1、四 柱坐标系与球坐标系简介 【自主预习自主预习】 1.1.柱坐标系柱坐标系 如图如图, ,在柱坐标系中在柱坐标系中, , : _: _ :_:_ z:_z:_ 范围范围: : 0,_0,_ 时时,“,“圆锥面”在平面圆锥面”在平面xOyxOy下方下方. . 2 2 2 类型一类型一 柱坐标与直角坐标的转化柱坐标与直角坐标的转化 【典例典例】把点把点P P的直角坐标的直角坐标(2,2 ,4)(2,2 ,4)化为柱坐标化为柱坐标. . 3 【解题探究解题探究】直角坐标与柱坐标互化的依据是什么直角坐标与柱坐标互化的依据是什么? ? 提示提示: :直角坐标与柱坐标互化的依据是公式直角坐标与柱坐标互化的
2、依据是公式 x cos ysin zz. ， ， 【解析解析】点点P P的直角坐标的直角坐标(2,2 ,4)(2,2 ,4)化为柱坐标化为柱坐标 解得解得 所以点所以点P P的柱坐标为的柱坐标为 2cos , 2 3sin , z4, 4z4 3 ， (44). 3 ， 3 【方法技巧方法技巧】点的柱坐标与直角坐标的互相转化公式点的柱坐标与直角坐标的互相转化公式 设点设点P P的直角坐标为的直角坐标为(x,y,z),(x,y,z),柱坐标为柱坐标为( ( , , ,z),z), (1)(1)柱坐标化为直角坐标的公式为柱坐标化为直角坐标的公式为 即柱坐标即柱坐标( ( , , ,z),z)的直角
3、坐标为的直角坐标为(x,y,z)=(x,y,z)=( coscos , , sinsin ,z).,z). xcos ysin zz ， ， ， (2)(2)直角坐标化为柱坐标的公式为直角坐标化为柱坐标的公式为 即直角坐标即直角坐标(x,y,z)(x,y,z)的柱坐标为的柱坐标为 其中其中, , 且且 的终边经过的终边经过(x,y).(x,y). 22 xy y tan x0 x ， （）， 22 (z)=( x +yz)， ， ， ， y tan x0 x （）， 【变式训练变式训练】1.1.将点的柱坐标将点的柱坐标 化为直角坐标化为直角坐标 为为 ( ( ) ) A.( ,1,A.( ,1
4、,- -1)1) B.( ,B.( ,- -1,1,- -1)1) C.(C.(- - ,1,1,- -1)1) D.(D.(- - , ,- -1,1,- -1)1) 5 (2, 1) 6 33 33 【解析解析】选选C.C.因为因为M M点的柱坐标为点的柱坐标为 设点设点M M的直角坐标为的直角坐标为(x,y,z),(x,y,z), 所以所以 即即 所以所以 5 (2, 1) 6 ， 5 x2cos, 6 5 y2sin, 6 z1, x3, y1, z1. M311 .（， ， ） 2.2.将点的直角坐标将点的直角坐标( (- - , ,- -3,4)3,4)化为柱坐标为化为柱坐标为_.
5、_. 3 【解析解析】设点设点P P的直角坐标为的直角坐标为(x,y,z),(x,y,z),柱坐标为柱坐标为 (,z),(,z), 因为因为(x,y,z)=(x,y,z)=(- - , ,- -3,4),3,4), 由公式由公式 且且的终边经过点的终边经过点( (- - , ,- -3),3),故故= ,= , 3 22 y xy2 3,tan3 x ， 3 4 3 所以点的直角坐标所以点的直角坐标( (- - , ,- -3,4)3,4)化为柱坐标为化为柱坐标为 . . 答案答案: : 3 4 (2 3,4) 3 4 (2 3,4) 3 类型二类型二 球坐标与直角坐标的转化球坐标与直角坐标的
6、转化 【典例典例】已知点已知点M M的球坐标为的球坐标为 求它的直角坐标求它的直角坐标. . (1) 3 6 ， ， 【解题探究解题探究】球坐标与直角坐标互化的依据是什么球坐标与直角坐标互化的依据是什么? ? 提示提示: :球坐标与直角坐标互化的依据是公式球坐标与直角坐标互化的依据是公式 x rsin cos , yrsin sin , zrcos . 【解析解析】设点设点M M的直角坐标为的直角坐标为(x,y,z),(x,y,z), 因为点因为点M M的球坐标为的球坐标为 所以所以 所以所以M M的直角坐标为的直角坐标为 (1, ) 3 6 ， 331 xsincosysinsinzcos,
