1、三 简单曲线的极坐标方程 【自主预习自主预习】 1.1.极坐标方程与平面曲线极坐标方程与平面曲线 在极坐标系中在极坐标系中, ,方程方程f(f( , , )=0)=0叫做平面曲线叫做平面曲线C C的极坐的极坐 标方程标方程, ,满足条件满足条件: : (1)(1)平面曲线平面曲线C C上任意一点的极坐标中上任意一点的极坐标中_满足满足 方程方程f(f( , , )=0.)=0. 至少有一个至少有一个 (2)(2)坐标适合方程坐标适合方程_的点都在曲线的点都在曲线C C上上. . f(f( , , )=0)=0 2.2.圆的极坐标方程圆的极坐标方程 圆心位置圆心位置 极坐标方程极坐标方程 图图
2、形形 圆心在极点圆心在极点(0(0，0)0) =_=_ (0(0 0),则圆则圆C C的极坐标方程是的极坐标方程是 ( ( ) ) A.A. = =- -2asin2asin B.B. =2asin=2asin C.C. = =- -2acos2acos D.D. =2acos=2acos (a) 2 ， 【解析解析】选选B.B.由于圆心的极坐标是由于圆心的极坐标是 , ,化为直角坐标化为直角坐标 为为(0,a),(0,a),半径为半径为a,a,故圆的直角坐标方程为故圆的直角坐标方程为x x2 2+(y+(y- -a)a)2 2=a=a2 2, , 再化为极坐标方程为再化为极坐标方程为 =2a
3、sin=2asin . . (a) 2 ， 2.(20162.(2016西安高二检测西安高二检测) )将极坐标方程将极坐标方程 =2cos=2cos 化成化成 直角坐标方程为直角坐标方程为_._. 【解析解析】由由=2cos=2cos得得2 2=2cos,=2cos, 所以所以x x2 2+y+y2 2- -2x=0.2x=0. 答案答案: :x x2 2+y+y2 2- -2x=02x=0 类型二类型二 直线的极坐标方程直线的极坐标方程 【典例典例】在极坐标系中在极坐标系中, ,求过点求过点(2,(2, ) )且与极轴的倾斜且与极轴的倾斜 角为角为 的直线的极坐标方程的直线的极坐标方程. .
4、 4 【解题探究解题探究】求直线极坐标方程的一般方法是什么求直线极坐标方程的一般方法是什么? ? 提示提示: :设出直线上任意一点的极坐标设出直线上任意一点的极坐标( ( , , ),),列出列出 , , 的关系式即可的关系式即可. . 【解析解析】令令A(2,),A(2,),设直线上任意一点设直线上任意一点P(,),P(,), 在在OAPOAP中中,APO=,APO=- - , , 由正弦定理由正弦定理 得得 又因为点又因为点A(2,)A(2,)适合上式适合上式, , 故所求直线的极坐标方程为故所求直线的极坐标方程为 4 2 , sin()sin 44 sin()2. 4 sin()2. 4
5、 【方法技巧方法技巧】关于直线的极坐标方程关于直线的极坐标方程 (1)(1)求直线的极坐标方程的一般方法求直线的极坐标方程的一般方法. . 设出直线上的任意一点设出直线上的任意一点( ( , , ),),利用三角形中的定理利用三角形中的定理, , 如正弦定理、余弦定理等列出如正弦定理、余弦定理等列出 , , 的关系式的关系式, ,即为直即为直 线的极坐标方程线的极坐标方程. . (2)(2)求直线的极坐标方程的注意事项求直线的极坐标方程的注意事项. . 当当 00时时, ,直线上的点的极角不是常量直线上的点的极角不是常量, ,所以直线的所以直线的 极坐标方程需要转化为两条射线的极坐标方程极坐标
6、方程需要转化为两条射线的极坐标方程, ,所以直所以直 线的极坐标方程不如直线的直角坐标方程唯一且简便线的极坐标方程不如直线的直角坐标方程唯一且简便. . 当规定了当规定了“负极径负极径”的意义的意义, ,即即 RR时时, ,直线的极坐直线的极坐 标方程就是唯一的了标方程就是唯一的了. . 【变式训练变式训练】 1.(20161.(2016铜陵高二检测铜陵高二检测) )已知点已知点P P的极坐标为的极坐标为(1,(1, ),), 求过点求过点P P且垂直于极轴的直线的极坐标方程且垂直于极轴的直线的极坐标方程. . 【解析解析】点点P(1,P(1, ) )的直角坐标为的直角坐标为( (- -1,0
7、),1,0),所求直线的所求直线的 直角坐标方程为直角坐标方程为x=x=- -1,1,化为极坐标方程为化为极坐标方程为 coscos = =- -1.1. 2.2.在极坐标系中在极坐标系中, ,求过点求过点 且与极轴平行的直线方程且与极轴平行的直线方程. . 【解析解析】点点 在直角坐标系下的坐标为在直角坐标系下的坐标为 即即(0,2),(0,2), 所以过点所以过点(0,2)(0,2)且与且与x x轴平行的直线方程为轴平行的直线方程为y=2.y=2. 即为即为sin=2.sin=2. (2) 2 ， (2) 2 ， (2cos2sin ) 22 ， 类型三类型三 直线与圆的极坐标方程综合题直
