1 1lgulgu2 2, , 得得f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2),),所以所以f(x)f(x)在在 - -
7、1,11,1上是减函数上是减函数. . (2)(2)因为因为 所以所以 11111 |t|t| |(t)(t)| 66663 ， 11111 |t|t| |t(t)| 66663 ， 1111 |t|t|. 3663 由由(1)(1)的结论的结论, ,有有 1111 f( )(|t|t|)f(). 3663 17113 f( )lgf()lg 310310 71113 lg |t|t| lg . 106610 而， 所以 自我纠错自我纠错 绝对值不等式在证明中的应用绝对值不等式在证明中的应用 【典例典例】求证求证: : abab . 1ab1a1b 【失误案例失误案例】 分析解题过程分析解题过程, ,找出错误之处找出错误之处, ,并写出正确答案并写出正确答案. . 提示提示: :错误的根本原因是用错了绝对值不等式错误的根本原因是用错了绝对值不等式, ,不能保不能保 证证1+|a+b|1+|a+b|1+|a|,1+|a+b|1+|a|,1+|a+b|1+|b|1+|b|成立成立. .正确解答过正确解答过 程如下程如下: : 【解析解析】当当|a+b|=0|a+b|=0时时, ,显然成立显然成立. . 当当|a+b|0|a+b|0时时, , 所以不等式成立所以不等式成立. . abab11 11 1ab1ab 11 abab abab 1ab1ab1a1b ，