7、 36436432 ， 33 1 ( , ). 442 【延伸探究延伸探究】 1.1.若点若点M M的球坐标变为的球坐标变为 则它的直角坐标是什么则它的直角坐标是什么? ? 2 (1,) 33 ， 【解析解析】因为因为 故直角坐标为故直角坐标为 23 xsincos 334 ， 231 ysinsinzcos 33432 ， 3 3 1 (, , ). 44 2 2.2.求点求点M M的柱坐标的柱坐标. . 【解析解析】设点设点M M的直角坐标为的直角坐标为(x,y,z),(x,y,z), 因为点因为点M M的球坐标为的球坐标为 所以所以 所以所以M M的直角坐标为的直角坐标为 (1, ) 3
8、 6 ， 331 xsincosysinsinzcos, 36436432 ， 33 1 ( , ) 442 ， 所以所以 由由 02,02,得得 故柱坐标为故柱坐标为 2222 333 xy( )(), 442 3 y3 4 tan , 3 x3 4 6 ， 31 (, ). 26 2 【方法技巧方法技巧】点的球坐标与直角坐标的互相转化公式点的球坐标与直角坐标的互相转化公式 设点设点P P的直角坐标为的直角坐标为(x,y,z),(x,y,z),球坐标为球坐标为(r,(r, , ),), (1)(1)球坐标化为直角坐标的公式为球坐标化为直角坐标的公式为 xrsin cos yrsin sin
9、zrcos ， ， ， 即球坐标即球坐标(r,(r, , ) )的直角坐标为的直角坐标为(x,y,z)=(x,y,z)= (rsin(rsincoscos ,rsin,rsinsinsin ,rcos,rcos).). (2)(2)直角坐标化为球坐标的公式为直角坐标化为球坐标的公式为 222 rxyz z cos 0 r y tan x0 02 x ， （）， （，）， 即直角坐标即直角坐标(x,y,z)(x,y,z)化为球坐标的步骤为化为球坐标的步骤为: : 先求先求 再求再求, ,最后求最后求 , , 将球坐标表示为将球坐标表示为(r,(r, , ).). 222 OPrxyz ， 【变式
10、训练变式训练】 1.1.在球坐标系中在球坐标系中, ,点的球坐标点的球坐标(2,(2, ,0),0)化为直角坐标为化为直角坐标为 ( ( ) ) A.(0,0,2)A.(0,0,2) B.(0,0,B.(0,0,- -2)2) C.(0,2,0)C.(0,2,0) D.(0,D.(0,- -2,0)2,0) 【解析解析】选选B.B.点的球坐标点的球坐标(r,(r,),)化为直角坐标为化为直角坐标为 (x,y,z)=(rsin(x,y,z)=(rsincos,rsincos,rsinsin,rcossin,rcos),), 所以球坐标所以球坐标(2,0)(2,0)化为直角坐标为化为直角坐标为(2
11、sincos0,(2sincos0, 2sinsin0,2cos)=(0,0,2sinsin0,2cos)=(0,0,- -2).2). 2.2.求球坐标求球坐标 对应的点的直角坐标与柱坐标对应的点的直角坐标与柱坐标. . 【解析解析】因为点的球坐标为因为点的球坐标为 所以所以 (2, ) 6 3 x2sincos 63 y2sinsin 63 z2cos 6 ， ， ， (2, ) 6 3 ， 即球坐标即球坐标 对应的点的直角坐标是对应的点的直角坐标是 又由又由 得得 即对应点的柱坐标是即对应点的柱坐标是 (2, ) 6 3 13 ( , 3). 22 1 cos , 2 3 sin , 2
12、 z3 ， 1 , 3 z3 ， ， (1, 3). 3 自我纠错自我纠错 坐标互化公式的应用坐标互化公式的应用 【典例典例】求直角坐标求直角坐标 对应的球坐标对应的球坐标. . ( 2,6,2 2) 【失误案例失误案例】 分析解题过程分析解题过程, ,找出错误之处找出错误之处, ,并写出正确答案并写出正确答案. . 提示提示: :出错的根本原因是判断角出错的根本原因是判断角 的终边所在的象限的终边所在的象限, , 求求 值时出错值时出错. .正确解答过程如下正确解答过程如下: : 【解析解析】由由(x,y,z)= ,(x,y,z)= , 得得 由由z=rcosz=rcos(0(0),), 得得 由由 ( 2,6,2 2) 222 r( 2)(6)(2 2)4, 2 22 cos , 424 得 6 tan 3, 2 及及的终边过点的终边过点 得得 故点的直角坐标故点的直角坐标 化为球坐标为化为球坐标为 ( 2,6), 5 , 3 ( 2,6,2 2) 5 (4,). 4 3