8、线与圆的极坐标方程综合题 【典例典例】(2016(2016衡阳高二检测衡阳高二检测) )在极坐标系中在极坐标系中, ,曲线曲线 C:C: =2acos=2acos (a0),(a0),l: ,C: ,C与与l有且仅有一有且仅有一 个公共点个公共点. . (1)(1)求求a a的值的值. . 3 cos() 32 (2)O(2)O为极点为极点,A,B,A,B为曲线为曲线C C上的两点上的两点, ,且且AOB= ,AOB= ,求求|OA|OA| +|OB|+|OB|的最大值的最大值. . 3 【解题探究解题探究】(1)(1)如何判断曲线的形状如何判断曲线的形状? ? 提示提示: :将曲线的极坐标方
9、程化为直角坐标方程判断曲线将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程判断曲线 的形状的形状. . (2)(2)如何求如何求|OA|+|OB|OA|+|OB|的最大值的最大值? ? 提示提示: :利用点的极坐标以及三角函数性质求最大值利用点的极坐标以及三角函数性质求最大值. . 【解析解析】(1)(1)由曲线由曲线C:=2acos(a0)C:=2acos(a0)得得 2 2=2acos,=2acos,化为直角坐标方程为化为直角坐标方程为(x(x- -a)a)2 2+y+y2 2=a=a2 2, , 直线直线l: : 得得 由于直线与圆有且只有一个公共点由于直线与圆有且只有一个公共点, , 所以所以d=
10、=a,d= =a,解得解得a=1,a=a=1,a=- -3(3(舍去舍去).). 33 cos()cos cossin sin 32332 即， 133 xy0x3y 30 222 ，即， a3 2 (2)(2)不妨设不妨设A A的极角为的极角为,B,B的极角为的极角为+ ,+ , 当当=- - 时时,|OA|+|OB|,|OA|+|OB|取得最大值取得最大值2 .2 . 3 6 3 OAOB2cos2cos() 3 3cos3sin2 3cos() 6 则 ， 【方法技巧方法技巧】将极坐标方程化为直角坐标方程的关键将极坐标方程化为直角坐标方程的关键 因为直线和曲线是满足某种条件的点的集合因为
11、直线和曲线是满足某种条件的点的集合, ,所以所以 将极坐标方程化为直角坐标方程的公式仍然用点的极将极坐标方程化为直角坐标方程的公式仍然用点的极 坐标化为直角坐标的公式坐标化为直角坐标的公式y=y= sinsin ,x=,x= coscos . . 【变式训练变式训练】1.(20161.(2016衡水高二检测衡水高二检测) )在极坐标系中在极坐标系中, , 点点 到圆到圆 = =- -2cos2cos 的圆心的距离为的圆心的距离为 ( ( ) ) (2) 3 ， 22 A.2 B. 4 C. 9 D. 7 99 【解析解析】选选D.D.点点 的直角坐标为的直角坐标为(1,(1,- - ),),圆
12、圆 = = - -2cos2cos 即即 2 2= =- -2 2 cos cos 的直角坐标方程为的直角坐标方程为(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2 =1,=1,所以点所以点(1,(1,- - ) )到圆心到圆心( (- -1,0)1,0)的距离为的距离为 . . (2) 3 ， 3 37 2.(20162.(2016北京高考北京高考) )在极坐标系中在极坐标系中, ,直线直线 coscos - - sinsin - -1=01=0与圆与圆 =2cos=2cos 交于交于A,BA,B两点两点, ,则则|AB|AB| =_.=_. 3 【解析解析】直线直线 coscos - - sins
13、in - -1=01=0可化为可化为x x- - y y- - 1=0.1=0.圆圆 =2cos=2cos 可化为可化为 2 2(cos (cos2 2 +sin+sin2 2 )=2)=2 coscos , , x x2 2+y+y2 2=2x,=2x,即即(x(x- -1)1)2 2+y+y2 2=1,=1,所以圆心所以圆心(1,0),(1,0),半径长为半径长为1.1.圆圆 心在直线心在直线ABAB上上, ,所以所以|AB|=2.|AB|=2. 答案答案: :2 2 33 自我纠错自我纠错 极坐标方程化为直角坐标方程极坐标方程化为直角坐标方程 【典例典例】(2016(2016漳州高二检测
14、漳州高二检测) )化极坐标方程化极坐标方程 2 2cos cos - - =0=0为直角坐标方程为为直角坐标方程为 ( ( ) ) A.xA.x2 2+y+y2 2=0=0或或y=1y=1 B.x=1B.x=1 C.xC.x2 2+y+y2 2=0=0或或x=1x=1 D.y=1D.y=1 【失误案例失误案例】 分析解题过程分析解题过程, ,找出错误之处找出错误之处, ,并写出正确答案并写出正确答案. . 提示提示: :出错的根本原因是忽视了出错的根本原因是忽视了0,0,遗漏了遗漏了=0=0的情的情 形形. . 正确解答过程如下正确解答过程如下: : 【解析解析】选选C.C.由由2 2coscos- -=0,=0,得得(cos(cos- -1)=0,1)=0, 所以所以=0=0或或coscos- -1=0,1=0,即即x x2 2+y+y2 2=0=0或或x=1.x=1.
